2024-2025学年吉林长春十一高中高一下学期4月月考数学试题含答案

高中高中吉林省长春市十一高中2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知，则复数的共轭复数为（

）.A． B． C． D．2．已知向量，，设，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．3．在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（

）A． B． C． D．4．在中，角所对的边分别为，是边的中点，，若，则边（

）.A．16 B． C．4 D．85．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（

）

A． B． C． D．6．结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（

）A． B． C．90m D．7．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（

）A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则二、多选题9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）

A． B．四边形的周长为C． D．四边形的面积为10．已知向量，，则（

）A．若，则B．若，则C．若取得最小值，则D．若，则在上的投影向量为11．在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（

）A．B．若，则C．D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为三、填空题12．复数满足，则的最大值为.13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为．14．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为；②设，则．四、解答题15．设复数，.(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；(2)若是纯虚数，求实数的值.16．在中，，，，点，在边上且，.(1)若，用，表示，并求线段的长；(2)若，，求的值.17．在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.(1)求角；(2)求的取值范围.18．如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点．(1)求的取值范围；(2)当为的中点时，用表示；(3)若，求的最大值．19．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值；(3)如图2，过点的直线与边分别交于点，设，；（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．参考答案题号12345678910答案DCDCCAACADACD题号11答案AC1．D根据复数的模长公式以及复数运算求复数，即可得共轭复数.【详解】由题意可得：，所以.故选：D.2．C由条件结合向量坐标运算公式求，，再求，，，再结合向量夹角公式求结论.【详解】因为，，所以，，所以，，，设与的夹角为，则，又，所以，即与的夹角为.故选：C.3．D根据三角形有两解，应满足，化简即可求解.【详解】∵有两解，∴，∴，故选：D．4．C利用余弦定理整理可得，代入数据运算求解即可.【详解】因为，可知，由余弦定理可得，且，可得，即，解得.故选：C.5．C根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案.【详解】因为在正方形中，为的中点，为的中点，所以，因为，所以，所以.故选：C6．A在中，利用正弦定理求出，再解即可.【详解】如图所示，由题意，则，在中，因为，所以，在中，，所以建筑的高度为.故选：A.7．A如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果.【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，所以六边形为边长为的正六边形，，所以，所以，设，则，所以，因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），所以，所以，所以.故选：A.8．C对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可.【详解】如图建立平面直角坐标系，，对于A：若为的重心，则，所以若，则，解得，所以，A不正确；

对于B：若为的外心，其必在直线上，所以，B错误；对于C：若为的垂心，其必在上，设，则，解得，此时，若，则，解得，所以，C正确；对于D：若为的内心，设内切圆半径为，则，得，则，此时，若，则，解得，所以，D不正确；故选：C.9．AD根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过作，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即,即C错误；还原平面图为下图，

即，即A正确；过C作，由勾股定理得，故四边形ABCD的周长为：，即B错误；四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：AD.10．ACD根据向量垂直得到数量积为0，可求，判断A的真假；根据向量共线可求，判断B的真假；问题转化为两向量方向相反，可求判断C的真假；根据投影向量的求法求投影向量，判断D的真假.【详解】对于A，若，则，则，所以A正确；对于B，若，则，所以，所以B错误：对于C，取得最小值时，，共线反向，则，解得，则，所以C正确；对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确.故选：ACD11．AC对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由知分点的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确.【详解】对于A，设，因为则，，由共线，得解得，所以，故A正确；对于B，由得，所以所以，故B不正确；对于C，由知是的中点，所以，，又，所以，所以，，故C正确；对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时，，故D不正确.故选：AC.12．/根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值.【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义为所对应的点到点的距离，因为，所以的最大值为.故答案为：13．先求出，再利用面积求出关系，再结合求出，最后利用余弦定理求出.【详解】，，，，又，，.故答案为：.14．①根据类比图形的结构特点，找到与的面积联系即可.②利用向量加减法的三角形法则，用，表示出即可.【详解】如图：连接，由题意知，且分别为的中点，.所以，,得.，，化简得，所以故答案为：①；②.15．(1)(2)（1）先求出，再由复数对应的点在实轴上，求出的值，从而可求出；（2）先化简，再由为纯虚数可求出实数的值.【详解】（1）因为复数，，所以，因为复数对应的点在实轴上，所以，得，所以，所以；（2）因为复数，，所以，因为为纯虚数，所以，解得.16．(1),(2)(1)由向量的线性运算得到，再由向量的模的运算求解；(2)因为，所以，，再分别计算数量积与向量的模，再由求解．【详解】（1）依题意，，则，故，由，则，故线段的长为：．（2）因为，所以，，则，，，故．17．(1)(2)（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可；（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，，,，，，，所以的取值范围为.

18．(1)(2)(3)（1）设，则可得，结合余弦函数性质求解即可.（2）由图可得，再根据投影向量确定，再代入角度求解即可.（3）结合题意将用三角函数表示，再利用正弦函数的性质求最大值即可.【详解】（1）如图，设，连接，而，因为，故，所以的取值范围为．（2）因为为的中点，所以，由平面向量加法法则得，则在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，得到，故，将代入，得．（3）因为，，所以，又由（2）知，故，则，因为，所以当且仅当时，取得最大值1，故的最大值为．19．(1)，(2)(3)（ⅰ）；（ⅱ）【详解】（