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[课下巩固检测练(四十五)]解析几何中的创新问题(每题10分)1.(2025·重庆二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1的斜率为1且与C(1)求C的方程及AB的值；(2)如图，将C沿x轴折起，使得折叠后平面AF1F2⊥平面BF1F2，求F2到平面ABF1的距离.解：(1)设F1－c，0，F2c，0，A0，b，其中c2因为△ABF2的周长为8，所以4a＝8，故a＝2，又bc＝1，所以b＝c＝2故椭圆方程为x24＋y2所以AF1：y＝x＋2，联立方程y＝x＋2，x24＋y2所以xB＝－423，yB＝－故AB＝2×0－(－(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(－423，－23，0)，F1(－2，0，0)，F2(2，0，所以F1A＝2，0，2，F1B＝(－23，－23，0)，F设平面ABF1的法向量为n＝(x，y，z)，则F1A·n＝0，F1B·n所以F2到平面ABF1的距离d＝｜F1F2·2.(2025·江西九江二模)在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角θ的图形变换叫作旋转变换.定点G叫作旋转中心，定角θ叫作旋转角(规定逆时针方向为正).如果图形上的点Px，y经过旋转变为点P'x',y'，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线xy＝mm≠0绕G顺时针旋转π4后，得到新曲线E，(1)求曲线E的方程并确定点G的位置；(2)点P1的坐标为1，0，按照如下方式依次构造点Pnn＝2，3，…：过点Pn－1作斜率为2的直线交E于另一点Qn－1，设Pn是点Qn－1关于x(ⅰ)求数列xn＋yn的前n(ⅱ)记M为直线P1Pn＋2与直线QnPn＋1的交点，N为直线P1Qn与直线Qn＋1Pn＋2的交点，R为直线MN与直线Pn＋1Qn＋1的交点，证明：R在定直线上.解：(1)依题意，得x'＝所以x'－y'x'＋故曲线E方程为x2－y2＝2m.因为点2，1在曲线E上，所以m＝故曲线E方程为x2－y2＝1.由对称性可知，点G为坐标原点O.(2)(ⅰ)依题意，得x得xn－xn+1xn＋xn+1＝(yn－yn＋1因为直线PnQn的斜率为2且Pnxn，yn，Qn(xn＋1，－yn所以yn＋yn＋1＝2xn－将②代入①中，得xn＋xn＋1＝2yn－将②和③相加，得3xn+1＋yn+1＝从而xn+1＋所以xn＋yn是首项为1，所以Sn＝1×1－(ⅱ)点R在定直线x＝1上.证明如下：因为Pn＋1xn+1，yn+1，Qn＋1(xn＋2，－所以直线Pn＋1Qn＋1的方程为y－yn＋1＝－y令x＝1，得y＝xn直线P1Pn＋2的方程为y＝yn+2xn+2－1x－1，直线QnPn联立x＝xn+1直线P1Qn的方程为y＝－yn+1xn+1－1x－1，直线Qn＋1P联立x＝xn+2，y＝－yn+1则直线MN的方程为y－yn+2

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