2024-2025学年湖南长沙雅礼中学高一下学期期中联考数学试题含答案

高中湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数满足，则（）A. B. C. D.2.已知向量.若，则（）A.1 B.2 C. D.3.如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.44.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（）A B. C. D.或5.已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（）A B. C. D.26.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.7.如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（）（）A.8米 B.9米 C.40米 D.45米8.如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，且，则D.若，，且，则10.已知复数（为虚数单位），则（）A.B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第四象限11.若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若，则与同向的单位向量为C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D.若，则的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________．13.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______．14.在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则__________，四面体的外接球的表面积为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知、、在同一平面内，且，.（1）若，且与共线，求的坐标；（2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？16.已知复数()实部与虚部的差为．（1）若，且，求复数在复平面内对应的点的坐标；（2）当取得最小值时，求复数的实部．17.如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.（1）求证：；（2）当时，求三棱锥的体积.18.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．（1）求证：平面平面PAC；（2）求证：平面PAC；（3）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．19.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求A；（2）设的外接圆圆心为O，且，（为定值）.如图，ABP是以AB为半径，为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与相切，设.①当，时，求；②在点D、E的运动过程中，的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.2.已知向量.若，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据可求出结果.【详解】因为，所以，，.因为，所以，所以，所以，解得.故选：C3.如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意可得直观图，进而可得面积.【详解】用斜二测画法画出的水平放置的直角梯形的直观图如图所示，可知四边形是梯形，，，，且，过点作于点，由，故，所以.故选：C.4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又因为，所以．故选：B．5.已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可.【详解】设，因为，又，即，解得，所以，所以，故选：A.6.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求.【详解】取、的中点、，连接，，，则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则，，得，在直角梯形中，，则，则正四棱台的体积为.故选：B7.如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（）（）A.8米 B.9米 C.40米 D.45米【答案】D【解析】【分析】设，得到可得，在直角中，根据列出方程，求得的值，即可求解.【详解】由题意，设，由，可得，因为且，在直角中，可得，解得，所以.故选：D.8.如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出过点，点的平面，使得平面，此时的轨迹即为平面与长方体表面的交线，据此可求解出轨迹的长度.【详解】连接，过作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示：因为为的中点，所以，又因为平面，所以平面，所以，又因为，且，所以平面，所以的轨迹为，因为，所以可知，所以，所以，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以轨迹长度为：，故选：A.【点睛】本题考查线面垂直的综合应用，涉及到求解点的轨迹的长度问题，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，且，则D若，，且，则【答案】BD【解析】【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A；对于B,由面面平行的性质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若，则m不在平面，但题目所给条件没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D.【详解】对于A，若，则与相交或，所以A不正确;对于B，若，由面面平行的性质定理可得，所以B正确;对于C，若，且，则或，所以B不正确;对于D，若，且，由线面垂直的判定定理可得，所以B正确.故选:BD.10.已知复数（为虚数单位），则（）A.B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AC【解析】【分析】AB选项，由共轭复数和虚部概念进行判断；C选项，分别求出两复数的模长，比较大小；D选项，利用复数除法法则计算出，得到对应的点坐标，进行判断.【详解】A选项，，故，A正确；B选项，的虚部为-2，B错误；C选项，，故，C正确；D选项，，故在复平面内对应的点坐标为，位于第二象限，D错误.故选：AC11.若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若，则与同向的单位向量为C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D.若，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】利用向量坐标运算求出判断A；利用数乘向量结果求出，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D.【详解】对于A，，则，解得，则，，显然不存在，使，即，不共线，A错误；对于B，，则，解得，即，，，则与同向的单位向量为，B正确；对于C，当时，，又与的夹角为锐角，则，解得，且，即，C正确；对于D，由，得，即，则，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则________．【答案】【解析】【分析】直接解二次方程得到两个虚数根，从而利用复数的几何意义得到关于的方程，注意检验，从而得解.【详解】因为方程，有两个虚数根，所以，则，又由，得，即，所以，即，所以的两个虚数根分别为，它们在复平面上对应的点分别为，所以它们之间的距离为，解得，满足，所以.故答案为：.13.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______．【答案】6【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用向量坐标的运算公式进行计算.【详解】以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，解得：，所以.故答案为：614.在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则__________，四面体的外接球的表面积为______.【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】根据线面平行的性质定理可得，即可求解E为的中点，即可得，利用补形法，即可根据长方体的外接球的半径求解.【详解】连接交于点，连接，因为，共面，且平面，平面,平面平面，所以.由于O为的中点，所以E为的中点，所以.四面体可以补形为一个长方体，所以四面体的外接球的半径，故四面体的外接球的表面积为.故答案为：，四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知、、在同一平面内，且，.（1）若，且与共线，求的坐标；（2）若向量与向量共线，求的值，此时与同向还是反向？【答案】（1）或（2），同向.【解析】【分析】（1）由题设，根据题意得到方程，解出即可；（2）写出，，根据共线得到，解出值，代回验证即可.【小问1详解】与共线，则可设，，，解得，当时，；当时，，故或.【小问2详解】，，则由题意得，解得，此时，故此时与同向.16.已知复数()的实部与虚部的差为．（1）若，且，求复数在复平面内对应的点的坐标；（2）当取得最小值时，求复数的实部．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得，再结合题意可得，再确定在复平面内对应的点的坐标即可；（2）先求出函数取最小值时对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【详解】解：（1）由题意可得，因为，所以，又，所以，即，则，所以在复平面内对应的点的坐标为．（2）因为，所以当时，取得最小值，此时，，则，所以的实部为．【点睛】本题考查了复数的乘法、除法运算，重点考查了复数的实部、虚部的运算，属基础题.17.如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.（1）求证：；（2）当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线线垂直证平面，再证；（2）由等体积法求.【小问1详解】证明：A，C重合于P，∵，∴，∵，∴，又平面，平面，，∴平面，∵平面PEF，∴；【小问2详解】由已知得，，，则在中，边上的高.则，∴.18.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．（1）求证：平面平面PAC；（2）求证：平面PAC；（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）先证明平面PAC，平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面平面PAC；（2）利用线线垂直证明线面垂直；（3）由（2）知面PAC，可得为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结论．【小问1详解】证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面