高考数学新素养大二轮山东专用课件：专题五 解析几何第2讲　圆锥曲线的方程与性质

第2讲圆锥曲线的方程与性质总纲目录考点一圆锥曲线的定义及标准方程素养引领·情境命题考点二圆锥曲线的几何性质考点三直线与圆锥曲线的位置关系考点一圆锥曲线的定义及标准方程1.已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=

x,且与椭圆

+

=1有公共焦点,则C的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1B答案

B由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为

-

=k(k>0),即

-

=1,∵双曲线与椭圆

+

=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为

-

=1.故选B.2.(2019课标全国Ⅰ,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与

C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为

()A.

+y2=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1B答案

B设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,

由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2F1①,在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1,即4x

2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1②,由①②得x=

,所以2a=4x=2

,a=

,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆的方程为

+

=1.故选B.3.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M

为FN的中点,则|FN|=

.答案6解析如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的

准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|

=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.4.(2019课标全国Ⅲ,15,5分)设F1,F2为椭圆C:

+

=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为

.答案(3,

)解析不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,由M点在第一象限,△MF1F2是

等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又由椭圆方程

+

=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=2×6=12.所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.设M(x0,y0)(x0>0,y0>0),则

解得x0=3,y0=

,即M(3,

).总结提升求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”(1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定

时,抛物线方程常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆方程常设为mx2+ny2=1(m>

0,n>0,且m≠n),双曲线方程常设为mx2-ny2=1(mn>0).[提醒]

椭圆和双曲线的定义主要应用于两个方面:一是利用定义求它们的

标准方程;二是利用定义求弦长、离心率及焦点三角形的周长、面积(或最

值)等.1.(2019湖北四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为

,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若△F1AB的周长为8,则椭圆C的方程为

()A.

+

=1

B.

+

=1C.

+y2=1

D.

+

=1A答案

A由椭圆的定义可知,△F1AB的周长为4a,∴4a=8,a=2,又椭圆C的离心率为

,即

=

,∴c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为

+

=1,故选A.2.(2019河北石家庄一模,11)已知双曲线

-

=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线右支上存在一点M,使(

+

)·

=0(O为坐标原点),且|

|=t|

|,则实数t的值为

()A.

B.2

C.2

D.3答案

D∵(

+

)·

=0,∴(

+

)·(

-

)=0,∴|

|2-|

|2=0,∴|

|=|

|=c,∴MF2⊥MF1.∵|F1F2|=2c=4

,∴|MF1|2+|MF2|2=(4

)2.又|MF1|-|MF2|=2a=4

,∴|MF1|=6

,|MF2|=2

,∴t=

=3.故选D.D3.已知抛物线x2=4y的焦点为F,若M是抛物线上一点,且|MF|=5,O为坐标原点,

则该抛物线的准线方程为

,|MO|=

.答案

y=-14

解析由抛物线x2=4y,可得抛物线的开口向上,且p=2,所以抛物线的准线方程为y=-

=-1.设M(x0,y0),根据抛物线的定义可得|MF|=y0+

=y0+1=5,解得y0=4,把M(x0,4)代入抛物线的方程,得

=4×4=16,解得x0=±4,即点M(±4,4),所以|MO|=

=4

.考点二圆锥曲线的几何性质1.(2019课标全国Ⅱ,11,5分)设F为双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心

率为()A.

B.

C.2

D.

A答案

A如图,∵|PQ|=|OF|=c,∴PQ过点

.∴P

.又∵|OP|=a,∴a2=

+

=

,∴

=2,∴e=

=

.故选A.

2.(2018课标全国Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为

的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D由题意可得直线AP的方程为y=

(x+a),①直线PF2的方程为y=

(x-c).②联立①②得y=

(a+c),如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=

(a+c).D因为∠PF2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=

(a+c),所以sin60°=

=

=

,即a+c=5c,即a=4c,所以e=

=

.故选D.3.(2019课标全国Ⅲ,10,5分)双曲线C:

-

=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为

()A.

B.

C.2

D.3

答案

A由双曲线的方程为

-

=1,知a=2,b=

,故c=

=

,渐近线的方程为y=±

x.不妨设点P在第一象限,作PQ⊥OF于Q,如图,∵|PO|=|PF|,∴Q为OF的中点,∴|OQ|=

.A

令∠POF=θ,由tanθ=

得|PQ|=|OQ|tanθ=

×

=

.∴△PFO的面积S=

|OF|·|PQ|=

×

×

=

.故选A.4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线

-

=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲

线的渐近线方程为

.答案

y=±

x解析设A(x1,y1),B(x2,y2).由

得a2y2-2pb2y+a2b2=0,∴y1+y2=

.又∵|AF|+|BF|=4|OF|,∴y1+

+y2+

=4×

,∴y1+y2=p,∴

=p,即

=

,∴

=

,∴双曲线的渐近线方程为y=±

x.总结提升1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率(或离心率的范围),关键是根据已知条件确定a,b,c

的等量关系(或不等关系),然后把b用含a,c的式子代换,求

的值(或范围).2.双曲线的渐近线方程的求法及用法(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为0,分解因式可得.(2)用法:①可得

或

的值;②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.1.已知抛物线y2=2px(p>0),点C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与

抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标

准方程是

()A.y2=4x

B.y2=-4xC.y2=8x

D.y2=-8x答案

D因为AB⊥x轴,且AB过焦点F,所以线段AB是焦点弦,且|AB|=2p,所

以S△CAB=

×2p×

=24,解得p=4或p=-12(舍),所以抛物线方程为y2=8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x,故

选D.D2.(2019河南非凡联盟4月联考,6)已知O为坐标原点,直线l交双曲线x2-y2=4的

右支于A,B两点,交两渐近线于C,D两点,若A,B三等分CD,则S△AOB=

()A.2

B.

C.4

D.6答案

B设C(m,m),D(n,-n),由

=

⇒A

,代入双曲线方程得

-

=4⇒2mn=9,故S△AOB=

·S△COD=

·

m·

n·

=

.故选B.B3.过椭圆C:

+

=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值

范围是

()A.

B.

C.

D.

A答案

A由题设知,直线l:

+

=1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程,得y=±

,则以AB为直径的圆的半径r=

.又圆与直线l有公共点,所以

≤

,化简得2c≤b,平方整理得a2=b2+c2≥5c2,所以e=

≤

.又0<e<1,所以0<e≤

.故选A.考点三直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018课标全国Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为

的直线与C交于M,N两点,则

·

=()A.5

B.6

C.7

D.8D答案

D设M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y=

(x+2),即x=

y-2,由

得y2-6y+8=0.由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,∴x1+x2=

(y1+y2)-4=5,x1x2=

=4,∵F(1,0),∴

·

=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8,故选D.2.(2019课标全国Ⅰ,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为

的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若

=3

,求|AB|.解析设直线l:y=

x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F

,故|AF|+|BF|=x1+x2+

,由题设可得x1+x2=

.由

可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-

.从而-

=

,得t=-

.所以l的方程为y=

x-

.(2)由

=3

可得y1=-3y2.由

可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=

.故|AB|=

.总结提升解决直线与椭圆的位置关系问题,经常利用设而不求的方法,解题要点如下:(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2);(2)联立直线的方程与椭圆的方程;(3)消元得到关于x或y的一元二次方程;(4)利用根与系数的关系设而不求;(5)把题干中的条件转化为含有x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2的式子,进而求解即可.[提醒]对于中点弦问题,常利用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在

利用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ>0,在利用点差法时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.1.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A,

B两点,且线段AB中点的纵坐标为2,O为坐标原点,则△AOB的面积为

()A.2

B.

C.2

D.4A答案

A解法一:设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点

为M,由

消去x得y2-4ty-4=0,∴

由yM=

=2t=2,得t=1,∴S△AOB=

|OF||y1-y2|=

=2

.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2).由

得kAB=

=

=1,从而直线AB的方程为y=x-1,由抛物线定义可得|AB|=x1+x2+2=y1+y2+4=8,而点O到直线AB的距离d=

=

,从而S△AOB=

|AB|d=2

.2.(2019河北石家庄一模,14)已知双曲线C:x2-4y2=1,过点P(2,0)的直线l与C有

唯一公共点,则直线l的方程为

.答案

y=±

(x-2)解析∵双曲线C的方程为x2-4y2=1,∴a=1,b=

,∴渐近线方程为y=±

x.∵点P(2,0)在双曲线内部且直线l与双曲线有唯一公共点,∴直线l与双曲线的渐近线平行,∴直线l的斜率为±

,∴直线l的方程为y=±

(x-2).3.(2019黄山一模,20)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=

,点P是椭圆上的一个动点,△PF1F2面积的最大值是4

.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,

·

=0,且|

|+|

|=

,求此时直线AC的方程.解析(1)由题意知,当点P是椭圆上(或下)顶点时,△PF1F2的面积取得最大值.此时,

=

·2c·b=4

,又e=

=

,a2=b2+c2,解得a=4,b=2

,故所求椭圆的方程为

+

=1.(2)由(1)知F1(-2,0),由

·

=0得AC⊥BD.①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时,|

|+|

|=14,不符合题意.②当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时,其方程为y=k(x+2).由

消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-

,x1x2=

.所以|

|=

|x1-x2|=

.直线BD的方程为y=-

(x+2),同理可得|

|=

.由|

|+|

|=

=

,解得k2=1,则k=±1.故所求直线AC的方程为y=±(x+2).素养引领·情境命题圆锥曲线常与直线、圆、平面向量交汇命题,对于圆锥曲线性质考查命题点

又有新的“亮点”.1.一种画双曲线的工具如图所示,长杆OB