北师 九上 数学 第1章《1.4正方形的性质与判定》课件

4正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2正方形的性质正方形的判定中点四边形知1－讲知识点正方形的性质11.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。正方形的特殊性质如下表：知1－讲性质图形数学表达式边、角定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等∵四边形ABCD

是正方形，∴∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，AD=DC=CB=BA知1－讲性质图形数学表达式对角线定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分∵四边形ABCD

是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC，OB=OD知1－讲2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质对比类别边角对角线平行四边形对边平行、相等对角相等对角线互相平分菱形对边平行、四条边相等对角相等对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角矩形对边平行、相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行、四条边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角知1－讲特别提醒正方形的其他性质：1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.2.正方形的面积=边长平方=两条对角线乘积的一半.3.周长相等的四边形中，正方形的面积最大.知1－练如图1-4-1，在正方形ABCD

中，E为CD

上一点，F为BC

延长线上一点，CE=CF.例1解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息来解决问题.知1－练(1)求证：△BCE≌△DCF；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°.∴∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.知1－练(2)若∠BEC=60°，求∠

EFD的度数.解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－∠CFE=60°－45°=15°知1－练1-1.如图，四边形ABCD

是正方形，△DCE是等边三角形，AC，BD

交于点O，连接OE

交CD于点G.知1－练(1)求∠AED的度数；知1－练(2)若OG=1，求△CDE

的周长．解：易知OC＝OD，DE＝CE，∴点O，E在CD的垂直平分线上。∴OE垂直平分CD，∴G是CD的中点。易知OB＝OD，∴OG是△BCD的中位线。∴BC＝2OG＝2。∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC＝2。∵△DCE是等边三角形，∴△CDE的周长＝3CD＝6。知2－讲知识点正方形的判定21.正方形的判定方法定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。定理：有一个角是直角的菱形是正方形。定理：对角线相等的菱形是正方形。知2－讲2.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系

知2－讲知2－练【一题多解】如图1-4-2，△ABE

为等腰直角三角形，AB=AE，AC

为高，O

是AE

的中点，延长CO

到点D，使OD=OC，连接AD，DE.求证：四边形ACED

是正方形.例2解题秘方：“先确定待证四边形是一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定它是正方形.

知2－练知2－练

知2－练

知2－练2-1.如图，在矩形ABCD

中，点E，F

分别是AB，BC

的中点，连接AF，CE.知2－练(1)若AE=2，AF=5，求CE

的长；知2－练(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD

是正方形.知3－讲知识点中点四边形31.中点四边形的概念：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形.如图1-4-3，在四边形ABCD

中，E，F，G，H

分别是AB，BC，CD，DA

的中点，则四边形EFGH

就是中点四边形.2.常见的中点四边形(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形；(2)平行四边形的中点四边形是平行四边形；(3)矩形的中点四边形是菱形；(4)菱形的中点四边形是矩形；(5)正方形的中点四边形是正方形.知3－讲知3－讲注意若中点四边形是菱形，则原四边形不一定是矩形，因为只需要满足对角线相等即可。知3－讲特别提醒中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形)；两条对角线相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).知3－练如图1-4-4，顺次连接菱形ABCD的各边中点E，F，G，H，若AC=a，BD=b，求四边形EFGH的面积.例3解题秘方：先确定中点四边形的形状及边的长度，然后根据面积公式计算即可。知3－练

知3－练

知3－练3-1.如图，在四边形ABCD中，

AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1

各边中点，得到四边形A2B2C2D2⋯⋯如此进行下去得到四边形AnBnCnDn，则四边形A3B3C3D3

的面积为______，四边