2026年中考数学二轮复习 高频考点02 (不等式(组) 方程(组))应用题专练

高频考点 命题探源·考向解密（3年中考考向与命题特征根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等12345678912345612345考点四分式方程应用考点五一元一次不等式（组）123123每个考点中考预测题3好题速递·分层闯关（7道最新名校模拟试题+6道中考闯关题6~12润率、盈亏8~121.增长率问题（下降、复利）；2.销售利润问题（涨价/8~12行程问题（速度变化、时间差以解答题为主，分值8~12性（易错点方案选择与最优决策问题（惠、生产安排、资源分配最值问题（最优方案限额、范围限制档基础题，分值6~12常结合生活实际（如购物、生产、出行）（组考点一1.常见等量关系公式（必考①①行程问题：路程=速度×时间；②工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（1）；合作效率=2.②关键词误解：混淆“增加了”与“增加到”、“除”与“除以”、“相差”与“是…倍”命题点01依题意得2×14𝑥=20(60−𝑥)，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．依题意得2×14𝑥=20(60−𝑥)，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．依题意得2×14𝑥=20(60−𝑥)，解得𝑥=5台机器人生产上衣，3x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（115台机器人生产上衣，3x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（11根据题意得，240𝑥=400(8−𝑥)，解得𝑥=5，8−53（台），【答案】2×12𝑥=2𝑥(2𝑥)张做盒底．因为1个盒身与2个盒底配成一套，所以要根据盒身数量与盒底数量的配套关系来列方程．本题考查一元一次方程在配套问题中的应用．解题关键在于理解配套比例关系，即盒底数量是盒身数量的2通过设未知数分别表示出盒身和盒底的数量，进而根据配套关系列出方程．【答案】2×12𝑥=2𝑥(2𝑥)张做盒底．因为1个盒身与2个盒底配成一套，所以要根据盒身数量与盒底数量的配套关系来列方程．本题考查一元一次方程在配套问题中的应用．解题关键在于理解配套比例关系，即盒底数量是盒身数量的2通过设未知数分别表示出盒身和盒底的数量，进而根据配套关系列出方程．∴可列方程2×12𝑥=18(28−𝑥)．故答案为：2×12𝑥=18(28−𝑥)命题点02【答案】𝑚=率，以及引进智能设备后的工作效率，再根据515天完成的工作量之和等于增加后的【答案】𝑚=率，以及引进智能设备后的工作效率，再根据515天完成的工作量之和等于增加后的【详解】解：由题意得【详解】解：由题意得×5+1⋅1+𝑚％⋅(20−5)=1+解得𝑚=【答案】𝐴4设𝐴公司的工作时间为𝑥天，则𝐵公司的工作时间为(2𝑥4)=工作效率×工作时间，可【详解】解：设𝐴公司的工作时间为𝑥天，则𝐵公司的工作时间为(2𝑥4)天，根据题意得：0.5𝑥+1×(2𝑥+4)=【答案】𝐴4设𝐴公司的工作时间为𝑥天，则𝐵公司的工作时间为(2𝑥4)=工作效率×工作时间，可【详解】解：设𝐴公司的工作时间为𝑥天，则𝐵公司的工作时间为(2𝑥4)天，根据题意得：0.5𝑥+1×(2𝑥+4)=14，解得：𝑥=答：𝐴433根据题意可得：8𝑥=(8−2)(2𝑥−2)，解得：𝑥=330天才能完20天，余下的由乙单独做正好完成．【答案】(1)60【答案】(1)60x天完成全部工作，则乙单独做需要(𝑥30)y【详解】（1）x天完成全部工作，则乙单独做需要(𝑥30)由题意可得：201+ +(𝑥−20) =解得：𝑥=经检验，𝑥=60时，𝑥(𝑥30)≠0，则𝑥=60是原分式方程的解，60（2）y 1+=解得：𝑦=需要施工费用：36×(0.84+0.56)=50.4>50，需追加：50.4−50=0.4（万元）命题点03产品比𝐵32件𝐴3件𝐵26元．求𝐵A，B100550元，那么小张最多可以购进多少件𝐴种【答案】【答案】(1)𝐵种文创产品每件的进价为4创产品和3件𝐵种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；【详解】（1）解：设𝐵种文创产品每件的进价为𝑥元，则：𝐴种文创产品每件的进价为(𝑥3)元，由题意，得：2(𝑥+3)+3𝑥=26，解得：𝑥=（2）设小张购进𝑚件𝐴种文创产品，由（1）可知，𝐴种文创产品每件的进价为4+3=7元，由题意，得：7𝑚+4(100−𝑚)≤550，解得：𝑚≤1510依题意得0.8×10𝑥+5(𝑥−5)=160，解得𝑥=𝑥−5=15101095元．这款风扇每台的标价为（）A．350 B．320 C．270 D．220【答案】【答案】10元可得风扇的进价为(0.6𝑥+10)95元可由题意得，0.6𝑥+10=0.9𝑥−95，解得𝑥=∴350元，3】（2025·四川内江·中考真题）60100元．店方表示：723元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成x元，则可列方程为（）A．72(100−𝑥)=60(100+ B．60(100−𝑥)=C．60(100+𝑥)=72(100−3+ D．100−𝑥= 【答案】【答案】根据题意得：60(100−𝑥)=72(100−3−𝑥)，命题点04填空：每答对一道题 分，每答错一道题 分【答案】【答案】（1）E（2）设参赛者𝐹答对了𝑥道题，由题意得：4𝑥−(25−𝑥)=70,（3）假设他得了87分，设他答对𝑚道题，根据题意得：4𝑚−(25−𝑚)=87，解得𝑚=5【详解】（1）E的得分情况可知：每答对一道题得100÷25=4A的得分情况可知：每答错一道题得95−244=1解：设参赛者𝐹答对了𝑥4𝑥−(25−𝑥)=解得：𝑥=根据题意得：4𝑚−(25−𝑚)=87，解得𝑚=5【答案】【答案】【分析】设他答对了𝑥道题，则不答或答错的题数为(25−𝑥)道，根据“88分”建立一元根据题意，得4𝑥−2(25−𝑥)=88去括号，得4𝑥−502𝑥=合并同类项，得6𝑥=1，得𝑥=10201010道题，抢答且30100100分．76140【答案】【答案】(1)210(2)5102010分，列设抢答答对𝑥1030分，抢100分，列方程求解．【详解】（1）解：100+7×20+3×(−10)=210（分）．210分．（2）解：设抢答答对𝑥30𝑥−10(6−𝑥)=140，解得𝑥=5．5道题．小明同学最终得分为88分，则他答对了 【答案】由题意得：6𝑥−2(25−𝑥)=118，解得𝑥=21【答案】由题意得：6𝑥−2(25−𝑥)=118，解得𝑥=21命题点05【典例】（2026·广东佛山·一模）5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，991000895折优惠．51500(1)【答案】(1)50(2)m，当𝑚25时，选择丙旅行社最优惠；当𝑚<25时，选择乙旅行社最优惠【分析】（1）x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：500×0.9𝑥=450𝑥（元）的总费用为：1000+500×0.8𝑥=1000+400𝑥（元），根据“1500【详解】（1）x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：500×0.9𝑥=450𝑥（元）行社的总费用为：1000+500×0.8𝑥=1000+400𝑥（元）由题意得：450𝑥−(1000+400𝑥)=整理得：50𝑥=解得：𝑥=50（2）解：当𝑥=50450×50=22500（元乙旅行社总费用：1000+400×50=21000（元当𝑚≥25时，丙旅行社总费用为：500×0.7×50=17500（元因为17500<21000<22500当𝑚<25时，丙旅行社总费用为：500×0.95×50=23750（元因为21000<22500<23750m，当𝑚25时，选择丙旅行社最优惠；当𝑚<25时，选择乙旅行社最优惠．1】（2025·云南红河·模拟预测）素材素材任务任务任务2：利用“=单价×数量”，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买20副羽毛1：设学校购进了𝑥个羽毛球（𝑥≥则方案一的费用：20×150+10×(𝑥−320)=3000+10×(𝑥−60)=3000+10𝑥−600=2400+方案二的费用：150×0.9×20+10×0.9×𝑥=2700+9𝑥，由题意，2400+10𝑥=2700+9𝑥，解得：𝑥=单独使用方案一费用：2400+10×400=6400（元单独使用方案二费用：2700+9×400=6300（元羽毛球，费用为340×10×0.9=3060（元），总费用为3000+3060=6060（元）；∵6400>6300>你好！你好！根据题意列出算式得(100×30+120×20)×95%【详解】（1）解：根据题意得：(100×30+120×20)×==(3000+2400)×=5400×=5130(元100𝑎120(100−𝑎)×90%=9900，解得：𝑎=50，∴100−𝑎=100−50=50(个根据题意得：100𝑏+150(100−𝑏)×90%=9900，解得：𝑏=∴100−𝑏=100−80=20(个120𝑐150(100−𝑐)×90%=解得：𝑐=400(不符合题意，舍去该商店的进货方案有2命题点06求第2求第几个台阶上的数是【答案】【答案】（2）先得出第𝑛个台阶上的数是−10(𝑛−1)3，根据台阶上的数是20，列方程求出𝑛∴第2个台阶上的数是−103=（2）解：第2个台阶上的数是−10(2−1)3=−7，第3个台阶上的数是−10+(3−1)×3=−4，第4个台阶上的数是−10(4−1)×3=∴第𝑛个台阶上的数是−10(𝑛−1)×当台阶上的数是20时，−10(𝑛−1)3=20，解得：𝑛=11，1】（2026·河北沧州·一模）【发现】对于2，4，6三个连续的偶数来说，可以得到2+4=6，即前8+10+12=14+16，即前三个偶数的和等于后两个偶数的和【验证】（1）设中间数为𝑛（2）设这七个连续的奇数为2𝑘−7，2𝑘−5，2𝑘−3，2𝑘−1，2𝑘1，2𝑘3，2𝑘5，（𝑘是整数），根据由题意，得𝑛−8+𝑛−6+𝑛−4+𝑛−2+𝑛=𝑛+2+𝑛+4+𝑛+6+𝑛+8，解得𝑛=设这七个连续的奇数为2𝑘−7，2𝑘−5，2𝑘−3，2𝑘−1，2𝑘1，2𝑘3，2𝑘5，（𝑘是整数），根据题意得出，2𝑘−7+2𝑘−5+2𝑘−3+2𝑘−1=2𝑘+1+2𝑘+3+2𝑘+5解得：解得：𝑘=∴𝑘=12.5不符合题意请用含𝑥945，试通过列一元一次方程的方法求出𝑥【答案】【答案】(1)9𝑥9(2)𝑥=【详解】（1）∵设原两位数的个位数字为𝑥，则十位数字为得到的新的两位数为10𝑥(9−𝑥)=9𝑥9𝑥+9=9(𝑥1)，且𝑥1∴9（2）得10(9−𝑥)+𝑥45=9𝑥9，解得𝑥=7．命题点07【典例】（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度𝐵𝑀=7cm．将此正方体放在坡角为𝛼的斜坡上，此时水面𝑀𝑁恰好与点𝐴齐平，其主视图如图2所示，则tan𝛼= 【答案】正切的定义是解题关键．延长𝐴𝑁，交直线𝐵𝐶于点𝐸，设𝐷𝑁=𝑥cm，则𝐶𝑁=𝐶𝐷−𝐷𝑁=(9−𝑥)cm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得𝑥的值，再根据平行线的性质可得∠𝐷𝐴𝑁=∠𝐴𝐸𝐹=𝛼，然后根据正切由题意得：𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝐶𝐷=9cm,∠𝐷=90°,𝐴𝐷𝐵𝐶,𝐴𝑁设𝐷𝑁=𝑥cm，则𝐶𝑁=𝐶𝐷−𝐷𝑁=𝑥cm∴9×9(9−𝑥)+2×9×9𝑥=9×9×解得𝑥=即𝐷𝑁=∵𝐴𝑁∥∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐹=∵𝐴𝐷∥∴∠𝐷𝐴𝑁=∠𝐴𝐸𝐹= ∴tan𝛼=tan∠𝐷𝐴𝑁=𝐴𝐷=【变式1】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（0<𝑡<60）时的钟面角，把数中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过180°）．综上，当𝑡=13或𝑡=23此时可能相等的两个角是：当∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐵时，即0.5𝑡=360−6𝑡，解得：𝑡=13∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐴𝑂𝐵=③当5.5𝑡>18011<𝑡<60时，∠𝐴𝑂𝐵=0.5𝑡°，∠𝐴𝑂𝐶=此时可能相等的两个角是：当∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐶时，即5.5𝑡=360−6𝑡，解得：𝑡=23∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐶−∠𝐴𝑂𝐵=②当5.5𝑡<180<6𝑡时，即：30<𝑡<11时，∠𝐴𝑂𝐵=0.5𝑡°，∠𝐴𝑂𝐶=t表示出∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝐶=5.5𝑡°，∠𝐴𝑂𝐶=360°−6𝑡°t∴分针每分钟走360÷60=6°，时针每分钟走360°÷12÷60=0.5°，依题意得∠𝐴𝑂𝐵=0.5𝑡°，①当0<𝑡≤30时，∠𝐴𝑂𝐵=0.5𝑡°，∠𝐴𝑂𝐶=6𝑡°，∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐶−∠𝐴𝑂𝐵=5.5𝑡 23后与尾条一起扎成风筝的骨架（2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1∶1∶2．已知单根膀条长是胸【答案】【答案】设胸腹高为𝑥cm，则单根膀条长为5𝑥cm，门条𝐴𝐷的长度为(5𝑥−10)cm，𝐵𝐶=5(5𝑥−10)cm，𝐴𝐵=𝐶𝐷=x，尾部高为2𝑥，这只风筝的骨架的总高为4𝑥；由𝐴𝐷𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷列方程求出𝑥20【详解】解：设胸腹高为𝑥cm，则单根膀条长为5𝑥cm，门条𝐴𝐷的长度为(5𝑥−10)cm，𝐵𝐶=𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑥x，尾部高为2𝑥，这只风筝的骨架的总高为由𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷，可得：5𝑥−10=𝑥+5(5𝑥−10)+𝑥，解得：𝑥=所以这只风筝的骨架的总高4𝑥=答：这只风筝的骨架的总高命题点08慢马的天数是（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】【答案】x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可．x天，则追上时慢马走了(𝑥12)由题意，得240𝑥=150(𝑥12)，解得𝑥=20，20飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过𝑥天能够相遇，根据题意，得（）A．1𝑥+1𝑥= B．1𝑥−1𝑥= C．7𝑥+9𝑥= D．9𝑥−7𝑥= 【答案】【答案】程（1），再建立方程即可.【详解】解：设相遇时间为𝑥7天，故其速度为7（全程/天9天，故其速度为9（全程/天∴方程为7𝑥+9𝑥=13x千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题．x14解得𝑥=1313x千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题．x14解得𝑥=13【答案】轮船的速度为14km/h，A，B两个码头之间的距离为A、B码头之间的距离为𝑥千米，根据船在静水中速度来得到等∴∴轮船的速度为14km/h，A，B两个码头之间的距离为2.4+2=解得：𝑥=根据题意， −2=𝑥命题点09【典例】（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（） A．1 B．8 C．4 D．8【答案】【答案】【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒𝑥【详解】解：设李白的壶中原来有酒𝑥2[2(2𝑥−1)−1]−1=解得：𝑥=1】（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人 所持金的33关收税金为此时所持金的44关收税金为此时所持金的55的6．1斤，问原本持金多少？（ A．5 B．5 C．5 D．5【答案】【答案】1关收税：2𝑥，剩余𝑥−2𝑥= 2关收税：3×2𝑥=6𝑥，剩余2𝑥−6𝑥= 第3关收税：4×3𝑥 𝑥，剩余3𝑥−𝑥= 第4关收税：5×4𝑥 𝑥，剩余4𝑥−𝑥= 第5关收税：6×5𝑥 则五关税金之和为2𝑥+6𝑥 𝑥 𝑥 𝑥= 1斤，得6𝑥=解得𝑥=故原本持金为5314151100钱．问：出租x亩，可列方程为（） 3+4+5= ．3+4+5=C．3𝑥+4𝑥+5𝑥= D．3𝑥+4𝑥+5𝑥=【答案】【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“314151钱．三100钱”列方程即可．【详解】解：根据题意，得3+4+5= 中考预测题886A，B，Ca元，bc元，某球迷在比赛周游览三处景点门票共花费多少A，B，C三处景点门票共优惠多少元？（用代数式表示）BC72104b，c【答案】【答案】(1)(0.8𝑎0.6𝑐)元，(0.8𝑏0.2𝑐)(2)𝑏=100,𝑐=【分析】（1）（2）【详解】（1）解：门票原价总共为(𝑎𝑏𝑐)元，平时实际支付费用为0.8(𝑎𝑏𝑐)元，比赛周支付费用为(0.8𝑎+0.6𝑐)元，比平时游览优惠了0.8(𝑎𝑏𝑐)−(0.8𝑎0.6𝑐)=(0.8𝑏0.2𝑐)（2）解：∵BC72∴0.6𝑐=72，解得𝑐=120∵B、C两景点的费用为0.8(𝑏𝑐)∴节省费用为0.8(𝑏𝑐)−0.6𝑐=(0.8𝑏0.2𝑐)∵104∴0.8𝑏0.2𝑐=104，即0.8𝑏+0.2×120=解得𝑏=100综上，𝑏=100,𝑐=的长度之比是2∶14倍还多2cm．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和2倍少6cm．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、4倍多20cm．则该龙舟模型的总长度是多少？【答案】【答案】【分析】根据题意设龙尾的长度为𝑥cm，则龙头的长度为2𝑥cm，船身的长度为(4𝑥2)cm，船桨的长度为(2𝑥−6)cm，列出方程求解x的值，再代入x的值到原方程即可求得龙舟模型的总长度．【详解】解：设龙尾的长度为𝑥cm，则龙头的长度为2𝑥cm，船身的长度为(4𝑥2)cm，船桨的长度为根据题意，可列出方程：2𝑥(4𝑥2)+𝑥=4(2𝑥−6)+20，解得𝑥=6，将𝑥=6代入2𝑥+(4𝑥+2)+𝑥可得：2×6+(4×6+2)+6=12+26+6=725日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上172810万元，随着观影人数的不断增多，73016.9200140本．7287302400【答案】(3)售价为23.5【答案】(3)售价为23.53310【分析】（1）728730x1依素材1，可得：10(1+𝑥)2=16.9，解得𝑥1=0.3，𝑥2=−2.3（不合题意，舍去y2，可列方程200+40𝑦400，解得𝑦=5．𝑊=(𝑚−14)[200+=−40𝑚2+=−40(𝑚−23.5)2当𝑚23.5时，W考点二核心运算要点（专项突破1.常见等量关系模型（中考高频配套问题：配套比例相等（12个螺母→螺母数量=2×螺栓数量2.解的取舍错误：忽略实际意义，保留不符合题意的解（如人数为负、分数命题点01300100钱．问合伙人数、金价各是多少？”xy钱，则可列方程组（𝑦=400𝑥+A．𝑦=300𝑥+ 𝑦=C．𝑦=300𝑥+

𝑦=𝑦=𝑦=400𝑥+𝑦=【答案】【答案】4003400300，会多出100钱，列出方程组即可．𝑦=𝑦=300𝑥−100彩色纸（张细木条（捆彩色纸（张细木条（捆1710Ax个，Byxy满足的方程组是（）5𝑥+3𝑦=A．2𝑥+𝑦= 5𝑥+2𝑦=C．3𝑥+𝑦=

5𝑥+3𝑦=2𝑥+𝑦=5𝑥+2𝑦=3𝑥+𝑦=【答案】【答案】A3B110捆．因此可列方程为：3𝑥+𝑦=10；5𝑥+2𝑦=故方程组为：3𝑥+𝑦=10xy个，根据题意可列方程组为（）𝑥+𝑦= 𝑥+𝑦=A．9𝑥+7𝑦= B．11𝑥+4𝑦=【答案】【答案】xy∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为：𝑥𝑦=∵91174∴9文，苦果每个单价为7∵9999𝑥+7𝑦=𝑥+𝑦=故可列方程组：11𝑥+4𝑦=999 𝑥+𝑦=𝑥+𝑦=C．11𝑥+4𝑦= 9𝑥+7𝑦=命题点02𝐴𝐵总费用（单位：万元𝐴𝐵总费用（单位：万元,【答案】(1)𝐴60万元，𝐵45【答案】(1)𝐴60万元，𝐵45(2)2【分析】（1）设𝐴型号机器人单价为𝑥万元，𝐵型号机器人单价为𝑦万元，根据表格中的信息，列出方程组，解方程组即可；【详解】（1）解：设𝐴型号机器人单价为𝑥万元，𝐵型号机器人单价为𝑦𝑥+3𝑦=2𝑥+𝑦=165𝑥=𝑦=45答：𝐴60万元，𝐵45根据题意，得60𝑚+45𝑛=450．𝑚,𝑚= 𝑚=∴𝑛=2或𝑛=6∴2(1)150(2)A．B两种不同材质的编钟配件，A30元，B配50500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？【答案】(1)50100B配件1设大号编钟的频率为𝑥赫兹，小号编钟的频率为𝑦（2）设𝐴配件要买𝑚个，𝐵配件要买𝑛个，根据题意列出二元一次方程3𝑚5𝑛=50【详解】（1）解：设大号编钟的频率为𝑥赫兹，小号编钟的频率为𝑦𝑥=1

𝑥+𝑦=𝑥=𝑦=10050100解：设𝐴配件要买𝑚个，𝐵配件要买𝑛根据题意得：30𝑚50𝑛=整理得：3𝑚5𝑛=50，即𝑚=

3∵𝑚和𝑛

𝑚=𝑛=7

𝑚=𝑛=4

𝑚=𝑛=1个，B配件1个．36822座新能源客车，则调配新能源客车26人没有座位．36【答案】(1)3辆；116(2)362辆，【答案】(1)3辆；116(2)362辆，222【分析】该题考查了二元一次方程（组）位”x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；m，nm，n均为正整数，即可得出结论．【详解】（1）36xy36𝑥+8=22(𝑥+2)+6=𝑦𝑥=𝑦=116363116（2）36m辆，22n辆，根据题意得：36𝑚+22𝑛=116，∴𝑛又∵m，n𝑚=∴𝑛=2362辆，222命题点0340公里/60公里/40公里/60公里/=𝑥=𝑥+20=(29−20)𝑥+(29−205)𝑦=1200𝑥=𝑦=60【答案】1568xy千米/小时，【详解】解：240=23小时，220=【答案】1568xy千米/小时，【详解】解：240=23小时，220=23xy千米/2𝑥𝑥=2=𝑦+𝑥=解得𝑦=630A，B15682】（2025·山东威海·二模）【答案】该景区起点到终点的路程是【答案】该景区起点到终点的路程是𝑥+𝑦= 60 𝑥+𝑦=𝑥𝑥=𝑦=1.6则甲地到乙地全程是𝑥𝑦=1.5+1.6=命题点04青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（=×100%）芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水1636公斤，23倍．80%4【答案】【答案】(1)40、2030%×2𝑥20%×3𝑦=36𝑦=2030%𝑥+20%𝑦=𝑥=（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为(40+40×2)×30%=36由题意可得：4𝑧30%×80%=36，解得：𝑧=37.5千克．【答案】𝐴型无人机出动1架，𝐵型无人机出动5【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设𝐴型无人机出动𝑥架，𝐵型无人机出动𝑦架，根据题意列出二【详解】解：设𝐴型无人机出动𝑥架，𝐵型无人机出动𝑦12×5𝑥+10×6𝑦=5𝑥【答案】𝐴型无人机出动1架，𝐵型无人机出动5【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设𝐴型无人机出动𝑥架，𝐵型无人机出动𝑦架，根据题意列出二【详解】解：设𝐴型无人机出动𝑥架，𝐵型无人机出动𝑦12×5𝑥+10×6𝑦=5𝑥+6𝑦=𝑥=𝑦=5∴𝐴型无人机出动1架，𝐵型无人机出动5128128217𝑦【详解】解：设一台清淤机的工作效率为𝑥，一台清淤船的工作效率为𝑥+2𝑦=12𝑥+𝑦=1𝑦=𝑥=566×2×56+2×28=14>答：22命题点05【典例】（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重了一个“九宫格”23都是只能看到部分数值的“九宫格”．2ab3xy【答案】【答案】(1)𝑏=𝑎+(2)𝑥=𝑦=【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”（1）根据“九宫格”【详解】（1）解：由题意可知，𝑏7+2=2+𝑎8，即𝑏=𝑎+1；（2）解：如图，令第一行第二列为𝑎，第三行第三列为𝑥𝑦𝑏=2+19+𝑏𝑥𝑦=21𝑥=𝑥+𝑎+2=𝑎+𝑦+𝑥−𝑦=𝑦=5【答案】【详解】解：依题意，百位数为5+3=8，设个位数字为𝑥，十位数字为𝑦𝑥【答案】【详解】解：依题意，百位数为5+3=8，设个位数字为𝑥，十位数字为𝑦𝑥+𝑦=𝑦−2=𝑥𝑥=𝑦=32】（2026·广西南宁·一模）我们已经学过完全平方公式：(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2(1)填空：已知𝑎+𝑏=5，𝑎𝑏=3，则𝑎2+𝑏2= 1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ②2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，𝑎𝑏−33的对话内容，求𝑎+𝑏小彬：由填数规则得1小彬：由填数规则得1≤𝑎𝑏−3≤6；所以4≤𝑎+𝑏≤9S，则𝑎𝑏S的式子表小彬：对！根据你的发现，可以求出𝑎+𝑏𝑎+𝑏=6若12+22+32+42+52+62+𝑎2+𝑏2+(𝑎+𝑏−3)2=126，求𝑎𝑏【答案】【答案】(2)①4，5，12；②𝑎𝑏=69；③𝑎𝑏=【分析】（1）由(𝑎𝑏)2=𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏可知，𝑎2+𝑏2=(𝑎𝑏)2−2𝑎𝑏，代入已知条件，从而求得𝑎2+4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为②设上方的圆圈上空白“□”m，左侧的圆圈上空白“□”x，右侧的圆圈上空白“□”应填而求得𝑆=6+2(𝑎+𝑏)S为整数，以及4≤𝑎+𝑏≤9，求出𝑎+𝑏③先求出𝑎2+𝑏2=26，运用𝑎2+𝑏2=(𝑎𝑏)2−2𝑎𝑏将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解【详解】（1）解：∵𝑎𝑏=5，𝑎𝑏=3，又∵𝑎2+𝑏2=(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏，∴𝑎2+𝑏2=52−2×3=25−6=即𝑎2+𝑏2=3+𝑥+𝑦=2+𝑥+2+𝑥6=6+𝑦+1𝑥=𝑦=5每个圆圈上的三个数字之和为：3+𝑥+𝑦=3+4+5=y，𝑎+𝑏+𝑚=∴𝑎+(𝑎+𝑏−3)+𝑥=𝑆②𝑏+(𝑎+𝑏−3)+𝑦=②+③得：4𝑎+4𝑏−6(𝑚+𝑥𝑦)=即𝑥𝑦𝑚=3𝑆−4(𝑎𝑏)+6，即𝑥+𝑦=2𝑆+6−3(𝑎+𝑏)，∵∵所有填入的数字之和为：1+2+3+4+5+6=𝑥𝑦+𝑚+𝑎+𝑏+(𝑎+∴𝑥+𝑦+𝑚+2(𝑎+𝑏)=∵𝑥+𝑦+𝑚=3𝑆−4(𝑎+𝑏)∴24−2(𝑎+𝑏)=3𝑆−4(𝑎+𝑏)∴𝑆=6+(𝑎+∵4≤𝑎+𝑏≤9，S∴𝑎𝑏=6③∵12+22+32+42+52+62=1×6×(6+1)×(2×6+1)=又∵12+22+32+42+52+62+𝑎2+𝑏2+(𝑎+𝑏−3)2=∴𝑎2+𝑏2+(𝑎+𝑏−3)2=126−91=∴(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏+(𝑎+𝑏−3)2=∴2𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)2+(𝑎+𝑏−3)2−35，由②得𝑎+𝑏=6或9，当𝑎+𝑏=6时，2𝑎𝑏=62+(6−3)2−35=36+9−35=∴𝑎𝑏=当𝑎𝑏=9∴𝑎𝑏=则𝑎、𝑏是方程𝑥2−9𝑥41=0∵Δ=(−9)2−4×1×41=−83<∴𝑎𝑏=命题点06【答案】A饮料每杯12元，B8每杯𝐴饮料𝑥元，每杯𝐵饮料𝑦元，根据“小丽买了𝐴，𝐵1杯，用了203杯𝐴5杯𝐵【典例】（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（【答案】A饮料每杯12元，B8每杯𝐴饮料𝑥元，每杯𝐵饮料𝑦元，根据“小丽买了𝐴，𝐵1杯，用了203杯𝐴5杯𝐵𝑥+𝑦=2𝑥5×0.8𝑦=56𝑥=𝑦=811609141570元．【答案】(1)50元；80(2)20【答案】(1)50元；80(2)2025株；2850xy1271160141570mw【详解】（1）xy12𝑥+7𝑦=9𝑥+14𝑦=𝑥=𝑦=805080（2）m株，则购买白丁香(45−𝑚)w元．根据题意，𝑤=80𝑚+50×(45−𝑚)=30𝑚+2250∵30>∴wm的增大而增大又∵𝑚≥20，∴当𝑚=20时，𝑤=30×20+2250=2】（2025·海南·中考真题）1A型汽车、4B682A型汽车、3B76万元（同类型汽车进价不变）．A19~21B型汽车的进价约为11∼13万元．A、B现实生活中的很多问题可以用方程（组）【答案】【答案】(1)A20B12(2)AxBy【详解】（1）AxBy𝑥+4𝑦=2𝑥+3𝑦=76𝑥=𝑦=∴A20B12万元；（2）中考预测题1020根30550元，据此列方程组求解即可.【详解】解：设购买长绳𝑥根，短绳𝑦𝑥+𝑦=25𝑥15𝑦1020根30550元，据此列方程组求解即可.【详解】解：设购买长绳𝑥根，短绳𝑦𝑥+𝑦=25𝑥15𝑦=550𝑥=10𝑦=2(𝑥−8)+3(𝑦−12)=【分析】设𝐴,𝐵两种玩具原来的售价分别为每件𝑥元，𝑦3(𝑥−4−8)=2×(0.8𝑦−12)一步解方程组即可2(𝑥−8)+3(𝑦−12)=【分析】设𝐴,𝐵两种玩具原来的售价分别为每件𝑥元，𝑦3(𝑥−4−8)=2×(0.8𝑦−12)一步解方程组即可2(𝑥−8)+3(𝑦−12)=3(𝑥−4−8)=2×(0.8𝑦−12)2𝑥+3𝑦=整理得：3𝑥−1.6𝑦=12𝑥=𝑦=30 （分别用含𝑚和𝑛的式子表示【答案】(2)𝑚+(3)(3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数【答案】(2)𝑚+(3)（（3）假设𝑚=𝑚0，𝑛=𝑛0是方程2𝑚+3𝑛=𝑘的一组解，则2𝑚0+3𝑛0=𝑘，令𝑚=𝑚0+3𝑡，𝑛=𝑛0−2𝑡，（2）解：表中某一列的两个整数依次是𝑚和𝑛，则表中相邻的下一列的两个数分别是𝑚3和𝑛−2，故答案为：𝑚+3，𝑛−2；对于任意正整数𝑘，可以找到方程2𝑚3𝑛𝑘的一组整数解，例如：当𝑚=−𝑘，𝑛=𝑘时，2𝑚+3𝑛=−2𝑘+3𝑘=𝑘，∴𝑚=−𝑘，𝑛=𝑘是方程2𝑚+3𝑛=𝑘∴方程2𝑚3𝑛=𝑘假设𝑚=𝑚0，𝑛=𝑛0是方程2𝑚+3𝑛=𝑘的一组整数解，则2𝑚0+3𝑛0=𝑘，对于任意整数𝑡，令𝑚=𝑚0+3𝑡，𝑛=𝑛0−2𝑡，则2𝑚+3𝑛=2(𝑚0+3𝑡)+3(𝑛0−2𝑡)=2𝑚0+6𝑡+3𝑛0−6𝑡=2𝑚0+3𝑛0=∴𝑚=𝑚0+3𝑡，𝑛=𝑛0−2𝑡也是方程2𝑚+3𝑛=𝑘∴方程2𝑚3𝑛=𝑘考点三1.常见等量关系模型(中考高频①增长率问题：初始量×(1+增长率)n=最终量(n1-增长率②销售利润问题：=单件利润×=(售价−进价)×(原销量±销量变化④传播/握手问题：初始人数×(1+传播率)n=最终感染人数;握手问题握手问题：1x(x−1)=总握手次数22倍”,误将(1+𝑥)2写成1+如长度为负、增长率超过命题点01【答案】【答案】(1)8设这种宣讲活动，一个人会给𝑥用已有接受宣讲的人数乘以（1）依题意，得1+𝑥+(1+𝑥)𝑥=81即(1+𝑥)2=81，解得𝑥1=8，𝑥2=−10(舍去故这种宣讲活动，一个人会给8（2）解：81×8+81=729（人1】（2026·贵州·一模）1人患了流感，经过两168x个人，则可列方程为（）A．1+2𝑥=168B．1+𝑥2= C．𝑥+𝑥2= D．1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=【答案】【答案】【分析】利用两轮总患病人数为1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=168【详解】解：∵11人传染𝑥∴第一轮传染后，新增患病人数为𝑥，总患病人数为1+第二轮传染中，(1+𝑥)个患者每人传染𝑥人，新增患病人数为𝑥(1+∴两轮传染后总患病人数为1+𝑥𝑥(1+𝑥)168人患病，因此列方程为1+𝑥𝑥(1+=命题点0220231016.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增x，则可列方程为（）A．10(1+2𝑥)= B．10(1+𝑥)2=C．10(1+𝑥2)= D．10(1+𝑥)=【答案】【答案】20232025年初是两年时间，x，则两年后的数量为初始数量乘以(1+𝑥)的平方．【详解】解：∵1016.9∴一年后数量为10(1+𝑥)，两年后数量为10(1+𝑥)(1+𝑥)=10(1+∴可列方程：10(1+𝑥)2=16.9，1】（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态52500791006，7两个月产值的月均增长率为𝑥，可列出的方程为（）A．2500(1+𝑥)2= B．2500(1−𝑥)2=C．2500(1−2𝑥)2= D．2500(1+2𝑥)2=【答案】【答案】题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为𝑥，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．根据题意，得2500(1+𝑥)2=9100．x，则可列方程为（）A．8000(1+2𝑥)= B．8000(1+𝑥)2=C．8000+8000(1+𝑥)+8000(1+𝑥)2= D．8000×2(1+𝑥)=【答案】【答案】800012000x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的(1+𝑥)倍，故三月份销量为8000(1+𝑥)²，据此列方程即可．x𝑥)根据题意，三月份销量为12000辆，可得方程为：8000(1+𝑥)2=12000．B．命题点03草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的5的宽度为𝑥m，则可列方程为（A．(12−𝑥)(10−𝑥)=12×10×C．(12−𝑥)(10−2𝑥)=12×10×

B．(12−2𝑥)(10−𝑥)=12×10×D．(12−2𝑥)(10−2𝑥)=12×10×【答案】【答案】【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为12×10m2，草坪面积为总面积的，即草坪面积为12×10×∵花卉带宽度为𝑥m∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽𝑥m),即草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽𝑥m),即10−2𝑥．(12−2𝑥)(10−2𝑥)=12×10×560步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为𝑥步，根据题意可列方程为（）A．𝑥(60−𝑥)= B．𝑥(𝑥−60)=C．𝑥(60+𝑥)= D．2𝑥+(𝑥+60)=【答案】【答案】x步，则长为(60−𝑥)步，利用矩形面x步，则长为(60−𝑥)步由题意，得：𝑥(60−𝑥)=864，的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为𝑥m，根据题意可列方程（）A．𝑥(24−2𝑥)= B．𝑥(24−𝑥)=C．2𝑥(24−2𝑥)= D．2𝑥(24−𝑥)=【答案】【答案】【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可【详解】解：设矩形的宽为𝑥m，则矩形的宽为∴𝑥(24−2𝑥)=矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少【答案】【答案】(1)三边长分别为(2)三边长分别为设垂直于墙的一边长𝑥m，根据矩形围栏的面积为150m2则𝑥(40−2𝑥)=150解得：𝑥1=5、𝑥2=当𝑥=5时，40−2𝑥=30>25（不符合题意，舍去）当𝑥=15时，40−2𝑥=10<25（符合题意）∴（2）解：设矩形围栏的面积为则有则有𝑆=𝑥(40−2𝑥)=−2(𝑥−10)2当𝑥=10时．𝑆有最大值𝑆=当𝑥=10时，40−2𝑥=20<25（符合题意∴命题点04x（元/个y（个x（元/个y（个yx6000【答案】【答案】(1)𝑦=−20𝑥+1800(50≤𝑥≤(2)60yxxx的取值范围选择合适【详解】（1）解：由题意可知，yx的一次函数．yx的函数表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，740=53𝑘+𝑏𝑏=∴yx的函数表达式为𝑦=−20𝑥1800(50≤𝑥≤760=52𝑘+𝑘=（2）解：根据题意，得(𝑥−50)𝑦=∴(𝑥−50)(−20𝑥+1800)=整理，得𝑥2−140𝑥4800=0．解得𝑥1=60，𝑥2=80．∵50≤𝑥≤∴𝑥∴𝑥=110件．设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量 件630【答案】(1)(60+【答案】(1)(60+33864060【详解】（1）x元，则每天售出的数量是(60+10𝑥)故答案为：(60+x根据题意可得：(40−30−𝑥)(60+10𝑥)=630，整理可得：𝑥2−4𝑥+3=0，解得：𝑥1=1,𝑥2=由于要让利于游客，𝑥=1∴3630元x元，则𝑊=(40−30−𝑥)(60+10𝑥)=(10−𝑥)(60+=−10𝑥2+40𝑥+==−10(𝑥−2)2∵−10<∴当𝑥=2时，𝑊取最大值为640元，此时销售价为38元，2】（2024·山东烟台·中考真题）5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”200元60104辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，180xy元．yx12160∴当𝑥<25时，𝑦随𝑥∴当𝑥=20时，每天的利润最大，为×(20−25)2+12250=1224020元时，每天的利润最大，为12240（2）当𝑦=121602𝑥2+20𝑥+12000=解得：𝑥1=10，𝑥2=40（不合题意，舍去∴60 ×4=64（辆642(𝑥−25)22∵𝑦= +20𝑥+12000∵180∴200−𝑥≥∴𝑥≤2𝑥2+20𝑥+【详解】（1）解：由题意，得：𝑦=(200−𝑥)60+𝑥×4=(2)64（1）（2）令𝑦=12160，得到关于𝑥【答案】(1)𝑦=−2𝑥2+20𝑥+1200020元时，每天的利润最大，为12240命题点05【答案】2𝑥(𝑥−1)=xx𝑥(𝑥−1)【答案】2𝑥(𝑥−1)=xx𝑥(𝑥−1)=故答案为：2𝑥(𝑥−1)=若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要 个选手比赛一局，比赛总共 局【答案】【答案】(2)452（2）设这次比赛共有𝑛个选手参加，依题意，得2𝑛(𝑛−12=解方程，得解方程，得𝑛1=45,𝑛2=−44（不符合题意，舍2】（2025·广东揭阳·一模）1若参加聚会的人数为3，则共握 次若参加聚会的人数为𝑛（𝑛为正整数），则共握 次4520个，求𝑚的值．”琪琪的思考：“20个”（（3）451归纳类推得：若参加聚会的人数为𝑛（𝑛为正整数），则共握手2𝑛(𝑛−1)4，则共握手6=1×4×(4−1)3，则共握手3=1×3×(3−1)2，则共握手1=1×2×(2−1)（2）1，则共握手0=1×1×(1−1)101先求出参加聚会的人数为1∼4令（2）45参照（2）20【详解】（1）33次，【答案】则2𝑛(𝑛−1)=解得𝑛=10或𝑛=−9<0（不符合题意，舍去10（4）若在∠𝐴𝑂𝐵的内部由顶点𝑂引出1条射线（不含𝑂𝐴，𝑂𝐵边），角的总数 (1+2)×(1+1)个3=2若在∠𝐴𝑂𝐵的内部由顶点𝑂2条射线（不含𝑂𝐴，𝑂𝐵边），

(2+2)×(2+1)6=2若在∠𝐴𝑂𝐵的内部由顶点𝑂引出3条射线（不含𝑂𝐴，𝑂𝐵边），角的总数 (3+2)×(3+1)个10=2归纳类推得：若在∠𝐴𝑂𝐵的内部由顶点𝑂引出𝑚条射线（不含𝑂𝐴，𝑂𝐵边），角的总数为1(𝑚2)(𝑚1)令1(𝑚+2)(𝑚+1)=20，即𝑚2+3𝑚−38=解得𝑚=−3+161或𝑚=−3−161<0（均不是正整数，不符合题意，舍去 20中考预测题6586万元．根据题意得2400(1+𝑥)26586万元．根据题意得2400(1+𝑥)2=4704．解得𝑥1=0.4，𝑥2=−2.4（舍去∴∴该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为0.4=40%，4704×(1+40%)=6585.6≈6586（万元）．2140元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合25件；3：假设该小家电的价格定为𝑥元(40≤𝑥≤用含𝑥的代数式表示该商场每天售出小家电的数量 件1250整理得𝑥2−140𝑥+整理得𝑥2−140𝑥+4500=(𝑥−50)(𝑥−90)=（2）解：根据题意得(𝑥−40)5𝑥250=2𝑥+2505𝑥250【详解】（1）解：该商场每天售出小家电的数量是100+60−𝑥×550元/2500【分析】（1）100【答案】(1)5𝑥+解得解得𝑥1=50，𝑥2=90（不合题意，舍去理由：根据题意得(𝑥−40)5𝑥250=整理得𝑥2−140𝑥+5000=∵Δ=(−140)2−4×1×5000=−400<∴3．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”23月分两次购入甲、乙两款头盔．2250，甲、乙两种头406023000元．3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过20%）．1少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加3100【答案】【答案】(1)350150(2)5（2）设甲款头盔的单价上涨了𝑎【详解】（1）x个，则第一批购入甲款头盔的数量为(2𝑥50)个.，由题意得40(2𝑥+50)+60𝑥=23000，解得𝑥=则甲款头盔的数量为2×150+50=350150（2）解：设甲款头盔的单价上涨了𝑎由题意得，(40+𝑎)(350−2𝑎)+60×150×1+=23000+整理得，整理得，𝑎2−135𝑎650=0，解得𝑎=5或𝑎=130，由题意得，𝑎≤40×20%=∴𝑎=130考点四分式方程应用通用解题步骤（按顺序步骤1求量，梳理出核心等量关系，重点关注“时间、效率、数量”三类核心变量的关系。步骤2x；若直接设元复杂，可设中间量（如工作效率、速度）x（间接设列代数式：用含x的代数式表示出相关量（如时间、工作量、数量），步骤3乘）；②解整式方程：按一元一次/二次方程的步骤求解，得到未知数的值；③验根（核心步骤）：0，则为增根，必须舍去；步骤4命题点01前往距离学校240km200名师生参加了最近一次活动．1.25倍，求大巴车的速度；【答案】【答案】y根据题意，可列方程：𝑥 =解得𝑥=经检验，𝑥80是原方程的解，且符合题意．80千米/小时．根据题意，可列方程：10𝑦30(200−𝑦)=2200，解得𝑦=190．1901（2025·吉林长春·中考真题80040440秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．由题意得：1.25𝑥+40=𝑥解得：𝑥=经检验，𝑥=4∴∴原方程的解为：𝑥=【答案】𝐷型车的平均速度为坐𝐶型车比乘坐𝐷2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．【详解】解：设𝐷型车的平均速度为𝑥km/h，则𝐶型车的平均速度是𝑥【答案】𝐷型车的平均速度为坐𝐶型车比乘坐𝐷2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．【详解】解：设𝐷型车的平均速度为𝑥km/h，则𝐶型车的平均速度是𝑥−3𝑥=整理得，6𝑥=解得𝑥=经检验𝑥=100答：𝐷型车的平均速度为命题点02A每小时能处理20GBA每小时能处理xGBBA每小时能处理20GBA每小时能处理xGBB每小时能处理(𝑥10)GB由题意得：𝑥+10=𝑥解得：𝑥=经检验：𝑥=20A每小时能处理20GB1】（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，(1)a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（a的代数式表示）5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千41天，再建立分式方程求【详解】（1）解：∵a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低∴用智能机器人采摘的成本是(1−30%)𝑎=0.7𝑎（元∴4000=

4𝑥解得：𝑥=经检验𝑥=200∴5𝑥=1000（千克150010天完成这批订单．的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； =解得：𝑥=经检验：𝑥120是原方程的解，且符合题意，则1.5×120=180（件），由题意得：𝑚≤2(30−𝑚)，解得：𝑚≤𝑤=180𝑚+120(30−𝑚)=60𝑚+∵𝑚>∴当𝑚20时，𝑤30∴30−𝑚=30−20=命题点0320100008000元购买足球的数量相同．yy（元）x（个）x的取值范围和总费用最低时的购【答案】(1)10080(2)𝑦=20𝑥+9600，72≤𝑥<120x7248x元，则足球的单价为(𝑥−20)100008000x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的3xyx【详解】（1）x元，则足球的单价为(𝑥−20) 由题意得， =解得𝑥=经检验，𝑥=100∴𝑥−20=10080（2）解：由题意得，𝑦=100𝑥80(120−𝑥)=20𝑥∴120−𝑥

∴𝑥≥∴72≤𝑥<120x∵𝑦=20𝑥+9600，20>∴yx∴当𝑥=72时，y有最小值，此时120−𝑥=答：𝑦=20𝑥+9600，72≤𝑥<120x7248【变式甲款书签价格是乙款书签价格的4100128161620设乙款书签价格为𝑥（元），则甲款书签价格为4𝑥（元），根据“1001283个”【详解】解：设乙款书签价格为𝑥（元），则甲款书签价格为4𝑥（元由题意得： 解得：𝑥=经检验：𝑥=16∴则甲款书签价格为4×16=20（元16203万元．求𝐴型、𝐵1070【答案】【答案】(1)𝐴9万元，𝐵6(2)方案一：𝐴1台，𝐵9台；方案二：𝐴2台，𝐵8台；方案三：𝐴型机3台，𝐵7台能机器人，购买𝐴90万元，购买𝐵60根据题意，得𝑥=解得𝑥= 经检验，𝑥=9所以，𝑥−3=根据题意，得9𝑦+6(10−𝑦)≤70，解得𝑦≤3中考预测题12025119日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉每个“喜洋洋”20元．700元购进“喜洋洋”900元购进“乐融融”若“喜洋洋”80元/个，“乐融融”105元/个，这批“喜洋若该商店购进“喜洋洋”awwaw【答案】【答案】(1)每个“喜洋洋”70元，每个“乐融融”玩偶90(2)𝑤=−5𝑎+进“喜洋洋”900元购进“乐融融”玩偶的数量相同列，列分式方程求解即可；（2）根据题意列出𝑊=(80−70)𝑎(105−90)(200−𝑎)=−5𝑎3000【详解】（1）解：设每个“喜洋洋”x元，每个“乐融融”玩偶的进价为(𝑥20)=解得：𝑥=经检验𝑥=70是分式方程的解，且符合题意𝑥+20=70+20=90，答：每个“喜洋洋”70元，每个“乐融融”90元；（2）解：根据题意得：𝑊=(80−70)𝑎(105−90)(200−𝑎)=−5𝑎3000，根据题意可得：70𝑎+90(200−𝑎)≤16800，解不等式得：𝑎≥∵𝑘=−5<∴Wa∴当𝑎=60最少费用是𝑊=−5𝑎3000=−560+3000=2700（元），此时200−𝑎=200−60=140（套），答：“喜洋洋”60个，“乐融融”14027002．20263》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”403个“拓升”4个“咔搭”470元．【答案】(1)每个“拓升”90元，每个“咔搭”50(2)降价后每个“拓升”60【分析】（1）设每个“咔搭”遥控车的售价是𝑥【答案】(1)每个“拓升”90元，每个“咔搭”50(2)降价后每个“拓升”60【分析】（1）设每个“咔搭”遥控车的售价是𝑥元，则每个“拓升”遥控车的售价是(𝑥40)元，根据题意列出【详解】（1）解：设每个“咔搭”遥控车的售价是𝑥元，则每个“拓升”遥控车的售价是(𝑥40)根据题意，得3(𝑥40)+4𝑥=470，解方程，得𝑥=50，则有𝑥+40=50+40=答：每个“拓升”90元，每个“咔搭”50根据题意，得𝑚 =解方程，得：𝑚=经检验，𝑚40是方程的解．则有1.5𝑚=60，答：降价后每个“拓升”60无人机单价的71120018解得𝑥=经检验，𝑥=1400𝑥=考点五一元一次不等式（组）一、通用解题步骤(按顺序步骤1步骤2：设未知数列不等式（组xx步骤3：解不等式（组），号方向必须改变；③不等式组：分别解每个不等式，再利用数轴确定公共解集。步骤4确定解集后，根据题意取整数解/正整数解（人数、件数、次数必须为整数命题点01吒玩偶的金额是2400B款哪吒玩偶的金额是1600AB款哪吒玩偶少50个，AB2倍．(1)A、BBA2倍，且总金额不超过1100【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是16元，B8(2)4【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．BxA款哪吒玩偶的单价是2𝑥=总价÷2400x的值（B款哪吒玩偶的单价），再将其代入2𝑥A款哪吒玩偶的单价；A21100元”m的一元一次不等式组，解之mm4种进货方案．【详解】（1）BxA款哪吒玩偶的单价是2𝑥1600根据题意得：𝑥−2𝑥=解得：𝑥=经检验，𝑥=8∴2𝑥=2×8=16（元答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B8（2）mA款哪吒玩偶，则再次购进(100−𝑚)B100−𝑚≤16𝑚8(100−𝑚)≤1100 3≤𝑚≤2又∵m∴m可以为∴441】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买𝐴、𝐵两款机器人．已知款机器人的单价比𝐵125万元购买𝐴20万元购买𝐵款机器(1)求𝐴、𝐵(2)如果购买𝐴、𝐵12台，且购买𝐴款机器人的数量不少于𝐵款机器人数量的一半，请设计购买【答案】(1)𝐴5万元，𝐵4(2)购买成本最少的方案是购买𝐴4台，𝐵8【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）（2设𝐴款机器人的单价为𝑥万元，则𝐵款机器人的单价为(𝑥−1)25万元购买𝐴款机器人的数20万元购买𝐵款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可；量的一半，列出一元一次不等式，解得𝑚≥4，再设购买成本为𝑤万元，根据题意列出𝑤关于𝑚的一次函数【详解】（1）解：设𝐴款机器人的单价为𝑥万元，则𝐵款机器人的单价为(𝑥−1) 𝑥=解得：𝑥=经检验，𝑥=5∴𝑥−1=答：𝐴5万元，则𝐵4根据题意得 𝑚≥解得：𝑚≥设购买成本为𝑤根据题意得：𝑤=5𝑚+4(12−𝑚)=𝑚+∵1>∴𝑤随𝑚∴当𝑚=4时，𝑤此时，此时，12−𝑚=222034140元．40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的3出𝑛=−20𝑚+3200，进而根据一次函数的性质，即可求解．𝑥+2𝑦=2203𝑥+140=𝑥=𝑦=𝑚≤3解得：𝑚≤设购买费用为𝑛元，根据题意得，𝑛=60𝑚+80(40−𝑚)=−20𝑚∵−20<∴𝑚=10时，40−𝑚=40−10=30（盏）𝑛=3000，命题点0243米．(1)25(2)120035012设大号中国结编了𝑥个，小号中国结编了𝑦25米，据此列出二元一次方程，设大号编织𝑚个，则小号编织(350−𝑚)1200350等式，解得𝑚的取值范围，设总利润为𝑤元，得到关于𝑚【详解】（1）解：设大号中国结编了𝑥个，小号中国结编了𝑦由题意列方程得：4𝑥3𝑦=∴𝑥

4∵𝑥，𝑦∴当𝑦=3时，𝑥=

=当𝑦7时，𝑥25−3×7=4317则则4𝑚3(350−𝑚)1200，解得𝑚≤150，∴0<𝑚≤150，𝑤=12𝑚+8(350−𝑚)=4𝑚+∵4>∴当𝑚=150时，𝑤取得最大值，最大值为4×150+2800=3400，1】（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗A，B两种等级的农产品对外销售，6A4B等级农产品共收入1124A2BAB【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10(2)【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10(2)要求总利润不低于16000A等级农产品20006𝑥+4𝑦=A等级农产品每千克销售单价为𝑥B等级农产品每千克销售单价为𝑦4𝑥+2𝑦=(6000−𝑚)≥16000．即可求解；【详解】（1）A等级农产品每千克销售单价为𝑥元，B等级农产品每千克销售单价为𝑦6𝑥+4𝑦=4𝑥2𝑦=68.𝑦=𝑥=答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10（2）A等级农产品𝑚B等级农产品(6000−𝑚)千克，由题意得(12−8)𝑚+(10−8)(6000−𝑚)≥16000．解得解得𝑚≥B型设备的数量相等．AB【答案】(1)AB1216(2)14.4A型发酵设备的采购费用为𝑥B型发酵设备的采购费用为(𝑥4)A型设备【答案】(1)AB1216(2)14.4A型发酵设备的采购费用为𝑥B型发酵设备的采购费用为(𝑥4)A型设备𝑎B型设备(10−𝑎)台，根据题意列一元一次不等式组求出𝑎的取值范围，再列【详解】（1）A型发酵设备的采购费用为𝑥B型发酵设备的采购费用为(𝑥4)𝑥=解得𝑥= 检验：当𝑥=12时，𝑥(𝑥4)≠0，所以𝑥=12∴B型发酵设备的采购费用12+4=16（万元AB1216（2）解：根据题意得：12𝑎16(10−𝑎)≤136，解得𝑎≥6，由实际意义设备数量为非负整数，即：10−𝑎≥∴𝑎≤∴𝑎∴𝑎的取值范围是：6≤𝑎≤10（𝑎为整数由题意知：𝑤=1.2𝑎+1.8(10−𝑎)=−0.6𝑎∵𝑘=−0.6<∴当𝑎=6时，𝑤=−0.66+18=14.4，答：w的最大值为14.4万元．命题点035646252元．(1)11【答案】(1)68(2)20m盏，则购买乙型节能灯(50−𝑚)360【详解】（1）11盏乙型节能灯的售价分别为𝑥元、𝑦4𝑥+5𝑦=6𝑥+2𝑦=52𝑥=𝑦=8答：11686𝑚6𝑚+8(50−𝑚)≤解得，𝑚≥60元/箱，每天的销售量𝑦箱与售价𝑥元/箱满足关系式𝑦=−20𝑥+2200．80元/86元/300(2)86元/95元/（1）求出𝑥=80【详解】（1）解：∵𝑦=−20𝑥+∴当𝑥=80时，𝑦=−2080+2200=∴合作社每天芒果的销售利润为(80−60)×600=12000（元）；（2）由题意，得：𝑦=−20𝑥2200≥300，解得：𝑥≤95，又∵𝑥≥∴86≤𝑥≤86元/95元/3005000056000元购买乙型健身器材(1)3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？【答案】(1)25002800(2)15551500【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为(𝑥+300)元，根据题意，得 𝑥+300（2）根据题意，甲型健身器材买了𝑎个，则购买乙型健身器材数量为(20−𝑎)个，且𝑎3(20−𝑎)，根据题意，得𝑤=2800(20−𝑎)+2500𝑎=−300𝑎+56000，解答即可．【详解】（1）x元，则乙型健身器材的价格为(𝑥300) 根据题意，得 =解得𝑥=经检验，𝑥=2500此时𝑥300=25002800（2）解：根据题意，甲型健身器材买了𝑎个，则购买乙型健身器材数量为(20−𝑎)个，且𝑎≤3(20−𝑎)𝑎≤15a根据题意，得𝑤=2800(20−𝑎)+2500𝑎=−300𝑎由𝑘=−300<0，得𝑤a故当𝑎=15时，𝑤取得最小值，且最小值为𝑤=−300×15+56000=51500（元15551500中考预测题2台1131319万元．【答案】(1)45【答案】(1)45(2)2【分析】（1）设甲设备的单价为𝑥万元，乙设备的单价为𝑦2𝑥𝑦=𝑥+3𝑦=𝑥=𝑦=5得4𝑚+5(6−𝑚)≤28解得𝑚≥1时间𝑥/1≤𝑥<9≤𝑥<售价/（元/千克销量/储存和损耗费用/40+3𝑥2−68𝑥+因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为16.2元/千克．且每次降价的 求销售利润𝑦随𝑥这14天中日销售利润不低于930元的 天【答案】【答案】−32.4𝑥 1≤𝑥<9，𝑥(2)𝑦−3𝑥2+60𝑥+ 9≤𝑥<15，𝑥（2）=（标价−进价）×销量−储存和损耗费，即可得𝑦(元)，进而可求出𝑦与𝑥(1≤𝑥<15)之间20(1−𝑎)2=解得：𝑎1=0.1=10%,𝑎2=1.9（舍去），（2）解：结合（1）得，第一次降价后的价格为20×(1−10%)=18（元），当1≤𝑥<9时，𝑦=(18−8.2)(105−3𝑥)−(40+3𝑥)=−32.4𝑥+当9≤𝑥<15𝑦=(16.2−8.2)(120−𝑥)−(3𝑥2−68𝑥+300)=−3𝑥2+60𝑥+660=−3(𝑥−10)2−32.4𝑥+综上可知：𝑦−3𝑥2+60𝑥+1≤𝑥<9，𝑥9≤𝑥<15，𝑥（3）解：当1≤𝑥<9时，𝑦=−32.4𝑥+989≥解得：𝑥≤此时为1天利润不低于930当9≤𝑥<15时，𝑦=−3𝑥2+60𝑥+660≥930，解得10−10≤𝑥≤10+10，∵10−10≈7，10+10≈∴9≤𝑥≤此时第9到13天利润不低于930元，13−9+1=5（天），综上所述，共有5+1=6天利润不低于930(1)>36008015【答案】(1)排球的单价为10020(2)393242设排球的单价为𝑥元，跳绳的单价为𝑦（2）根据题意可以得到𝑛=240−16𝑚，结合𝑚的取值范围和𝑚、𝑛为正整数的条件，求出𝑚和𝑛【详解】（1）解：设排球的单价为𝑥元，跳绳的单价为𝑦20𝑥+24𝑦=24𝑥+20𝑦=2800𝑥=解得𝑦=20（2）解：根据题意得：80𝑚15𝑛=即𝑛=由于𝑚、𝑛则

𝑚>解得𝑚<由于𝑚>38，且𝑚3则𝑚39、当𝑚=39时，𝑛=240−16×39=当𝑚=42时，𝑛=240−16×42=多少亩？若设租赁田𝑥亩，则可列方程为（）A．1𝑥+1𝑥+1𝑥= B．3𝑥+4𝑥+5𝑥= ．3×𝑥+4×2𝑥+5×3𝑥= D．3×𝑥+4×2𝑥+5×3𝑥=【答案】【答案】【分析】根据“314151100钱”【详解】解：根据题意，得3𝑥+4𝑥+5𝑥= 钟．根据以上信息，下列说法正确的是（）【答案】【详解】解：设预定运行时间为𝑡∴=【答案】【详解】解：设预定运行时间为𝑡∴=𝑡−整理得，𝑠=300𝑡−10①∵传统高铁线路长为(𝑠35)公里，跑完比预定时间多12×60=42整理得，𝑠=250𝑡+联立①②，得300𝑡−10=250𝑡+解得𝑡=0.5小时，即预定运行时间为0.5×60=30代入①，得𝑠=300×0.5−10=140公里，即磁悬浮试验线全长140公里，测试列车实际运行时间为30−2=28分钟， =𝑡3．（2026·甘肃陇南·一模）《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如表所示的3×方格内填入了一些数据．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则𝑥+𝑦的值 【答案】【答案】【分析】根据题意列二元一次方程组，解出𝑥、𝑦−2+𝑦+4=0+𝑦+0+(−2)+𝑥=−2+𝑦+4𝑦=𝑥=5则𝑥+𝑦=5+1=20分钟一共通过的小客车数量如下表所示：通过小客车数/通过小客车数/【答案】【答案】𝐴+𝐵=𝐵+𝐶=根据题意得𝐶+𝐷=140𝐷+𝐸=𝐸+𝐴=由𝐵+𝐶−(𝐴+𝐵)=150−125=25，得𝐶−𝐴=25，则𝐶>𝐴．由𝐵+𝐶−(𝐶+𝐷)=150−140=10，得𝐵−𝐷=10，则𝐵>𝐷．由𝐷+𝐸−(𝐶+𝐷)=170−140=30，得𝐸−𝐶=30，则𝐸>𝐶．由𝐷