初三数学.直升班.暑.教师版.第7讲全等和相似讲义

开篇引言各位老师，大家好。本讲我们将聚焦初中几何的核心内容——全等三角形与相似三角形。这两大块知识不仅是平面几何的基石，也是中考乃至直升考的重点与难点。对于直升班的学生而言，不仅要熟练掌握基本的判定与性质，更要能够灵活运用这些知识解决综合性问题，体会其中蕴含的转化与建模思想。本讲旨在帮助各位老师系统梳理这部分内容，并提供一些教学上的思路与例题参考，希望能对大家的暑期教学有所助益。一、教学目标1.知识与技能：*学生能够准确复述全等三角形和相似三角形的定义、判定定理及性质。*能够熟练运用全等三角形的判定（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）和性质解决线段相等、角相等的证明与计算问题。*能够熟练运用相似三角形的判定（AA,SAS,SSS）和性质解决比例线段、角度关系、面积比等问题。*理解并能区分全等与相似的联系与区别，明确全等是相似的特殊情况（相似比为1）。*初步掌握构造全等或相似三角形解决几何问题的常用辅助线添加方法。2.过程与方法：*通过对典型例题的分析与讲解，引导学生经历观察、猜想、验证、推理的过程，提升逻辑推理能力和空间想象能力。*培养学生运用数学语言清晰表达思考过程的能力。*引导学生总结解题规律，形成解题策略，提升分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观：*通过几何图形的变换与联系，激发学生对几何学习的兴趣。*在解决复杂问题的过程中，培养学生坚韧不拔的探索精神和合作交流意识。*体会数学的严谨性和逻辑性，感受数学的美学价值。二、教学重难点*重点：*全等三角形的判定定理及其灵活应用。*相似三角形的判定定理及其灵活应用。*全等与相似三角形性质的综合应用。*难点：*在复杂图形中准确识别全等或相似三角形的对应关系。*辅助线的添加技巧，特别是构造全等或相似三角形的辅助线。*利用相似解决动态几何问题或与函数结合的综合题。*区分何时用全等，何时用相似，并能综合运用两者解决问题。三、知识梳理与例题精讲（一）全等三角形1.定义回顾：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（引申：对应边上的中线、高线、对应角的平分线也相等，周长相等，面积相等。）3.判定定理：*SSS(Side-Side-Side)：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS(Side-Angle-Side)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA(Angle-Side-Angle)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(Angle-Angle-Side)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL(Hypotenuse-Leg)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。例题精讲例1已知：如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AF=DC。求证：△ABC≌△DEF。*教师引导：*要证△ABC≌△DEF，已知AB=DE，BC=EF，即已有两组边对应相等。我们还需要什么条件？（第三边相等，或这两边的夹角相等）*题目中给出AF=DC，观察图形，AF、DC与AC、DF有什么关系？（AF+FC=AC，DC+FC=DF，因为AF=DC，所以AC=DF）*因此，可由SSS判定△ABC≌△DEF。*证明过程：（此处引导学生口述或板书，强调规范书写格式）*∵AF=DC（已知）*∴AF+FC=DC+FC（等式性质）*即AC=DF*在△ABC和△DEF中*AB=DE（已知）*BC=EF（已知）*AC=DF（已证）*∴△ABC≌△DEF(SSS)例2已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2。求证：BC=DE。*教师引导：*要证BC=DE，观察它们分别在△ABC和△ADE中，考虑证这两个三角形全等。*已知AB=AD，AC=AE，已有两组边对应相等。*题目中∠1=∠2，这两个角与△ABC和△ADE的内角∠BAC、∠DAE有何关系？（∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAC=∠DAE）*因此，可由SAS判定△ABC≌△ADE，从而得到BC=DE。*证明过程：（学生独立完成后教师点评，强调“夹角”的重要性）【教师点拨】在运用SAS时，必须注意是“夹”角，避免出现“SSA”的错误。对于复杂图形，要引导学生从已知条件出发，联想全等的判定方法，寻找缺少的条件，并思考如何从题设中推导出来。辅助线的添加往往是为了创造全等的条件，例如倍长中线、截长补短等，这些方法在后续的综合题中会经常用到。（二）相似三角形1.定义回顾：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2.性质：*相似三角形的对应角相等。*相似三角形的对应边成比例。*相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*相似三角形周长的比等于相似比。*相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.判定定理：*AA(Angle-Angle)：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。*SAS(Side-Angle-Side)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。*SSS(Side-Side-Side)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。例题精讲例3已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=4，求AC的长。*教师引导：*DE∥BC，这是一个非常重要的条件，它能带来什么结论？（想到“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”，或者直接得到△ADE∽△ABC）*若△ADE∽△ABC，相似比是多少？（AD:AB=AD:(AD+DB)=3:5）*根据相似三角形对应边成比例，有AD/AB=AE/AC，代入数据即可求出AC。*解题过程：*∵DE∥BC*∴△ADE∽△ABC(AA)*∴AD/AB=AE/AC*∵AD=3，DB=2∴AB=AD+DB=5*∴3/5=4/AC*解得AC=20/3例4已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D。求证：AC²=AD·AB。*教师引导：*要证AC²=AD·AB，即证AC/AD=AB/AC，这是比例式的形式，考虑通过相似三角形来证明。*观察线段AC、AD、AB分别在哪些三角形中？（AC、AD在△ACD中，AB、AC在△ABC中）*能否证明△ACD与△ABC相似？（两个三角形都有一个直角，且∠A是公共角，因此由AA可证相似）*相似三角形对应边成比例，即可得到结论。*证明过程：*∵CD⊥AB∴∠ADC=90°*∵∠C=90°∴∠ADC=∠ACB*又∵∠A=∠A（公共角）*∴△ACD∽△ABC(AA)*∴AC/AB=AD/AC*∴AC²=AD·AB*【教师拓展】此题为“射影定理”的结论之一。引导学生思考还能得到哪些类似的结论（BC²=BD·AB，CD²=AD·BD），并尝试证明。射影定理在直角三角形的计算与证明中应用广泛，需让学生理解其本质。【教师点拨】相似三角形的判定，AA是最常用的方法，因为找到两个对应角相等相对容易。对于SAS和SSS，则需要准确计算线段的比例关系。在教学中，要引导学生善于从复杂图形中分解出基本的相似三角形模型，如“A”型、“X”型、母子型（如例4的射影定理模型）等，这有助于快速找到解题思路。同时，要强调相似比的顺序性，以及面积比与相似比的关系。（三）全等与相似的联系与区别*联系：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。因此，全等三角形具有相似三角形的所有性质。*区别：*定义不同：全等强调“完全重合”（形状和大小都相同），相似强调“形状相同，大小不一定相同”。*性质侧重不同：全等三角形重点关注对应边、对应角的“相等”关系；相似三角形重点关注对应边的“比例”关系。*判定方法不同：全等的判定条件更严格（对应边必须相等），相似的判定条件更具一般性（对应边成比例即可）。教师引导学生思考：在什么情况下我们会优先考虑证明全等？什么情况下会优先考虑证明相似？（当需要证明线段相等或角相等时，优先考虑全等；当需要证明线段成比例、求比值或面积关系时，优先考虑相似。）四、课堂练习与拓展基础巩固1.如图，已知AB=CD，AE=DF，CE=BF。求证：AF=DE。（考查SSS或SAS全等）2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线。求证：AD平分∠BAC。（考查SSS或SAS全等，或等腰三角形三线合一）3.如图，△ABC∽△AED，若AB=5，AE=3，BC=6，求ED的长。（考查相似三角形对应边成比例）4.已知两个相似三角形的相似比为2:3，它们的周长差为10，求这两个三角形的周长。（考查相似三角形周长比等于相似比）能力提升5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O。若AO=2，OC=3，AB=4，求CD的长。（考查“A”型相似或平行线分线段成比例定理）6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。求证：FD²=FB·FC。（考查相似三角形的判定与性质，射影定理的应用，或通过等角代换找相似）拓展延伸7.（动态几何）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒后，△PBQ与△ABC相似？（注意分类讨论，对应边的不同情况）【教师提示】练习的选取应循序渐进，从基础巩固到能力提升，再到拓展延伸，满足不同层次学生的需求。对于拓展延伸题，要引导学生分析题目中的变量与不变量，运用分类讨论、方程思想等解决问题。五、课堂小结与作业布置课堂小结：*再次强调全等三角形与相似三角形的核心判定定理和性质。*引导学生回顾本讲所涉及的基本图形和解题方法。*鼓励学生总结在解题过程中容易出错的地方和心得体会。作业布置：*必做题：教材对应练习题中选取典型题目，巩固基础知识和基本技能。*选做题：选取1-2道综合性稍强的题目，供学有余力的学生挑战，培养其探究能力。*预习作业：预习下一讲内容，为后续学习做好准备。教师寄语：全等与相似是平面几何的灵魂，它们将零散的几何知识串联起来。希望同学们通过本讲的学习，不仅