核心素养导向下的一元一次方程应用问题解决（七年级上册）

核心素养导向下的一元一次方程应用问题解决（七年级上册）

一、教学背景分析

（一）教材分析

【基础】本节课“一元一次方程的应用”位于北京师范大学出版社义务教育教科书《数学》七年级上册第五章“一元一次方程”的第3节。在此之前，学生已系统学习了代数式、等式的基本性质以及一元一次方程的解法，为本节课将实际问题抽象为数学问题、进而通过方程求解奠定了知识与技能基础。本节课是本章的核心与落脚点，它不仅是前面所学知识的综合运用，更是初中数学建模思想的启蒙与开端。【重要】从知识体系上看，它承前启后，为后续学习二元一次方程组、一元二次方程、分式方程乃至函数等更复杂的数学模型及其应用铺设了关键的思维台阶。教材中编排了行程问题、工程问题、销售问题、储蓄问题、配套问题等经典类型，旨在通过多样化的情境，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的数学活动过程，初步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，感悟模型思想，发展应用意识和创新能力。

（二）学情分析

【基础】七年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对于生活中常见的数量关系（如单价、数量、总价，速度、时间、路程）有直观感受，具备一定的生活经验。通过前两节的学习，已掌握了求解一元一次方程的基本程序，具备了将简单文字语言转化为符号语言（代数式）的能力。【难点】然而，将复杂的、隐含多重数量关系的实际问题，通过分析、抽象、概括，准确地找出等量关系并正确设元列方程，仍然是他们面临的主要困难。部分学生习惯于算术思维，对于逆向思维的方程建模方式存在思维定势上的阻碍，容易混淆“设未知数”与“用未知数表示其他量”的逻辑关系。此外，对问题情境的理解深度、对多步推理的条理性、以及对解的检验意识，均有待教师在教学中着力培养。

（三）设计理念

本节课严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的课程理念，以发展学生核心素养为导向，特别是聚焦于“会用数学的眼光观察现实世界”、“会用数学的思维思考现实世界”、“会用数学的语言表达现实世界”。【核心素养发展点】在教学实施中，通过创设真实、鲜活的问题情境，激发学生主动探究的欲望；以“问题串”驱动深度思考，引导学生在分析、比较、反思中自主建构知识；强调“模型观念”与“应用意识”的培养，将解题过程升华为问题解决的过程。课堂设计力求体现“学为中心”，通过独立思考、小组合作、展示交流等多种学习方式，让不同层次的学生都能在原有基础上获得发展，实现从“学会”到“会学”的转变。

二、教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.知识与技能：能够准确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，并据此设出未知数、列出方程；熟练掌握一元一次方程解决一般应用问题的基本步骤与方法；能检验方程的解是否符合实际意义。

2.过程与方法：经历将实际问题抽象为方程模型的过程，体会建模思想；通过分析不同情境下的问题，归纳出寻找等量关系的一般策略，提升分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，认识数学的应用价值；在解决问题的过程中，培养克服困难的意志品质和严谨求实的科学态度；通过小组合作，增强合作交流意识和团队精神。

（二）核心素养聚焦

【非常重要】模型观念：核心在于引导学生经历从现实情境中抽象出数学问题，用数学符号（方程）表达数量关系，求解并解释结果的全过程，初步建立数学模型思想。

【重要】应用意识：有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。

抽象能力：能从具体问题中剥离出核心数量关系，排除无关信息的干扰。

运算能力：准确、熟练地解一元一次方程。

推理能力：能依据等量关系进行有条理的思考与表达。

三、教学重难点

（一）教学重点

【高频考点】【重要】1.分析实际问题中的数量关系，找出等量关系。

2.根据等量关系，列出一元一次方程。

（二）教学难点

【难点】【非常重要】1.从复杂情境中准确识别并抽象出等量关系，特别是对于含有两个或多个未知量的问题，如何选择恰当的未知数设元。

2.将实际问题中的文字语言准确转化为数学符号语言，构建方程模型。

四、教学方法与准备

（一）教学方法

坚持启发式教学与探究式学习相结合。主要采用“问题驱动教学法”和“小组合作学习法”。教师通过精心设计的问题链，引导学生层层深入思考；学生在自主探索和合作交流中，经历知识的形成与应用过程。辅以“变式训练”，深化学生对模型的理解，提升思维的灵活性。

（二）教学准备

1.教师：制作多媒体课件（PPT），包含问题情境动画、关键步骤图示、学生作品展示平台；准备导学案，设计好分层练习题目。

2.学生：预习教材相关内容，回顾一元一次方程的解法；每4-6人分为一个学习小组。

五、教学实施过程

（一）创设情境，引入新知（约5分钟）

【基础】教师通过多媒体展示一个学生熟悉的校园生活场景：“学校即将举办秋季运动会，体育委员需要为班级购买一些矿泉水。已知大瓶矿泉水每瓶3元，小瓶矿泉水每瓶2元。他共买了20瓶水，花了52元。你能帮他算算大、小瓶矿泉水各买了多少瓶吗？”

【设计意图】此情境贴近学生生活，能迅速吸引其注意力。问题本身并不复杂，但隐含了“总价=单价×数量”的基本模型，且含有两个未知量，是引导学生从算术思维向方程思维过渡的理想切入点。

教师提问：“对于这个问题，你能用哪些方法解决？”学生可能会想到尝试猜测、列表格、甚至算术方法。在学生展示不同思路后，教师引导：“如果大瓶和小瓶的数量我们都不知道，但它们的总和是知道的，总价也是知道的，我们能否用一个更直接、更有力的方法来解决？今天我们就来系统学习‘一元一次方程的应用’。”由此引出课题，并板书优化后的课题：【核心素养导向下的一元一次方程应用问题解决】。

（二）合作探究，构建模型（约15分钟）

1.分析问题，明确思路

【重要】教师引导学生对“买水问题”进行数学分析：

（1）已知量有哪些？（单价、总数量、总花费）

（2）未知量是什么？（大瓶数量、小瓶数量）

（3）它们之间有什么数量关系？（大瓶数+小瓶数=20；大瓶花费+小瓶花费=52）

（4）这是一个含两个未知数的问题，我们能否将其中一个未知数设为x，然后用x表示出另一个未知数？

学生小组讨论后，很容易达成共识：可以设大瓶买了x瓶，则小瓶买了（20-x）瓶。

2.建立方程，求解模型

教师追问：“接下来，如何利用‘总花费52元’这一信息来列方程？”

引导学生根据“大瓶总价+小瓶总价=总价”这一等量关系列出方程：

3x+2(20-x)=52

学生独立解方程，教师巡视指导，规范书写格式。解得x=12，进而得到小瓶为20-12=8瓶。

3.检验反思，归纳步骤

【高频考点】教师引导学生对结果进行检验：12×3+8×2=36+16=52，符合题意。

在此基础上，师生共同回顾整个解题过程，归纳出用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：

（1）审：审清题意，分析已知量和未知量，明确数量关系。

（2）设：设出恰当的未知数（通常求什么设什么，有时也设间接未知数），并用含未知数的代数式表示其他相关量。

（3）找：找出问题中蕴含的等量关系（这是最关键的一步）。

（4）列：根据等量关系，列出方程。

（5）解：解这个方程，求出未知数的值。

（6）验：检验所得解是否符合方程，是否符合实际意义。

（7）答：写出答案（包括单位）。

教师板书这七个步骤，并强调【非常重要】“找等量关系”是核心，贯穿始终。

（三）变式训练，深化理解（约15分钟）

为了让学生在不同情境中运用和巩固模型思想，教师设计了三个层层递进的变式问题，以小组合作形式展开。

【基础】变式1（行程问题）：小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米。如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？

【设计意图】这是一个经典的相遇问题，数量关系明确。学生需找出“小彬跑的路程+小明跑的路程=总路程”这一等量关系。小组讨论，列方程4x+6x=100。巩固“审、设、找、列”的基本程序。

【重要】变式2（工程问题）：整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，恰好完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

【设计意图】本题将工作总量抽象为“1”，工作效率为1/40，是工程问题的典型代表。难点在于理清“先后两段工作量的和等于总工作量”。设先安排x人工作，则第一阶段工作量为(1/40)×x×4，第二阶段工作量为(1/40)×(x+2)×8。方程为(4x/40)+(8(x+2)/40)=1。此变式提升了问题的复杂性，锻炼了学生的抽象能力和分析能力，教师需引导学生关注“工作效率、工作时间、工作量”三者的关系。

【难点】变式3（方案决策问题）：七年级（1）班计划用100元班费购买甲、乙两种笔记本作为运动会奖品，共需购买20本。已知甲种笔记本每本6元，乙种笔记本每本4元。请问他们的购买方案有几种？若要使购买的甲种笔记本不少于8本，请你设计出所有可能的购买方案，并计算哪种方案花费最少？

【设计意图】此变式将方程与不等式、最优化思想初步结合，具有开放性和探究性。首先，设购买甲种笔记本x本，则乙种(20-x)本，根据总价100元可列出方程6x+4(20-x)=100，解得x=10，得到唯一解。然后增加条件“甲种笔记本不少于8本”，使得问题变为在满足x≥8且总价不超过100元（或等于100元？此处需精准审题，原题是“用100元购买”，即花费不能超过100元）的范围内寻找可行方案。这实际上引出了不等式和不定方程的思想萌芽，极大地挑战了学生的思维。教师引导小组讨论，部分学生可能会列出6x+4(20-x)≤100，解得x≤10，结合x≥8且x为整数，得到x=8,9,10三种方案，再分别计算总花费进行比较。此题不仅巩固了方程应用，更拓宽了学生的视野，为后续学习打下伏笔。

（四）展示交流，释疑点拨（约8分钟）

各小组选派代表，上台展示变式训练的解题过程和成果，特别是变式3的不同思路。教师适时进行点评和点拨。

针对学生可能出现的典型错误或困惑，如：

设未知数不恰当，导致方程复杂难解；

等量关系找错，例如在工程问题中将工作时间或效率混淆；

解方程过程中去分母、去括号等步骤出错；

忽略了对解的检验，导致出现不符合实际的答案。

教师将这些共性问题集中讲解，并再次强调【非常重要】“找出题目中隐含的等量关系是解决问题的金钥匙”。同时，对不同小组的创造性解法（如变式3中的列表法、枚举法）给予充分肯定和鼓励，促进学生思维的多元化发展。

（五）课堂小结，升华认知（约5分钟）

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行课堂小结。

1.知识层面：回顾一元一次方程解决实际问题的七个基本步骤，尤其是“找等量关系”的核心地位。

2.方法层面：总结寻找等量关系的一些常见策略，如：抓住关键语句（“一共”、“比……多/少”、“是……的几倍”等）、借助图形图表（线段图、示意图）、联想常见数量关系（行程、工程、销售等）。

3.思想层面：再次强调【核心素养发展点】“模型思想”和“应用意识”。认识到方程是刻画现实世界的有效数学模型，数学可以帮助我们更好地理解和解决生活中的问题。

教师寄语：“数学源于生活，又服务于生活。希望同学们在今后的学习和生活中，都能用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言去表达。”

（五）作业布置，巩固拓展（约2分钟）

1.【基础】必做题：教材习题5.7第1、2、3题。巩固基本步骤，强化基本模型。

2.【重要】选做题：请同学们以小组为单位，寻找或自编一个可以用一元一次方程解决的生活实际问题（如家庭水电费计算、出行路线规划、图书借阅规则等），并尝试解决。下节课进行分享交流。

【设计意图】必做题面向全体，夯实基础；选做题鼓励学生走出课堂，将数学学习延伸至生活中，进一步培养发现问题和提出问题的能力，提升数学应用意识。

六、板书设计

核心素养导向下的一元一次方程应用问题解决

（七年级上册）

一、一般步骤

1.审

2.设

3.找(核心)

4.列

5.解

6.验

7.答

二、例题讲解（“买水问题”）

设：大瓶x瓶，小瓶(20-x)瓶

等量关系：大瓶总价+小瓶总价=总价

列方程：3x+2(20-x)=52

解方程：...

验：...

答：...

三、常见模型与等量关系

1.行程问题：路程=速度×时间

2.工程问题：工作量=工作效率×工作时间

3.销售问题：总价=单价×数量

4.配套问题：各部分量之和=总量

七、教学反思与预设

本节课的设计力求体现新课标理念，以发展学生核心素养为旨归。在教学实施过程中，预计可能遇到以下情况并采取相应策略：

预设1：在“买水问题”中，部分学生可能仍倾向于用算术方法解决（如假设全是小瓶），教师应肯定其思路，但更要引导其体验方程法的优越性（直接、顺向思维），并鼓励其用方程法再解一遍，感受两种方法的不同。

预设2：在变式2工程问题中，学生对“将工作总量看作1”可能感到抽象。教师可借助动画或实物演示，将“整理一批图书”的过程可视化