吉林省友好学校2025-2026学年高二上学期1月第80届期末联考试题数学

吉林省友好学校高二上学期第80届期末联考数学试题一、单选题1．已知向量，，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．经过点且与直线垂直的直线的方程为（

）A． B．C． D．3．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（

）

A． B．C． D．4．在正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．由点向圆引切线，则切线长为（

）A．2 B．4 C．6 D．7．双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（

）A． B．2 C． D．8．已知等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．3 B．5 C． D．30二、多选题9．点在圆：上，点在圆：上，则（

）A．的最小值为2 B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为10．过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（

）A． B．C． D．11．已知，则（

）A．当时， B．若，则C．若，则 D．当时，三、填空题12．已知数列，，且数列的前项和为，那么．13．若直线：与直线：平行，则与间的距离为．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为．四、解答题15．已知圆，点，且直线经过点.(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.16．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；17．已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点．(1)求椭圆的方程；(2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积．18．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：.19．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限．①求；②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值．1．B依题意可得，根据向量相等得到方程组，解得即可.【详解】因为，且，所以存在实数m，使得，即，所以，解得.故选：B2．B利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可.【详解】设与直线垂直的直线方程为，将点代入，可得，解得，可得所求直线方程为，故B正确.故选：B.3．D根据向量加、减法和数乘运算法则求解.【详解】因为，所以，所以，故选：D.4．A依题意利用空间向量求出向量夹角的余弦值，即可得出结果.【详解】根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：设正方体的棱长为2，则，可得，则，又因为异面直线的夹角范围是，因此异面直线所成角的余弦值为.故选：A5．D设，根据可整理得到结果.【详解】由题意知：，设，则，，整理可得：，即点的轨迹方程为：.故选：D.6．C求出，利用切线长公式求出结果.【详解】圆的圆心为，半径为，，点在圆外，则切线长为.故选：C.7．C由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解.【详解】的渐近线方程为，，结合条件两条渐近线的夹角为，则，解得，又，，，.故选：C.8．B为等比数列，得到，结合对数运算法则得到.【详解】为等比数列，，故，且，故.故选：B9．BC先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项；【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1，：，，半径为1，圆心距为，又点在圆上，点在圆上，，，故A错误，B正确；对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确；对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误；故选：BC．10．AC由焦点的坐标即可判断AB，结合抛物线的定义，即可判断C，由平面向量的坐标运算，结合韦达定理即可判断D【详解】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误；设，联立直线与抛物线方程，消去可得，则，所以，故C正确；又，则，故D错误；故选：AC.11．BC利用空间向量的夹角公式，共线向量坐标公式，向量垂直的坐标公式及模长公式计算即可判断.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，有，则解得，B正确；对于C，，由，可得，解得，C正确；对于D，当时，则，D错误.故选：BC.12．99根据裂项式，进行求和，再根据题意列式求解即可.【详解】因为，所以，由，得解得.故答案为：.13．利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【详解】，，即，当时，与重合，不合题意，，所以两直线方程为与，与间的距离．故答案为：.14．2设，联立方程组求出面积为，令，结合基本不等式求最值即可.【详解】由题意可知，直线的斜率不为0，，故设，，联立得，，则，则，故的面积，令，则，等号成立时，，故的面积的最大值为2.故答案为：215．(1)(2)或（1）先排除切线斜率不存在的情况，再设，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得，即得切线方程；（2）先由已知弦长求出圆心到直线的距离，由此排除直线斜率不存在的情况，再设，由圆的弦长公式列方程求得或，即得直线方程.【详解】（1）由得圆心为，半径为5，过的直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离为，故与圆相交，不合题意；过的直线斜率存在时，设其方程为，即，由题意得，解得，此时直线的方程为，即，综上，直线的方程为；（2）因为被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离，当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，不合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，由，解得或，故直线的方程为或.16．(1)证明见解析(2)．（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值；【详解】（1）如图，连接交于点O，连接，则点O为的中点，且D是的中点，则为的中位线，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点F，因为在正中，D是的中点，故，因为三棱柱为正三棱柱，所以平面ABC，又因为D是的中点，F是的中点，所以，所以平面，所以，，以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．故，，，设平面的法向量为，则，令，则，即．设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．(1)(2)【详解】（1）因为点是椭圆的右顶点，所以.又，所以.又，所以所以椭圆的方程为.（2）由题意得直线l的方程为：，设，联立，消y，得，，，到直线的距离，.18．(1)(2)证明见解析【详解】（1）在等差数列中，，则