2026年中考数学二轮复习 专题06 图形的变化(知识清单)

06图形的变化（必备知识&二级结论清单+技法清单内容导第一部 命题解 洞察命题意图，明确攻坚方考向聚考向聚 ►能力清第二部 技法清 构建思维框架，提炼通用解 技法 三角形的平移问 技法 四边形的平移问技法技法 三角形的折叠问 技法 四边形的折叠问技法技法 三角形的旋转问 技法 四边形的旋转问技法技法 位似与相似变 技法 网格中的变换作技法 用图形的变化解决最短路径问技法 解直角三角形的应第三部 分级实 分级强化训练，实现能力跃命题解技法 三角形的平移问题：考查三角形沿指定方向平移后，对应点坐标变化、对应技法 四边形的平移问题：考查平行四边形及特殊平行四边形沿指定方向平移后，技法 圆的平移：圆沿某方向平移，考查圆心坐标变化、平移前后圆与直线或圆的位技法 三角形的折叠问题：以三角形为背景，通过折叠构造轴对称，考查对应边技法 四边形的折叠问题：考查矩形、菱形、正方形的轴对称性，常与折叠结合，技法 圆的折叠问题：将圆或圆弧沿某直线折叠，考查折痕过圆心、折叠后弧重合技法07 三角形和等腰三角形，考查旋转前后图形的全等关系、对应点连线相等、旋转角相等等技法 四边形的旋转问题：以正方形、菱形为中心对称图形为背景，考查旋转前后图技法 圆的旋转问题：圆绕圆心旋转任意角度后与自身重合，常结合扇形、弧长、圆技法 位似与相似变换：考查位似图形的性质（位似比等于相似比，对应点连线交于似中心），技法 网格中的变换作图：在正方形网格中按要求完成三角形的平移、旋转、轴对称技法 用图形的变化解决最短路径问题：利用轴对称将折线段和转化为两点间线段最技法13 俯角、坡度、方向角、跨学科问题），转化与化归思想：跨学科综合能力：技法清技0三角形的平移问【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边VABCA(10),C(123，将VABC1B的坐标为（(3,

3,

3,

(2,【答案】BACA，CAC与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可．BBDACACx∴BDx轴∵VABCBDAC∴ABACBC2 BDAC，∴ADCD1AC AB2AB2∴B2,3

3∴在VABC1B的坐标为3,3，【变式01】（2025·山东济南·一模）如图，将VABCBCAD平移到VABCVABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA1，则AD 【答案】证明VDAE∽VDAB，利用相似三角形的性质列方程．由SV

V

4ADBC边的中线知

V

1

V

2,

V

1

V

9，根据VDAE∽VDAB【详解】解：SVABC9SVAEF4ADBC

1

V

2,

V

1

V

9，∵将VABCBCAD平移得到V∴AE∥AB∴VDAE∽VDABAD

2则 VDAE，即AD1 9AD

AD2AD2（舍02】（2025·陕西延安·一模）如图，将VABCBC方向平移到△A1B1C1的位置（A、B、， 【答案】题的关键是根据平移性质得出对应线段平行，再利用平行线性质结合已知角度求∠D的度数．线平行内错角相等，即可求出D【详解】解：∵VABCBC方向平移得到△A1B1C1即ABA1D，70．技0四边形的平移问ABCDABADBCCD于点GH，连接GHAAx(0xACGHyyx之间的关系大致可以用函数图象表示为（ 【答案】【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出GHyx【详解】解：如图，记GHAC于点O∵ABCD∴GHACACmACmx，设BACα，则GACBACα，∴tanGACtanαOG∴OGOAtanα∴GH2OG2OAtanαACtanα(mx)tanα∴yGHmxtanαtanαxm∙tanα∵αmtanα为定值，且小于0mtanα为定值，且大于0∴yxyxD01】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABCA的坐标为20AOC60．将菱形OABCx1y1OABCB的坐标为（A．

C．

D．

【答案】BBHxH，求解OAAB2AB∥OC，可得BAHAOC602222

,

BBHxH∵菱形OABCA的坐标为20AOC60∴OAAB2，AB∥OC∴BAHAOC602222∵将菱形OABCx1y1∴ 02】（2025·广西·中考真题）投影是一个平行四边形（1）初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN3m，区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为MNPQ移动到P落在BC上的情形．西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时MNPQ的位置．设遮阳区的面积为Sm2，MNPQ从初始时向右移动的距离为xm．（1）3Sx（2）3x与S（3）3情形起右移至MA重合，求该过程中Sx【问题解决（4）当遮阳区面积最大时，MNPQ向右移动了多少？（直接写出结果（2）（3）（4）（1）根据矩形的性质得tanPNAAP2SMNPQMNAP6，然后分别求出当0x1时，当1x3时，S关于x的解析式，即可得出结论根据（1）当3x4时，如图，设MNPQ向右移动xm后得到MNPQ，设MQ交AD于点J，PN交KPQBCHPHx3AM4x

M

tanPtanPNA2JA2MA24xKH2PH2x3SS六边形ANKHQSMNPQS△JAMS△KHP即可得出结论分别确定：当0x1时，当1x3时，当3x4时，各个范围内S（1）∵MNAB边所在直线l又∵2PADAN1AP2，∴tanPNAAP22 MAMNAN314NB，SMNPQMNAP32当0x1PNADFPQADEPEx，此时遮阳区的面积为!PEF的面积，∵PQ∥l∴EFtanPtanPNA2∴EF2PE2x∴S

1PEEF1x2xx2 ∴当0x1SxS的值从0增大到当1x3PQAD于点GPGxANx1AG2，ANPG的面积，∵PQ∥l∴S

梯形

1ANPGAG1x1x22x ∴当1x3SxS的值从1增大到53Sx3PBCx3，由（1）x3S2x12315；∴3x3S5当3x4时，如图，设MNPQ向右移动xm后得到MNPQ，设MQ交AD于点J，PN交KPQBCHPHx3AM4x，ANKHQJ的面积，∴QM∥QM∥PN∥PN，PQ∥l，SMNPQSMNPQ6∴M

tanPtanPNA2∴JA2MA24x，KH2PH2x3SS六边形ANSMNPQS△JAM61AMAJ1HP 614x24x1x32x 2x214x19∴3情形起右移至MA重合，该过程中Sx的解析式为S2x214x193x4当0x1Sx2x1SS121；当1x3S2x1，x3SS23152当3x4S2x214x192

7

7

∴当x2时，S的最大值为：S2 2 综上所述，当x时，S取得最大值，最大值为 ∴当遮阳区面积最大时，MNPQ向右移动了7m技0圆的平01】（2025·辽宁抚顺·一模）xOy2的ePP30，将ePx轴正方向平移，使ePy轴相切，则平移的距离为（或 C．1或 【答案】yy轴的右侧两种情况写出答案即可．【详解】解：∵∵当ePyy1；当ePyy5．综上所述，将ePx轴正方向平移，使ePy101】（23-24九年级上·河北廊坊·月考）1，在VABCC90BAC30BC4，OABAO2O为圆心，2ABOABD，EACPOABDxx0在图1中，劣弧E的长 OAC2①x②M，NBCEMNMNOABO与VABCOx【答案】(1)①x2；②MN的最小值和最大值之和为 O与VABCO时，x的取值范围是2x64（1）E所对的圆心角是解决问题的关xMNM，N两点MNMBNDMN最本题主要考查圆完全在VABC三角形内部时的临界状态，即圆与三角形VABC两条直角边分别相切x的取值范围．（1）解：如下图，连接OP∵OPOA，BAC30∴E

①∵ACO∵BAC30，OP2∴AO4∴ADxAOOD2②如下图，当OMBC时，OMDENMN∴OBABOA4∵OMBC∴OMB90∵C90，MO∥AC∴BOMBAC30∴MB2∴根据勾股定理可得OM ∴MN 22MBNDMNMNOBOD6；∴MN和最大值之和为

26

4解：x的取值范围是2x6433；3OBCOP，∴OPB90∴AC∥OP∴BOPBAC30∴BP1OB4根据勾股定理可得OB2BP2OP2，解得OB4∴ADABODOB643∴O与VABCO时，x的取值范围是2x64302】（2023·河北石家庄·一模）1A、OlAO6ODlOBAC得到BAC若BAC的边AC经过点D，则平移的距离x 2ACE得到的n的长为π，求DOG当BACEx【答案】(1)6(2)(3)6 或（1）2EHEGDH，由弧长公式求得GEH60，进而得到VEGHEG∥l，则GEOAOD90根据题意，分当BACACE相切和BACABE相切两种情况，分别画（1）∴AO

∴xAAAOAO623故答案为：6 EHEGDH2EEDEO1OD3设GEHnACE的H的长为π，∴nπ3πn60∵EHEG∴EG∥l∴GEOAOD90∴EOG11809045当BACACE3，PPE，则APE90，∴PAEEAO1CAO30∴AO

33 当BACABEPEPlN，则APEAPN90∴EN

，ON1EN ∴PNENPE 3∴AN2PN ∴AOONAN6 ∴平移的距离xAAAOAO6633 综上，平移的距离x的值为6 或33技0三角形的折叠问01】（2025·江苏徐州·中考真题）ABCABC处，折痕为CE．若VABC的面积为8，VBCE的面积为5，则BD:DC 【答案】2【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解△DCE的面积为3VBDE的面积为2，进一【详解】解：∵VABC8VBCE△DCE的面积为3∴VBDE的面积为2201】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在VABCtanC4，DBC上一点，将VACDAD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF5，EF2，则AC FFG^AC于点G，由tanCFG4FG4x，则CG3x，结合CF5 FG4CG3ACAEACAEyAGACCGy3AFAEEFy2，在Rt△AFGAF2AG2FG2FFG^AC于点G∴tanCFG4 FG4x，则CG3xCG2∴CF 5xCG2x1FG4CG3，ACAE，ACAEy，AGACCGy3AFAEEFy2，在Rt△AFGAF2AG2FG2，y21AC2121【变式02】（2026·上海黄浦·一模）如图，在VABCACB90AC8BC6DE是边ABACDEBC，将VADEDE翻折至VFDEDFBC交于点G．如果△FCG的面积VE面积的，那么线段DE的长 【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，由VADEDE翻折至VFDEEFAEADFDAEDFED，证明VFCG∽VAED，由△FCG的面积是VADE1FC

，故 ，即AE2FC，设FCx，则AE2x，由EFAE，得8x2x，解得 x，所以AE ，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解

【详解】解：∵将VADEDE翻折至VFDE∴EFAE，ADFD，AEDFED∴AF∴AEDFED90∵ACB90∴VFCG∽VAED∵△FCG的面积是 4FC ∴ FC1AE2FC FCxAE2x∴CE82xEFAE，得8x2xx8∴AE16∴AEDE ∴3DE ∴DE44技0四边形的折叠问01】（2025·四川资阳·中考真题）ABCDABDC，ADDC，AB4，ADDC2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现△AEFEF所在直线翻折得到△AEF（如图的所有点在同一平面内ABAC，则VABC面积的最小值为（）A．2 B．3 D．4【答案】E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键．C作CGABGADCG是矩形，从而得到CGAD2AGCD2BCABCVABCAAHBCBCHAHVABCAE为圆心，1长为半径的EA，HAH最小，此时VABCADBCM，过点DDNCMN，则DNEH，可得VMND∽VMHE，即可求解．C作CGAB∵ABDC，ADDC，ADDC2∵ABCG2CG2

222222AAHBCBCHAHVABC∵EADAD2∴DEAE1AD14 AEAE1∴AE为圆心，1∴EA，HAH最小，此时VABCAD，BCMDDNCMN，则DNEH∵CGBG2，BGC90∵AB∥CD∴DCMABC45∴VCDM∴DMCD2，DNMNNC1CMDM2DM2∴DN1CM1

2222

，EMDEDM123

23 3∴EH

∴

EHAE

32∴ 1AHBC1321

3 V

2 即VABC面积的最小值为3 【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在ABCD中，点E在边BC上，将VABE沿AE折叠，BBDC上；将VADBABDD¢AE上．若CαCBE （【答案】ABCDBADCαAB∥CDDABBAEBAEABEABEABDABD，故有DABBAEBAEα【详解】解：∵ABCD∴BADCα，AB∥CDDABBAEBAEABEABEABDABD∴DABBAEBAEα∵AB∥CD 故答案为：02】（2025·山东济南·中考真题）ABCD中，EADA落在CDGBHEFBCF．若CG4EF 【答案】2 / AGEF于点MFFNADN∵ABCD∴ABADCD，BADABCD90∴NFABADAGEF∴AGEF∵EF∴AGEF xABADCDx∵CG4在RtVADGAG2DG2AD2，即(x4)2x24x225x2

（不合题意舍去∴AB2 故答案为：2 AGEF是解题关键．技0圆的折叠问01】（2025·山西·模拟预测）2的圆形纸片eOAB,CABBC都经过圆心OABAC

n围成的阴影部分的面积为（【答案】

4π

C．

D． C上取点OACEAE,CEAO,CO，连接OEAC于点M，由折AOAE,COCE，则可证明VAOE和VCOEOEAC，进而可得AOECOE60AC2CM，解直角三角形得到CM3,OM1AC23

S扇形

，同理可得S弓形

，再根据S

C上取点OACEAE,CEAO,CO，连接OEACMAOAE,COCEAOAEOEOCVAOE和VCOEOEACAOECOE60,AC2CMAOC120在RtVMOCCMOCsin603,OMOCcos60∴AC23S弓形ACES扇形AOCS△AOC

120π

12314π 同理可得S弓形

π2224π

3

4π 01】（2024·江西·中考真题）AB是eOAB2CAB的弦DE⊥AB，将E沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长 【答案】2 或2 或DEABDE12，利用勾股定理【详解】解：QABDEDEABDEDE12，DE2DE为直径，∵DE⊥EDEABFFA重合，FB2；DE1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD，此时OD1AB1，∵DE⊥ABDC1DE1 OD2DCOCOD2DCBCOBOC23BF2BC2 DE1时，且点C在线段OA之间，连接ODBC23BF2BC23综上，可得线段FB的长为2 或2 故答案为：2 或2 或2．02】（2025·广东惠州·二模）1，等圆eO与eOEFEFEOFO2，已知eOAB10EFFABD，若D与OF的长度．3，在题（2）FABDD与圆心O的长度OD1EF的长度．【答案】(1)（1）根据圆的性质得OEOFOEOF，结合等圆得OEOFOEOF连接OE、OFO作OHEF，则OAOB5，结合重叠得OH，即可求得OEH30EOH60设折叠后的圆弧所对的圆心为O，连接OOODOEOOEFM，由（1）知OOEF互相垂直平分得OM1OOEF2EM，进一步求得OAOBOE，由（1）知以点OOE2OE2OMOD2OD2

EM

EF2EM（1）证明：eO与eOEF∴OEOF，OEOF∵等圆eO与eO∴EOFO解：连接OE、OFO作OHEFeOAB∵ABDD与O∴OH5则sinOEHOH1 ∴OEH30，EOH60的长度120π510π 解：设折叠后的圆弧所对的圆心为O，连接OOODOEOOEFM由（1）知OOEF∴OM1OO，EF2EM由（1）知以点OOD1FABD的位置OD2OD2∴OM

1212OE2OE2OM

∴EM

742525∴EF2EM 即折痕EF的长 技0三角形的旋转问01】（2025·四川绵阳·中考真题）ABCDACBDOAB43BC4，将VOCD绕点O顺时针旋转至VOCDCD与CDOCE，F，当CE41 1 VOFC1的周长为（4

6

C．8

D．10【答案】AC的长，再取CD与OD1M【详解】解：如图，取CD与OD1∴BDAC，ABCD AB2BC∴ACAB2BC∴OAOBOCOD1AC4由旋转的性质，可知OC1OC4OD1OD4COC1DOD1OCDC1ODCD1∴ODOC1，ODCC1∴DMC1F，OMOF∵EFCOFC1，OCDC1 C

4C1F∴ 11 ，即 EF ∴C1F3CFDM，OF3EFOM∵OD1ODOC，OMOFOD1OMOCOFDMCF，又D1OCDD1EMCEF，∴EMEF∴EFEMCDDMCECD3CFCE又OFOCCF4CF3EF

43CF∴4CF3 43CF 33解得CF ∴OFOCCF4331533 CF3CF3331933 ∴VOFC1的周长为OCOFCF45339336 01】（2025·黑龙江大庆·中考真题）VABCABBC2CBA120，将VABCA顺时针旋转120得到VADEBCDE，连接CED恰好落在线段上，则CD的长为（A．

C．

【答案】BAC30；再由旋转的性质得CAD90ADAB2ADE120ADC60ACD30，故可得CD2AD【详解】解：在VABCABBC2ABC120 ∴CAD90ADAB2ADE120∴ADC60∴CD2AD224（1）PPBPC△ABC≌△DCB；BCAC相交于点MAB2，BC3，∠ABC60，求CM的长；3，在（2）的条件下，连接CCBDN，连接MN，求VAMN（2）（3） 321 V 由题意得△ABC≌△DCB，得到BACCDB，ABDC2，ACBD，作AEBC于点E，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得BE1，BDAC ，证明AM∥CD，推出VBAM∽VBDC设BCCαBCBC，则BCCBCCα，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得BNC120αDCN120α，推出BNCDCN120α，求得ANAC ，作CFBN于点F，求得 321，再求得AM:CM4:3，据此求解即可V （1）∵PBCPCB，即DBCACB∵△ABC≌△DCB，即△ABC≌△DCBBACCDBABDC2ACBD，AEBCE，∵ABC60∴BAE30AB2∴BEAB1，AEAB2∴CEBCBE2AE2CE∴AE2CE∴BDAC ∵BACCDB∴AM∥CD∴VBAM∽∴BA

AM 4∴AM43∴CMACAM3设BCCαBCBC，则BCCBCCα∴BNC120α，DCN120α∵AM∥CD∴ANCACN∴ANAC 作CFBNF∵ABC60∴BCF30∴BF3BC2BC2BF

33∴ 1ANCF1

733

21V

∵AM47CM37AM:CM43 ∴ 4 321V 7V 技0四边形的旋转问90˚后与自身重合，是旋转问题的常见素材。遇共顶点等线段（如正方形顶点）常考虑01】（2025·四川自贡·中考真题）xOyABCD标为（）A．3,C．2,

B．5,D．5,【答案】ABx【详解】解：∵ABCD5AByABCD绕点O逆时针旋转90．得到ABCD．ABBCABBCCD5ABxABCD∴B2,0，C2,501】（2026·陕西西安·一模）ABCD2B120ABCD绕ABBACBC交CDEDABE 【答案】3 / 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，根据菱形的对角线平分一组对角，得出DAB△ADC的面积减去VCEBDABEBDAC于点O∵ABCD2B120∴AD∥BC,DAC1DAB,ACBD∴∠DAB60DAC30BCD60DCA30，△ABD∴BDAB2AB2AB2∴AC23∵ABCDABBAC∴DABDAC30，ABAB2，ABC∴CBE60,BCACAB 2∴BE1BC 1，CE

3BE33∴DABE的面积等于SVADCSV12311

133 33 故答案为：3 02】（2025·天津·一模）已知矩形OABCA(10)，点C(02)，点O(00)，把矩形OABCO顺时针旋转135，得到矩形ODEFA，B，CD，E，FDEy(1)如图①，求FOM的大小及OM(2)将矩形ODEFy轴向上平移，得到矩形ODEFO，D，E，F的对应点分别为ODEFOOt(0t2)①如图②DExN，若CNBOt②若矩形ODEF与矩形OABCStS，并t的取值范围（直接写出答案即可．【答案】(1)45 1；②S1t212t3 t 1 根据矩形OABCO顺时针旋转135，得到矩形ODEFFOM45

OM

①①由四边形OABC是矩形，又因为CNBO，所以四边形CNOBNMOONM，tMMOMOM②先确定tS1t212t t 1（1）解：∵把矩形OABCO顺时针旋转135，得到矩形ODEF∴COF135,DOFD90,ODOA∴FOM180COF18013545∴DOM90FOM904545

OM

1 CBOA1CB∥OA，又CNBO，∴四边形CNOB∴NOCBDEy轴于点MMMt∵四边形ODFF∴OFDE∵DE∥DE∴OF∥DE∴NMOFOM45∴OMON1∴tMMOMOM

1②当M与OtEFAOMTOTMETA设OMOT则MT2m,TE212m12mAT1由cosETATE,可得：12m 2m

1 经检验：m 1是原方程的根且符合题意t t的取值范围 t MOTOtAAGKO，则同理可得OGOAOGAKtS1t1t11t

2即S1t2(12)t3 t 1 技0圆的旋转问01】（23-24九年级下·浙江杭州·月考）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴1OA5，将OAO90成扇形OABC是OBBC1C作射线CMOCAB2，将上题中的扇形OABB按顺时针方向旋转，若旋转后的扇形和射线CM相切与D，求OO的长．3，将题（1）A落在射线CMAB与射线CM交E，求OO的长．

问题解决：如图所示，过点O作OEOCE，连接OD，由切线的性质得到OD⊥CMOB2BEODCE是矩形，得到CEOD5，则OE1BEOBOEOB2BE

3OE2OEOE2OEOG问题拓展：如图所示，过点O作OG⊥OCEOHCMH，同理可证明四边形OGCH是矩形，则BGx1OG5x16xx2x1252，解方程得到OOGOG2，则OO

问题解决：如图所示，过点O作OEOCE，连接OD∵旋转后的扇形和射线CM∴OD⊥CM又OE⊥OC，CM⊥OC∴四边形ODCE∴CEOD5∴OEOCCEOBBCCE1OB2BE∴OB2BEOE2OE∴OE2OE问题拓展：如图所示，过点O作OG⊥OCGOHCMH，同理可证明四边形OGCH是矩形，∴OHCG，∠HOG90又∵BOAO，∴OHCGOG设OHCGOGxBGx1，在Rt△BOG中，由勾股定理得OG2BG2OB2∴x2x1252x4x3（舍去∴OG4，OG2OE2OE∴OOE2OE等，解（2）的关键在于作出辅助线构造矩形，解（3）01】（2023·四川广元·二模）Rt△ABC与直径为CEO1摆放，ÐBAC2CEmBCnOBCDOCDO旋转且ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α0α180当α0时，连接DE，则CDE °，CD BD2若m6n【答案】(1)901

O旋转至与VABCBDBDn

2（1）DE∥AB，进而得出VCDE:VCBAAB2（1）DECEO∵ÐB=∴DE∥AB∴VCDE:VCBA∴CDCE ∵AC2CE，BCn∴CDCECBn 901nBD2中，+DEEC是半圆O∴CDE又ABC∴CDE又ACBDCE∴CDBCn ∵ACB∴BDBCn ∴CE3，CD CA2CA2

2①3中，当α90ACBC2在RtBC2

(42)2(2②4中，当α90ACBBC(42)2(2∵MCBMBCE90∴BCEM∴BMEC3，MEBC ∴AMABBM235AM2在Rt△AME中，由勾股定理得，AM2由（2）DB22 ∴BD2114BD为

2114的关键是判断出VCDE:VCBA，解（2）的关键是判断出△ACE~△BCD解（3）的关键是分类讨02】（2025·湖南永州·模拟预测）1，在Rt△ABCC90AB10BC6OAC的中点，以OAC3的半圆OACDEAB于点GF．(1)AOAF(2)2，将线段CD连同半圆O绕点C①在旋转过程中，求点OAB②若半圆O与Rt△ABCKAKAK【答案】(1)4(2)①4

或8（1）ACAOO作OIABABI，再进一步利用三角函AF5；①AC8，当CDABOAB的距离最小，由三角形面积公式可得出答②OBCOAC（1）解：∵在Rt△ABCC90AB10BC6AB2AB2

8OAC∴AOCO1AC4O作OIABAB∴∠AIOFIO90∴OIAOsinCAB4312 ∴AI∴FI

16AO2AO2OIOF2OIOF2OI∴AFAIFI5（2）解：①当CDABOAB

SV

1ACBC1ABCG ∴CGACBC8624 ∴OGCGOC4∴OAB4②OBC2K，连接OKAK，则OKC90在Rt△OCKOK3OC4OC2OC2OK

742在RtVACKAC42AC2CK82AC2CK827OAC3K，连接OK∴OKC90∴AKACCK8 ∴AK

或8 技1位似与相似变01】（2025·浙江·中考真题）ABCDEABCDEO为位似中心的位似A,A的坐标分别为(20),(30)DE3DE的长为（）【答案】

C．

OAOEOD2，证明△DOE∽△DOE 【详解】解：∵ABCDEABCDEOAA(2,0),(3,∴OAOEOD2 ∵DOEDOE∴△DOE∽△DOE∴DEOE2 ∵DE3∴DE901】（2025·山东青岛·模拟预测）AB是eOAB是eOVAOB△AOB是位似图形，位似中心为点OABABOB交eO于点C，若OC2BCAB2AB的长为（AB是eOAB是eOVAOB和△AOB似中心为点O 【答案】【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质．利用位似图形得出

OB，再结合OBOCOC2BCOB2OB2 【详解】解：∵VAOB和△AOB是位似图形，位似中心为点O∴

OB∵OBOC，OC2BC∴OBOC2BC∴OB2BC2 ∵AB2∴

2AB3，02】（2025·山东烟台·中考真题）P的坐标为63VABC 2 点A的坐标为4,3．以点P为位似中心作△A1B1C1与VABC位似，相似比为2，且与VABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧……按照以上规律作图，点A3的坐标为 【答案】10,27 2 AP5AP2AP10AP2AP20APAP20 6 26 2

5∴A2P2A1P10,A3P2A2P20APykxbk0，代入634 2 ∴36k∴k 解得： ∴y3x 设Am,m6 3∴m

m6 2m110m222（舍去∴A10,273 2 10,27 2 【变式03】（2026·安徽安庆·模拟预测）VABCA0,3，B2,0，C4,2画出与VABCy轴对称的△AB1C1O为位似中心在第三象限画出△A2B2C2，使它与VABC2，并写出点C2【答案】(1)8A、B、C的坐标都乘以2A2、B2、C2DEFAE1DF

CD，C1E4C2F（2）△A2B2C2C284（3）P技1网格中的变换作01】（2024·安徽·模拟预测）1AB关于直线CDA1B1(A，BA1B1AB24A2

(A，BA2B2)A2B2描出线段AB上的点P，使得PAPD，此时PA2的值 2【答案】(1)

A，B关于直线CDA，B24个单位长度，找到对应点位置，连接即可；(3）ADA1B1于Q，过QA2B2P，根据勾股定理计算边长求比值即可．PPA2

22222 322301】（2024·广东·模拟预测）1个单位VABC的三个顶点均在格点上．画出VABC32个单位的图形△A1B1C1画出VABCA逆时针旋转90的图形VAB2C2xPPB2PAP【答案】(1)P6,A、B、C32A1B1、C1，再依B、CA逆时针旋转90B2、C2PB2PAAB2AB2PPB2PAP点解：如图VAB2C2PxPAPB2∵PB2PAAB2∴AB2PPB2PAAB2∴PP重合，坐标为6002】（2026·安徽·模拟预测）如图，在88ABCPAB(2)EFEFAB关于点CEF上找一点GEGAP【答案】(1)(2)（1）（2）EFPCEFG（2）EFG技法 用图形的变化解决最短路径问01】（2023·河南南阳·二模）综合与实践如图①lPPABPAPB的和最；连接ME，NE，求MENE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MNEl的直线上运动”，请你参考小敏的思路求MENE的最小值；如图③，在矩形ABCD中，AD2AB ，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，BEAFE、FEMBDFNBDM、NAM、AN（2）10（3） （1）AM、N看作定点，E看作动点，由（1）由相似得出MN为定值，再根据（2）AMAN（1）A关于lAAB，交直线lPAPAP∴PAPBPAPB∵PAPBPAPB如图②E作直线l1∥lN关于l1NNM，交l1PPMPN的EMEN的最小值，∵E到直线l的距离为4∵MN62∴MN62PMPN10EMEN的最小值为10如图③A作l∥BDAHBD，作M关于直线l的对称点M，连接MN由（2）MNAMAN∵AB ，AD AB2AB2∴AH

5525∴MM2AH4设MExEBMADBBMEBAD2∴VABD∽VMEB2∴ABBD

5 ∴BM2x，BE

∴AF5x∴DF 2∴DNDF2 DN42x

25∴MN52x42x∵l∥BD，MM∴MM4242 01】（2023·安徽黄山·模拟预测）如图①ABCDVABE是等边三角形，M为对BD（B点）BMB60°BNEN、AM、CM．MNVBMN①MAMCM②如图②MAMBMCM【答案】(1)①MBD的中点；②M为CEBDAMBMCMABEB，BMBN，ABEMBN60，再求出ABMEBN，然后利用“边角边”证明△AMB和△ENB全等即可；①A、M、CAMCM的值最小，再根据正方形的性质解答；②AMENAMBMCMENMNCM，再根据两如图①，∵BMB60°BN，）证明：VABE和VBMN∴ABEB，BMBN，ABEMBN60ABEABNMBNABN，即ABMEBN，在VAMB和△ENB中， ABABMEBN BM∴VAMB≌VENBSAS解：①A、M、CAMCM∵ABCD∴MBD②M为CEBDAMBMCM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AMEN∴BMMN∴AMBMCMENMNCME、N、M、CENMNCM，M为CEBDAMBMCM的值最小．02】（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题如图1，已知AOB30P是AOBOP6，点MN分别是OAOB边上的动点（不与点O重合，求VPMNP关于OAOBP1P2，然后连接P1P2P1P2与OAOB有两个交点，当MN分别与这两个交点重合时，如图2VPMN②VPMN周长的最小值是如图3，在等腰Rt△ABCACB90BC2DACABPDPCPDPCP的最小值．如图4ACBD为一个矩形绿地，点OACBD的中心，通过测量得BAC30BC20ACPPOBPOB（1）606 （3）20 1P1P2的长度就是VPMN周长的最小值；2DDHABHDHDDHDHADDD对称，连接CDABPDPDP，线段CDDPCP的最小值，利用勾股定理求出线段CD的长度即可；3过点OABBCBOBACPAOBO20米，利用AAS可证VAHD≌VAHDPBPBBCBC20米，利用勾股定理求出OB【详解】1解：QPP1关于OA

1QPP2关于OB60；解：QPP1关于OAQPP2关于OBOP2OP6，NP2NP由可知P1OP260VPMB的周长是MNMPNPP1P266；2DDHABHDHDDHDHAD，DDAB对称，连接CDABPDPDPCAB45，ACBCQDHABAH在VAHD和VAHDAHDDHDABDAB45，ADADQDACADAD1ACAD'2ACAD'2AC

DPCP的最小值是53如下图所示，过点OABBCBOBACPQACBDQBAC30BC20OB1AB20Q点OACBDPAPBPBCABCABP603030，BPCVPCB≌VPCBPBPBBCBC20BB'2402BB'2402PBPO的最小值是203POBPOB 20POBPOB的最小值是20 1米技1解直角三角形的应（ADBCABC90BC4AD2EDECEEFCDF，将VBCG沿翻折，点B恰好与点E重合，延长FE交折痕CG的延长线于点H，DCG45，则点B到直线FH的距 454 【分析】过点C作CKADADKBBQCD于Q求得CQ，即可求得答案．【详解】解：过点C作CKADADKBBQCD于Q∵将VBCG沿CGBEGCEGCB,CEGCBA90,CECB4,BGGEQDCG45QCEDCKD90,CDCDCKCE4BCAKBC4ADDKDE2DK2CKDK2CK

QECFDCE,CFECEDCFCE 2CF42CF855QDCKBCQCBQBCQ90CBQDCKsinCBQsinDCKDK

2 522CQsinCBQ 5 CQ

5BC45 FQCFCQ854545 BFH454501】（2025·四川绵阳·中考真题）ABCDEBCF是EFAD于点GBFBGAB4CE4，则tanFBGA． ． 【答案】

2

BGBFFG的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出tanFBG．【详解】解：∵ABCDAB4F是CD∴DFFC2∴DGCE1，GFEF在RtVABGAGADDG3AB4AB2AB2

542在RtVBCFBC4CF42BC2BC2CF

42在RtVDGFDG1DF42DG2DFDG2DF∵BF2FG2(25)2(5)225BG22∴tanFBGFG 12 B02】（2025·四川·中考真题）AD的仰角为37AB20CA1.5（sin370.60cos370.80tan370.75【答案】16.5ACBE1.5mDCE37°CEAB20m，解RtVDCEDEBDBEDE即在RtVDCEtanDCEDE0.7516.503】（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，BM上的点C处安装测角仪CDA的俯角α为8.5CDBM的夹角β为78.5，又测得点CB之间的距离CB为10m．已知CD1.6mABCDMN在同一平面ABN在同一水平直线上，且CDABAB（sin8.50.15cos8.50.99，tan8.50.15sin78.50.98cos78.50.20tan78.54.92）【答案】14.2DCANHDHAN，在Rt△BCH中，利用78.5的三角函数可求CHBHDHRtVDAH8.5AHABAHBHDCANHDHAN在Rt△BCHBCHβ78.5CHCBcos78.5o100.22m，BHCBsin78.5o100.989.8mDHCDCH1.623.6m，AH

24mABAHBH249.814.2mAB约为14.2m1（2025·DEF、GBEDFEBDAB的值 【答案】21 AD2a，根据平行四边形的性质和旋转性质得到13ABAEAB2aAD2a∵ABCD∴AD∥BC∴∠2∠3由旋转的性质得12ABAE∴BDAD2a∵EBD∴BEa134

1DAE∴ABBEABa AB2a∴AB

2a 2 故答案为：22（2025·福建泉州·二模）在等腰VABCA120，AB4O是VABCBD上的一1的eOB，将eOBD方向平移，当eO与VABCeO

1或

BBHCA交CAH，则∠ABC30，∠BAH60BH23

；再分当eOAC相切时，当eOBBHCA交CA∵等腰VABCBAC120，AB4∴∠ABC∠C180∠BAC30，∠BAH18012060∴AHABcos∠BAH2，BHABsin∠BAH BD平分ABC∴∠CBD1∠CBA15∴BD

1所示，当eOACG，连接OG，则∠OGD90，OG1∴OD

∴OBBDOD 2∴此时的平移距离为

2所示，当eOABS，连接OSABRBROR，连接OR∴OR2OS2，RS3OS3∴BS2 BS2OS∴BOBS2OS∴

1eO与VABCeO

1或

1或

3（2026·DFG

4

的值 ABCDAAEFG，可证△BAE∽△DAG

，设BE5k DG4kBC10kAGADAB12.5kAEGFDFGFDG8.5kGD

8【详解】解：∵ABCDAAEFG∴BADEAG，ABAE，ADAG ∴△BAE∽△DAG∴BEAB5 BE5kDG4k∵EBC∴BC10kAGAD∴AB5 ∴AB12.5kAEGF∴GD

8故答案为 4（2025·只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短（保留作图痕迹 在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MAMD最小，最小值 【答案 见解 ABCB5ACDBDACBDABCAADA、MDMAAD（1）（2）ABCAAD，MAMA，MAMDMAMDADA、MDMAMDADDDEBCDACEMEC1DE3AD故答案为：82

1 1 3232 5（2025·河北沧州·模拟预测）1~3ABOAB6MNO的弦（M，NA，B重合O沿直线MNNB重合，且ABM30①②当半圆O沿直线MN翻折后，劣弧N是否经过圆心 ”；MN∥AB2O作OPMNP，折叠后的劣弧N恰好经过OPQ，NQ，求tanMNQ的值；若折叠后的劣弧NABCC是半径OB3，求折痕MN若折叠后的劣弧NABMNdd(2)(3)3(4) d（1）①连接OMAB6ABM30，得到OAOB3APM2ABM60，根据的长即可；②OWOW与MNR，则ORN90由ABM30，故OR1OB1.5，根据折叠的等距性质，得WR1.5设OPTPTPQ，结合折叠后的劣弧N恰好经过OPQPTPQOQ1OT1，故OP2PQ2设折叠圆弧所在的圆的圆心为O，连接OOOCOM，设OO与MNH质，得OHM90OHOH1OOOCOAOBOM3MHNH1MN （1）①解：连接OM∵AB6，ABM30∴OAOB3，APM2ABM60∴603ππ②O沿直线MNOWOW与MNRORN90，由ABM30，故OR1OB1.5根据折叠的等距性质，得WR1.5，故ORWR3，等于圆的半径，W故劣弧NW的，解：设OP∴OPM90,PMPN1MNPTPQ∵折叠后的劣弧N恰好经过OP∴OQPQ∴PTPQOQ1OT∴OP2PQ2OM232∴OM232∴tanMNQPQ

5解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为O，连接OOOCOM，设OO与MNH，根据折叠的性质，得OHM90OHOH1OOOCOAOBOM3MHNH1MN∵C是半径OB∴OC1BC3 ∴OO

3232323∴OH1OO35 ∴MH

311OM2OM2OH∴MN2MH311解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为ONBMBB，此时MNOBO90OBOAOBOMOM3∴四边形OBOMOM2ON∴MNOM2ONMN∥AB，且MN恰好经过OPK∴OK1OP3 ∴KN

3232323∴MN2KN 故 d 6（2025·AB4，沿弦CD折叠，使折叠后的DABE．【发现】D所在圆的半径 【探究】为了找到D所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式．淇淇说：取弦CEED的中垂线的交点即可．2，只需作点O关于弦CD的对称点O，点O即为所求．EAB上运动，可以看成eOAB上滚动．嘉嘉说：没错，所以当点E在直径AB上运动时，点O的运动路线和直径AB的位置关系 3E为OB的中点，连接OB，交eO于点MAMAME落在线段OB上（包括端点，直接写出弦CD【答案【发现】2【探究】平行【拓展（1）85（2）弦CD的最大值为23，最小值为 D所在圆的半径为eO1AB2EABDABE，可得折叠后圆的半径为定值2OAB（1） AM12（2）设OEx，OO与CD交于点H，连接OC，根据勾股定理，垂径定理可得CD2CH 结合x的取值范围为012D所在圆的半径为eO1AB22探究：解：∵EABDABE∴即点OAB的距离为半径2∴点OAB平行．（1）∵点M在eOAMBAB为eO又∵E是eO∴OEB90∴AMOE ∵E为OBOB2∴EB=1OE2∴OBOE2∵AB4 8∴AM （2）最大值为23，最小值为 2，设OExOO与CDH，连接OCOE2OE2

x2∵Hx2∴OH1OO

x24H为CDOC2OHOC2OH312∴CD212∵E在线段OBx的取值范围为0x2∴

CD ∴弦CD的最大值为23，最小值为 7（2025·江苏徐州·模拟预测）在ABCD中，已知AB5，BC22，A45，以AB所在直线为轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将ABCD绕A点按逆时针方向旋转90得到OEFG（图C、F2，分的面积为y，当点D移动到OEFG的内部时，求y与x之间的关系式若ABCD与OEFG同时从O点出发，分别沿x轴、y轴的负半轴以1米/秒的速度平行移动，设移动3，【答案】(1)C7,2F2y1x22x22x41x4242x yx

7

3x

2 （1）根据勾股定理和坐标知识可求出CF因为DABGOA45AOHDAOF的面积来表示出来，分两种情况：当2x3时和当3x4时进行讨论，分别求出表示面积的解析式，然后根据二次函（1）解：如图，过C作CHxFFQx∵在ABCD中，已知AB5，BC22，A45CHBC2BHCH2OH527∴C7,2∵将ABCD绕A点按逆时针方向旋转90得到OEFG∴FQQE2OQ52AD与OG交于点MCDyHDABGOA45C7x2OMAM2OA2x，AMO90 QCDAB5DHx2yS四边形OHDMS梯形AOHD1DHAOOH1MA 122x2x222x 1x22x2，Q点D移动到OEFG的内部22x0，2x4yxy1x22x22x4解：2秒后，D移动到OEFG的内部，当2x3OAxDJx2，由（1）知ON2ANxMNANx2QS重叠部分S梯形AOJDSVAMNy1xx221x 1x24x1x424，Q2x3x3

y7当3x4时，如图，延长CDFGPPMDPPNMNPMDP2x24xRJEJx25x3QS重叠部分S正方形NOJPSVDPMSVRJEy221(4x)21(x x27x 7 x x7y有最大值15 1x4242x

与之间的关系式为yx

7

3x

，重叠部分面积的最大值

2 8（2025·1，在△BCDCBD30A在△BCDABABBCABC150O是BD上的一个动点，连接OA、OC，当OAOC最小时，COD的度数 2VABC和VADEABACADAEDBCFAFABEFEF与CD3VABCBCD修建便民服务中心，AD右侧修建一个等边三角形（即VADE）BE铺设一条石子小路（宽度忽略不计BE的FAAFABAC40mBAC120ACP修APCDBPBPAD的长度之和最小（ADBP最小）时，求此AF的长度．（1）45（2）（3） 10m（1）ACBDMAOCOA根据题意，得BACDAECAF90，于是得到DAC90CAEEAFAAMBCACAMBMACGPMPGADBP取得最小值，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，余弦定理，等腰三角形的性质（1）ACBDMAOCOAOCOMOAOC∵ABBC，ABC150∴BACBCA18015015∵CBD30，CODMBCACBEF与CDEFCD．理由如下：根据题意，得BACDAECAF90，DAC90CAEEAF即EAFDAC∵ABAC，ADAE，AFAB∴AFACAE∵EAFDACAE∴EFDCAAMBCACAM，BMACGPM，AC∵ACDCD∴MPAD∵BPPMBM∴BPADBM∴P，M，BBPADPG重合，取得最小值，AATBCT，∵ABAC40m，BAC120∴ABCACB30，BTCT1BC，AMAB∴BTABcosABC203，BC2BT ，ABMAMB∴CAM30∴BAMCAMBAC150∴ABMAMB15∴DAMDACCAM45∵VADE∴MAE15∴CAEMAECAM45BANBAANNEME∴ABMNAE∴AEGM∵VADE∴AEAD∴MGAD∴AEGM∴AEMG∴AGEMAN∵NAEAE∴NEME∵ACAM，BFFE∴AF1NE1ME1AG 过点C作CQBG，交AB的延长线于点∴ABMQ,MBCBCQ∵ABC30，ABMAMB15∴ABMQMBCBCQ∴BQBC∵CQBG∴ABAG 4040 4040解得AG20 ∴AF1AG10

10m故此时铺设灯光地板AF的长度为 10ma29a2

a1a12

材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在VABCPPAPBPC的值最x2y21x2y2124PAPBPCP1x2y21x2y2124x2x2

30x2x2

ABCACB901x2x223yx2AC23,1x2x223yx2x2x223y

，PB

，将△APC绕点C点逆时针旋转60得到VA1PC11x2A1D1x2PAPBPCAP1P1PBPA1Bx21x21x2x223yx223yPAPBx223yx2x2

，PA

，PB1x2将△APC绕点C点逆时针旋转60得到VA11x2QPCP1ACA160，ACD=90，A1CAC

，PCPC1，AP1APAD1AC ，DC3AD3，PPCP 2 又QBC33

19∵PAPBPCAP1P1PBPA1B∴PAPBPCAP1P1PBPA1B x2y21x2x2y21x2y2124x2x2

的最小值 10（2024·河北邯郸·模拟预测）1A45ABC60ABMN，点C在MNDDEMNEDE是半圆ODE4GDEDFE上的动 沿直线MN向右平移半圆O，若半圆O1个单位长度，求点G在VABC（包括边界）BBHMNHBH9，沿直线MN向右平移半圆O①2EH重合时，求半圆OBCRT②将半圆O2BE连带半圆O按顺时针方向开始旋转，如3所示，设旋转角为α0α180．当半圆O与VABCE运动的路径（注：结果保留πsin373sin534 【答案】(1)4， (3)①39；②37 （1）FECF有最小值，得到CFCEDE4，连接CO并延EF，此时CF有最大值，然后利用勾股定理求出OC的长度，进而求解即可；1GAC上，连接OGG作GFDEFGFOGsin60

3OF1，然后利用等腰直角三角形的性质得到CEPE3

32GBC上，根据切线的性质和三角函数值求出CE

①3O作OPRTP，连接OROR2OR2

RT②4OABQ，则OQABOBQ53E9053π937π （1）解：∵FE∴FECF有最小值，即CE∵DEMN∴EDC45∴CEDE4如图所示，连接COEF，此时CFDEODE4∴OE1DE2∵DEMN∴EDC∴CEDE4OE2∴OCOE2∴CFOCOF 2故答案为：4， 21GAC上，连接OGG作GFDEGEDDE∴GOD60在Rt△OGFGOD60∴GFOGsin603，OF在Rt△GPFGPFCPEPCEA45∴PFGF3∴OPPFOF 1∴PEOEOP2 13 ∴CEPE332GBCGOE180GOD120∴OGC360GOEOECGCE90BCO∴OCE1GCE1B30 在RtVOCECE

点G在VABC的区域内部（包括边界）的时长为3 2313 ①3O作OPRTP，连接OR在Rt△BPOOBP30OB925 ∴OP5在Rt△OPRPR

39OR2OR2∴RT2PR

39②4OABQ，则OQABsinOBQOQ2在Rt△OBQ∴OBQ53

5 1（2025·天津·中考真题）如图，在VABCACB90，将VABCA顺时针旋转得到△ABC，B，CB,CBCBCD，连接CCAC4,CD3CC的长为（A．【答案】

D．AD，交CC于点O，先证出RtVACD≌RtVACD，根据全等三角形的性质可得CDCD3AD垂直平分CC，则可得CC2OCADCC，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出OC的长，由此即可得．AD，交CC于点OACAC4ACBACB90∴ACD90在Rt△ACD和Rt△ACDADACAC∴CDCD3∴AD垂直平分CC∴CC2OC，ADCC∵ACB90，AC4,CD3AC2∴ADAC2又

V

1ADOC1ACCD ∴OCACCD4312 ∴CC21224 2（2025·江苏南京·中考真题）EFABCDRtABE≌RtCDFAB25 AEDF于点GBE，计算sinABE和cosABE，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得ABEDAEAGD90，利用sinDAE和cosDAEDG、AGFGEGEF的长．AEDF于点GAB2在RtVAB2

20，sinABEAE153∴cosABEBE204

∵Rt△ABE≌Rt△CDF∴ABEDAE∴CDFDAE，sin∠DAEsinABE3，cos∠DAEcosABE4 ∴DGsin∠DAE·AD33018，AGcos∠DAE·AD43024，EGF90 FG2∴EF FG23（2025·转90至△ABFEFAHEFHBCGBG2CG1，则CE的长为【答案】EG，根据旋转知△ABF≌△ADEDEBFAEAFAGEFEGFG，设CExDE3xBFFGEGBFBG5xCE2CG2EG2由旋转可知△ABF≌△ADE∴DEBF，AEAF，DABF90∵AGEF∴HEFAGEF设CEx，CE2CG2EG2，x2125x2，x12CE的长为12124（2025·(1)填空：如图①，点B的坐标 ，点C的坐标 (2)将VBCOx轴向右平移得到VBCOB，C，OB，C，O①如图②，设OOt，VBCO与VABOS．当VBCO与VABO重叠部分为五边形时，BO，BC，COAB，BOE，F，G，HtSt的取值②AB、OCABOC取得最小值时，求点C的坐标（直接写出结果即可【答案】(1)063933(2)S173t263tt的取值范围是0t6；C133由题意易得BO ，然后根据等边三角形的性质及三角函数可得CD9，进而问题可求解①BC∥BC，BCBOBCBO63，则有VCGHRtVOHOOOtHO 3t，HO23t，CHCOHO 23t239tCGGH EFBE·cos303t，BF1BE 3t A333，则由（1）Oy33B063ABOCACCB，A、C、BACCBABABOC的最小值，进而问题可求解．【详解（1）解：∵A6,0，ABO30，AOB90，tanABOtan30OA 3 BO

6 ∵VBCO为等边三角形，作CDyD，如图①则OD1BO33，DCO30，tanDCOtan30DO 3 CD

33 ∴B的坐标为063，C的坐标为933063，933（2）解：①BC∥BC，BCBOBCBO63∴BFGBFE90∵HOO30，CHGOHO60，CGHCBO60∴VCGH在RtVOHOOOtHO 3t，HO23t，CHCOHO 23t239tCGGH ∴CD 3CH 3239t9t 在RtVAOE中，OA6t，OE36t，BEBOOE 36t3t∵cosBEFcos30EF 3 ∴EFBE·cos30 33t3t，BF1BE13t 3t 所以SSVCBOSVCGHSVSVCBOSVCGHSV1OB·CD1GH·CD1 16391239t9t1

3t3 63t3t233t 173t263t当点O，Ot0，此时VBCO与VABOA，Ot6VBCO与VABO∴t0t6②AB和 t

0

n，ABAC 解得，m3，n ∴A3,33，由（1）Oy33B063ABOCACCBA、C、BACCBABABOC的最小ABykx63k0∴3k 33解得，k ∴直线AB的解析式为y33x 当y33时，33x x1C的坐标为133．5（2025·东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在Rt△ABCACB90ABC30，折叠VABCACABADBD、CD与BAC两边AB、AC存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断AB与BD的数量关系 项目组猜想：当VABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）AD为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．5，在VABCAD平分BACBCDEBCAEDEBDDE （2）（3） BADCAD1BAC30ADBDABCCAD30BCAACD90，证明△ABC∽△DAC先通过倒角证出△ABE∽△CAE（1）QBADCAD1BAC30ADC60，ABCBAD30ADBDQABCCAD30，BCAACD90△ABC∽△DACABACABAC ABBD．

ABBD ∴2ADE，BDBE ∴AEDE∴BDBE ∴VBDE∽VBCA∴BEAB ∴ABBD． 方案证明：CE∥AD∴1E，2ACE∴AEAC∵CE∥AD∴BDAB， 即ABBD． 方案证明：CFADBEAD∴VABE∽VACF∴ABBE ∵BDECDF∴BEBD， ∴ABBD． （3）证明：∵AD平分BAC∴12，ABBD ∵AEDE∴ADEDAE∴△ABE∽△CAE∴ABAE ∴BDAE 又∵AEDE∴BDDE 6（2025·在eOABABABOOAB如图1，连接OA，OB，∠AOB的度数为2DABADCBCBD①∠ACB的度数为；猜想BC与BD的数量关系②3AB（翻折后）OBCBD4AD为eOAB（AC部分）ACABE，连接CEAD10OC1，请直接写出线段CE（3）（1）如图，连接OOABN，则ON1OO,则OAN30OBN ∠AOB1803030120DCBD②ACBD是eODACB180，而BCDACB180（3）证明VDBH∽VABHBH4BD2DH2BH220BD

AD（AAS（1）则ON1OO 则OAN30OBN∴∠AOB1803030120，故答案为：120；CTAT、CT∵即DCBT180，∵ATBD是eODCBD，BCBD；②C的对应点为点CACBC．ACBACB，∵ACBD是eO（3）AB所在圆O1AECN所在圆O2OOAD10，105BBHCDH，∴CHDH1CD则CD4AC6，则CHDH1CD2AHACCH268∴VDBH∽VABHBH2DHAH，∴BH22816BH4（负值已舍去∴BD2DH2BH220BD

（负值已舍去作圆O2REERAD10，在圆O2RBAD，∵ERAD则CEBD 7（2025·动点（均不与端点重合PE．PEP90°，交边CD①1POPEPF②2AP1S四边形PECF

S正方形3BP，当BPE45PEP