武汉高三调研考试数学真题及答案

武汉高三调研考试数学真题及答案考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班

武汉高三调研考试数学真题及答案

一、选择题

1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

A.1

B.3

C.0

D.2

2.若复数z满足(z+2i)/(1-3i)是实数，则z等于

A.-1+3i

B.1-3i

C.-1-3i

D.1+3i

3.已知函数f(x)=2sin(x+π/3)，则f(x)的周期是

A.2π

B.π

C.4π

D.π/2

4.不等式|3x-1|<5的解集是

A.(-2,2)

B.(-4/3,2)

C.(-4/3,4/3)

D.(-2,4/3)

5.抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷3次，恰好出现两次正面的概率是

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

6.已知点A(1,2)和B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程是

A.y=x+1

B.y=-x+3

C.y=x-1

D.y=-x-1

7.若等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=15，则a_10等于

A.20

B.25

C.30

D.35

8.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与圆O的位置关系是

A.相交

B.相切

C.相离

D.无法确定

9.函数g(x)=log_2(x^2-2x+1)的定义域是

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[0,2]

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.R

10.已知向量a=(1,2)，b=(3,0)，则向量a+b的模长是

A.√10

B.2√2

C.√13

D.√5

11.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，BC=6，则AB的长度是

A.3√2

B.3√3

C.6√2

D.6√3

12.若函数h(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是

A.a>0,b^2-4ac=0

B.a<0,b^2-4ac>0

C.a>0,b^2-4ac<0

D.a<0,b^2-4ac=0

13.已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积是

A.π

B.π/2

C.π/3

D.2π

14.已知某校高三年级有1000名学生，随机抽取50名学生进行体重调查，则该校高三年级学生体重的平均数和标准差的估计值分别是

A.50,1000

B.1000,50

C.50,50

D.1000,1000

15.已知三棱锥ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，D是AC的中点，则三棱锥ABC的体积是

A.√3/2

B.√3

C.√6/2

D.√6

二、填空题

16.函数f(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π/2]上的最大值是

17.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心O的坐标是

18.若等比数列{b_n}中，b_1=2，b_4=16，则公比q等于

19.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2x，则g(x)的单调递增区间是

20.已知向量a=(2,1)，b=(-1,3)，则向量a·b等于

21.已知三角形ABC中，角A=30°，角B=60°，AC=2，则BC的长度是

22.若函数h(x)=e^x+1/x的定义域是，则其定义域用集合表示为

23.已知圆C的方程为x^2+y^2-6x+4y-3=0，则圆C的半径长是

24.已知函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是

25.已知某校高三年级男生人数是女生人数的2倍，随机抽取50名学生进行视力调查，其中男生有20名视力正常，女生有10名视力正常，则该校高三年级学生视力正常的概率的估计值是

三、多选题

26.下列函数中，在区间(0,π)上是增函数的是

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=cot(x)

27.已知直线l的方程为2x+y-1=0，则下列说法正确的是

A.直线l的斜率是-2

B.直线l的截距是1

C.直线l与x轴的夹角是45°

D.直线l与y轴的夹角是135°

28.已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=1，a_3=5，则下列说法正确的是

A.公差d=2

B.a_10=19

C.a_n=2n-1

D.S_10=100

29.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则下列说法正确的是

A.圆心O在x轴上

B.圆心O在y轴上

C.圆O与x轴相切

D.圆O与y轴相切

30.已知向量a=(1,2)，b=(3,0)，则下列说法正确的是

A.向量a+b的坐标是(4,2)

B.向量a+b的模长是√13

C.向量a·b=3

D.向量a与向量b的夹角是90°

四、判断题

31.函数f(x)=|x|在定义域内是增函数。

32.若复数z满足z^2是实数，则z一定是实数。

33.正弦函数y=sin(x)的图像关于原点对称。

34.不等式3x-1>5的解集是(6,+∞)。

35.从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是1/2。

36.已知点A(1,2)和B(3,0)，则线段AB的中点坐标是(2,1)。

37.等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_2=3，则a_3=5。

38.圆x^2+y^2=r^2的面积是πr^2。

39.函数g(x)=log_2(x^2-1)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞)。

40.向量a=(1,0)和向量b=(0,1)是单位向量。

41.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°。

42.函数h(x)=x^3在区间(-∞,+∞)上是增函数。

43.扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的弧长是6π。

44.已知样本数据为5,7,9,11,13，则样本标准差是4。

45.三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为a的正三角形，高为h，则其体积是√3/4*a^2*h。

五、问答题

46.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，且f(1)=3，f(-1)=1，f(0)=-1，求实数a，b，c的值。

47.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，BC=6，求AB和AC的长度。

48.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_3=8，求公比q和a_5的值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示为：

当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

当-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3

当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1

因此，f(x)的最小值是3。

2.A

解析：设z=x+yi，则(z+2i)/(1-3i)=(x+yi+2i)/(1-3i)=((x+2)+y(i+1))/(1-3i)

要使该表达式为实数，虚部必须为0，即y(i+1)=0，所以y=0

此时，表达式变为(x+2)/(1-3i)，乘以共轭复数(1+3i)/(1+3i)得到：

(x+2)(1+3i)/(1+9)=(x+2+3yi)/10

虚部为0，所以y=0，实部为(x+2)/10，要使该表达式为实数，y必须为0，即x=-1

所以z=-1+3i。

3.A

解析：函数f(x)=2sin(x+π/3)是正弦函数的变形，其周期T与原函数sin(x)的周期相同，即T=2π。

4.C

解析：不等式|3x-1|<5可以转化为-5<3x-1<5，解得-4<3x<6，即-4/3<x<2

所以解集是(-4/3,2)。

5.B

解析：连续抛掷3次，恰好出现两次正面的情况有C(3,2)=3种，即正正反、正反正、反正正

总共可能出现的次数是2^3=8种

所以概率是3/8。

6.A

解析：点A(1,2)和B(3,0)的中点坐标是((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)

线段AB的斜率是(0-2)/(3-1)=-1

垂直平分线的斜率是1

所以方程是y-1=1(x-2)，即y=x-1。

7.B

解析：等差数列{a_n}中，a_5=a_1+4d=15，a_1=5，所以4d=10，d=2.5

a_10=a_1+9d=5+9*2.5=5+22.5=27.5

8.A

解析：圆心O到直线l的距离d=2<半径r=3，所以直线l与圆O相交。

9.B

解析：g(x)=log_2(x^2-2x+1)=log_2((x-1)^2)

定义域要求(x-1)^2>0，即x≠1

所以定义域是(-∞,1)∪(1,+∞)。

10.C

解析：向量a+b=(2+3,1+0)=(5,1)

模长是√(5^2+1^2)=√25+1=√26

11.A

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC

a/√3/2=6/sin60°，a=6*(√3/2)/(√3/2)=6

b/√2/2=6/(√3/2)，b=6*(√2/2)/(√3/2)=6√2/√3=2√6

12.A

解析：函数h(x)=ax^2+bx+c开口向上，则a>0

顶点在x轴上，则△=b^2-4ac=0

13.A

解析：扇形的面积S=(θ/360°)*πr^2=(60/360)*π*2^2=π

14.B

解析：随机抽取50名学生进行体重调查，可以用来估计总体平均数和标准差

估计的平均数是样本平均数，估计的标准差是样本标准差

所以是1000,50。

15.B

解析：底面ABC是边长为2的正三角形，面积S_底=(√3/4)*2^2=√3

高h=√(2^2-1^2)=√3

D是AC的中点，AD=1

三棱锥ABC的体积V=(1/3)*S_底*h=(1/3)*√3*√3=√3

二、填空题答案及解析

16.√2/2

解析：f(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π/2]上，2x+π/4在[π/4,5π/4]上

当2x+π/4=π/2时，sin(2x+π/4)取得最大值1

17.(2,-3)

解析：圆x^2+y^2-4x+6y-3=0可以写成(x-2)^2+(y+3)^2=16

所以圆心O的坐标是(2,-3)。

18.2

解析：等比数列{b_n}中，b_4=b_1*q^3=16，b_1=2

所以2*q^3=16，q^3=8，q=2。

19.(-∞,0)∪(2,+∞)

解析：g(x)=x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)

令g'(x)=0，得到x=0,1,2

通过列表判断，g(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增。

20.-1

解析：向量a=(2,1)，b=(-1,3)，则向量a·b=2*(-1)+1*3=-2+3=1。

21.2√3

解析：由正弦定理，a/√3/2=b/√2/2=c/1

c/1=2/√3/2，c=2*2/√3=4√3/3

22.(-∞,0)∪(0,+∞)

解析：函数h(x)=e^x+1/x的定义域要求x>0且x≠0

所以定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。

23.2√3

解析：圆C的方程可以写成(x-3)^2+(y+2)^2=16+4+3=23

所以半径r=√23。

24.(0,1)

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上是减函数

则0<a<1

25.0.4

解析：该校高三年级男生人数是女生人数的2倍，即男生占2/3，女生占1/3

视力正常的男生有20名，女生有10名

总体中视力正常的概率估计值是：

(20*(2/3)+10*(1/3))/(50)=(40/3+10/3)/50=50/150=1/3

三、多选题答案及解析

26.A,C

解析：y=sin(x)在(0,π)上是增函数

y=tan(x)在(0,π)内是增函数，但π不是其定义域内的点

27.A,C

解析：直线l的方程为2x+y-1=0，斜率是-2

x轴截距是1/y=1/(-2)=-1/2，y轴截距是1/x=1/(-1)=-1

所以与x轴的夹角是tan^(-1)(-2)

与y轴的夹角是tan^(-1)(-1/2)

28.A,B,C,D

解析：a_1=1，a_3=5，a_3=a_1+2d=1+2d=5，d=2

a_10=a_1+9d=1+9*2=19

a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1

S_10=(10/2)*(a_1+a_10)=5*(1+19)=100

29.B,D

解析：圆x^2+y^2-4x+6y-3=0可以写成(x-2)^2+(y+3)^2=16+4+3=23

圆心O的坐标是(2,-3)，在y轴上

半径r=√23

圆心O到x轴的距离是|-3|=3=r，所以相切

30.A,B,C

解析：向量a=(1,2)，b=(3,0)，则向量a+b=(1+3,2+0)=(4,2)

模长是√(4^2+2^2)=√16+4=√20=2√5

向量a·b=1*3+2*0=3

向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=a·b/(|a||b|)=3/(√5*3)=1/√5≠-1

所以不是90°。

四、判断题答案及解析

31.错误

解析：f(x)=|x|在x≥0时是增函数，在x≤0时是减函数，所以不是在定义域内单调递增。

32.错误

解析：z=2i，z^2=-4是实数，但z不是实数。

33.错误

解析：正弦函数y=sin(x)的图像关于原点对称，是奇函数。

34.正确

解析：不等式3x-1>5可以解得x>6/3=2，所以解集是(2,+∞)。

35.错误

解析：从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是13/52=1/4。

36.正确

解析：点A(1,2)和B(3,0)的中点坐标是((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。

37.正确

解析：等差数列{a_n}中，a_1=1，a_2=3，则a_2=a_1+d=3，d=2

a_3=a_2+d=3+2=5。

38.正确

解析：圆x^2+y^2=r^2的面积是πr^2。

39.正确

解析：函数g(x)=log_2(x^2-1)的定义域要求x^2-1>0，即x<-1或x>1

所以定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞)。

40.正确

解析：向量a=(1,0)的模长是√(1^2+0^2)=1，是单位向量

向量b=(0,1)的模长是√(0^2+1^2)=1，是单位向量。

41.错误

解析：在△ABC中，角A=60°，角B=45°，则角C=180°-60°-45°=75°。

42.正确

解析：函数h(x)=x^3的导数h'(x)=3x^2，在(-∞,+∞)上h'(x)>0，所以是增函数。

43.错误

解析：扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的弧长是(120/360)*2π*3=2π。

44.错误