线性代数方程组的直接解法5_第1页
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文档简介

§5直接法误差分析/*ErrorAnalysisofDirectMethod*/一、扰动方程组误差界/*ErrorBoundofPerturbedSystems*/由实际问题得到方程组系数矩阵或者常数向量元素，本身会存在一定误差；这些初始数据误差在计算过程中就会向前传输，从而影响到方程组解。初始数据误差和方程组近似解误差之间关系例12考查方程组：准确解为第1页设方程组存在扰动准确解为上例说明该方程组解对初始元素扰动非常敏感。设方程组为系数矩阵和常数向量扰动分别记为：和实际求解方程组为第2页假如和很小，而很大，则称方程组为病态(/*ill-conditioned*/)方程组，称系数矩阵为关于求解方程组或求逆病态矩阵；反之，假如和微小时，也微小，则称方程组为良态(/*Well-conditioned*/)方程组，称系数矩阵为关于求解方程组或求逆良态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性第3页设为可逆阵，为一个隶属矩阵范数，则称为矩阵条件数

若矩阵范数取2-范数，则得到谱条件数：

若矩阵范数取1-范数，则得到1-条件数：

若矩阵范数取

-范数，则得到-条件数第4页

假如是正交矩阵，则

条件数性质（）设

正交矩阵：

假如为正交矩阵，则第5页Lemma设，在正交变换下，谱范数和F-范数保持不变，即设则有：证实：（1）同理可证第6页（2）对设

设和是按模最大和最小特征值，则取2-范数等号成立第7页设为可逆阵，和分别满足方程组和其中，且适当小，使得则其中所用是任意向量范数和隶属于它矩阵范数第8页证实：设，假如则可逆，且且由条件所以可逆，且（摄动定理）第9页方程组有唯一解第10页第11页Corollary(推论)

假如，则

假如，则在上述定理条件下，仅由或者引发解相对误差限可大致认为是原始扰动相对误差倍数，倍数近似等于条件数。第12页

假如，则证实：结论得证实际相对误差与条件数关系第13页比如：Hilbert矩阵就是一个著名病态矩阵n46810

283752.9E+73.39E+103.54E+13155141.5E+71.53E+101.60E+13283752.9E+73.39E+103.54E+13对称正定矩阵第14页设是方程组准确解，是近似解，则有，称之为剩下（或残余）向量证实：定理给出了相对误差预计范围（与条件数相关）第15页结论得证第16页二、病态方程组求解时需要注意问题

惯用几个判定方程组为病态经验方法

当相对来说很小时，或者矩阵一些行（列）近似线性相关时，可能为病态；

矩阵在采取选主元消去法求解方程组时，在消元过程中出现很小主元，可能为病态；

解方程组得到了一个很大

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