河南省南阳市部分学校高三上学期1月第四次联考试题数学

年度上学期河南省高三年级第四次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．2．若复数为纯虚数，则实数（）A．3 B．5 C． D．3．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．4．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（）A．120种 B．144种 C．240种 D．288种6．已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（）A．4 B．3 C．2 D．17．现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（）A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克8．已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列的前项和，则（）A．B．C．D．数列的前项和10．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（）A．B．C．设为内一点（含边界），的最小值为6D．设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为11．已知函数的定义域为，下列结论正确的是（）A．若，则是的极值点B．若在上单调递增，则函数在上单调递减C．若函数在上单调递增，则在上单调递减D．若在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若函数在上单调递增，则____________．13．已知函数没有零点，则____________．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值．16．（15分）如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点．（1）证明：．（2）求二面角的正弦值．17．（15分）如图，在边长为2的等边中，为内一点，．（1）若求的面积；（2）若，求的值．18．（17分）甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打．假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立．（1）求前三局中甲恰好参与了两局的概率；（2）求第局有甲参与的概率；（3）求第局是甲、乙对打的概率．19．（17分）（1）求函数的单调递增区间；（2）若存在使得对任意，都有，求的最小值；（3）已知，，且，求的最值．

年度上学期河南省高三年级第四次联考数学试卷参考答案题序1234567891011121314答案BDADCCCABCDACDBCD13【评分细则】【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分.【2】第9，10，11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.【3】第12，13，14题，凡与答案不符的均不得分.1．B【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.，.2．D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.，因为复数为纯虚数，所以，解得.3．A【解析】本题考查函数的图象，考查直观想象的核心素养.是偶函数，且，故选A.4．D【解析】本题考查充分条件与必要条件，考查逻辑推理的核心素养.若，则或，.若，则或，.故“”是“”的既不充分也不必要条件.5．C【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养.由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，选取两天捆绑在一起，再排列，不同的方案共有种.6．C【解析】本题考查直线与圆，考查直观想象、数学运算的核心素养.由题意得，，则，因为圆的圆心到直线的距离，所以.因为，所以，解得.7．C【解析】本题考查数列的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的数列为，的公差为.由题意可得，所以，即，.因为，所以，解得，质量最重的盒子最少是5千克.8．A【解析】本题考查立体几何，考查直观想象的核心素养.如图，在直三棱柱中，，.不妨设直线为直线，平面为平面，直线在平面内，此时满足直线与平面所成的角为，直线与直线垂直.当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最大值，最大值为；当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最小值，最小值为0.9．BCD【解析】本题考查数列，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.，A错误.当时，，则，也满足上式，所以，，B，C均正确.，数列的前项和，D正确.10．ACD【解析】本题考查平面向量，考查直观想象、数学运算的核心素养.延长交于点.易知是等边三角形，，四边形是平行四边形，，，A正确.，B错误.在上的投影向量的模长的最小值为，，C正确.过点作直线的平行线，分别交，于点，.因为，点在线段上，当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以的取值范围为，D正确.11．BCD【解析】本题考查函数与导数，考查数学抽象、逻辑推理的核心素养.若为常函数，满足，但不是的极值点，A错误.因为在上单调递增，所以当时，.，当时，，所以，，所以函数在上单调递减，B正确.易知，由B选项可得，若在上单调递增，则在上单调递减，即在上单调递减，C正确.因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，当时，，，当时，，所以，，，所以在上单调递增，由C选项可得在上单调递减，D正确.12．【解析】本题考查三角函数，考查逻辑推理的核心素养.的最小正周期为，在上单调递增，，所以，，解得，，因为，所以.13．1【解析】本题考查函数，考查逻辑推理的核心素养.因为，所以，，因为没有零点，所以.14．3【解析】本题考查双曲线与抛物线，考查直观想象、数学运算的核心素养.根据题意可得，过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为.显然直线为抛物线的准线，则.因为，所以.由双曲线的定义及已知条件可知，所以.设，在中，.因为，所以.因为，所以，化简得，即，解得（舍去）.15．【解析】本题考查椭圆，考查数学运算的核心素养.解：（1）由题意可得，1分解得，，3分所以的方程为4分（2）设，由，得，6分，解得或，7分则①，②.8分因为是的中点，所以，9分结合①解得，，11分代入②，解得，满足或，所以的值为.13分【评分细则】第（1）问中，正确解出，，各给1分.16．【解析】本题考查立体几何，考查直观想象、数学运算的核心素养.（1）证明：因为平面，平面，所以1分在等边中，是的中点，所以2分因为，所以平面3分因为平面，所以4分（2）解：不妨设，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，5分则，，，，7分所以，，8分设平面的法向量为，则，取，得，10分设平面的法向量为，则，取，得12分又，14分所以，所以二面角的正弦值为15分【评分细则】【1】第（1）问另解如下：不妨设.以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系（图略），1分则，，，，3分所以，，4分所以，5分所以7分【2】第（2）问另解1如下：不妨设在中，，，6分过点作，垂足为，过点作，垂足为（图略）.易知，的面积为，解得8分记点到平面的距离为，在中，，，，则，10分三棱锥的体积为，12分即，解得.13分记二面角的大小为，，所以二面角的正弦值为15分第（2）问另解2如下：不妨设.过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.6分因为平面，平面，所以平面平面.因为平面平面，所以平面，所以二面角的平面角为7分同理，二面角的平面角为，8分所以二面角的大小为9分在中，，，，，11分在中，，，，，13分又，所以二面角的正弦值为15分17．【解析】本题考查解三角形，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.解：（1）在中，由余弦定理得，2分即，解得（舍去），3分故的面积为5分（2）设，则，，7分在中，由正弦定理得，即①.9分在中，由正弦定理得，则②11分①×②得，即，13分所以，，14分，即15分【评分细则】在（2）问中，写了，，各给1分.18．【解析】本题考查概率，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.解：（1）分两种情况.第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为.2分第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为3分故所求概率为4分（2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为5分若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为；6分若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以，7分即8分因为，所以，所以，即10分（3）第局是甲、乙对打，则第局丙轮空，记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为.若第局有丙参与，则第局有丙参与的概率为；若第局没有丙参与，则第局一定有丙参与，所以，12分即13分因为，所以，所以，即15分第局是甲、乙对打的概率为17分【评分细则】第（3）问另解如下：记第局有乙参与的概率为，第局有丙参与的概率为.根据（2），同理可得，12分14分记第局甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，乙、丙对打的概率为，则16分解得，即第局是甲、乙对打的概率为17分19．【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.解：（1）1分令，得，解得，3分故的单调递增区间为4分（2），若，则5分若，则，7分所以的最大值的最小值为0，即的最小值为0.9分（3）令函数，，10分①当时，，，所以，在上单调递增11分因为，，所以，当且仅当，时，等号成立.12分②当时，令，得或，即或.