北师大小考数学试卷

北师大小考数学试卷

一、选择题

1.下列关于函数的定义，正确的是：

A.函数是两个非空集合之间的对应关系

B.函数是任意两个元素之间的对应关系

C.函数是一对一映射

D.函数是一对多映射

2.在下列各数中，绝对值最大的是：

A.-2

B.-1

C.0

D.1

3.若二次函数y=ax?+bx+c(a*0)的图像开口向上，且顶点坐标为(-2,3),

则下列结论正确的是：

A.a>0,b<0

B.a>0,b>0

C.a<0,b<0

D.a<0,b>0

4.在直角坐标系中，点P(・3,2)关于原点的对称点是：

A.(-3,2)

B.(3,-2)

c.(-3,-2)

D.(3,2)

5.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a1=2,d=3,则S5的值为：

A.10

B.15

C.20

D.25

6.在下列各数中，属于无理数的是：

AZ4

B.49

C.V16

D.V25

7.已知平行四边形ABCD的边长AD=6,BC=8,对角线AC与BD相交于点

E,若AE=4,则BE的长度为：

A.2

B.3

C.4

D.5

8.若直角三角形ABC中，NA=90°,zB=45°,贝JBC的长度为AB的：

A.1/V2

B.、/2

C.2

D.1/2

9.在下列各式中，正确的是：

A.(-a)2=|a|2

B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2

D.(a+b)2=a2-2ab+b2

10.已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若a1=3,q=2,则S4的值为：

A.21

B.24

C.27

D.30

二、判断题

1.每个一元二次方程都至少有两个实数根。(X)

2.在直角坐标系中，任意一条直线都至少与坐标轴相交于一点。(V)

3.等差数列的通项公式可以表示为an=a1+(n-1)do(V)

4.平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。(V)

5.在等比数列中，相邻两项的比值称为公比。(<)

三、填空题

1.若函数f(x)=x?-4x+3,则f(2)的值为o

2.在直角三角形ABC中，zA=30°,zB=60°,贝JAC的长度是AB的

__________倍。

3.等差数列｛an｝的前5项分别是3,6,9,12,15,则该数列的公差d为

4.若二次方程2x2・4x+1=0的解为x1和x2,则x1+x2的值为

5.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E,若AB=8,AD=6,

且AC=10,则BE的长度为o

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.解释什么是函数的奇偶性，并举例说明。

3.描述平行四边形和矩形的区别，并给出至少三个区别点。

4.如何求一个数的绝对值？请给出步骤和公式。

5.简述等比数列的性质，并说明公比q在等比数列中的重要性。

五、计算题

2

1.计算下列函数在x=3时的值:f(x)=2x-5x+70

2.已知直角三角形ABC中，zA=90°,zB=45°,若AB=5cm,求AC的长度。

3.计算等差数列｛an｝的前10项和，其中a1=1,d=2o

4.解下列一元二次方程:x2-6x+9=0o

5.在平行四边形ABCD中，已知AB=8cm,AD=6cm,对角线AC与BD相交

于点E,若AE=4cm,求BE的长度。

六、案例分析题

1.案例分析：一个学生在一次数学考试中遇到了以下问题：解方程x2・5x+6

=0o他试图通过因式分解来解这个方程，但他的方法如下：

x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0

然后他得到了两个解：x=2和x=3。然而，当他将这两个解代入原方程E寸，

发现x=3并不满足方程。请分析这个学生在解方程过程中的错误，并给出正

确的解法。

2.案例分析：在一次数学课中，教师提出了以下问题：一个学生在学校图书馆

中找到了一个关于等比数列的例子，其中第一项是2,公比是3/2。他想要计算

这个等比数列的前5项和。学生按照以下步骤进行了计算：

S5=a1(1-qA5)/(1-q)

=2(1-(3/2)A5)/(1-3/2)

=2(1-243/32)/(-1/2)

=2(32-243)/(-16)

=-10

然而，他的计算结果是负数，而等比数列的和应该是正数。请分析这个学生在

计算过程中的错误，并给出正确的计算方法。

七、应用题

1.应用题：一个长方形的长是宽的2倍，如果长方形的周长是40cm,求长方

形的长和宽。

2.应用题：一家工厂生产的产品每天以固定的百分比增加。如果第一天生产了

100个产品，并且每天增长率为10%,求第5天生产的产品数量。

3.应用题：一个班级的学生在数学考试中，平均分是80分，及格分数线是60

分。如果班级中有20个不及格的学生，求这个班级的总人数。

4.应用题：一个正方体的棱长增加了10%,求新正方体的体积与原正方体体积

的比值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下:

一、选择题答案：

1.A

2.C

3.A

4.B

5.B

6.D

7.B

8.A

9.A

10.B

二、判断题答案：

1.X

2.V

37

4.V

5.J

三、填空题答案：

1.7

2.N2

3.2

4.6

5.4cm

四、简答题答案：

1.一元二次方程的解法包括配方法、公式法和因式分解法。配方法是通过将一

元二次方程转化为完全平方形式来求解，公式法是使用求根公式x=(-b±v(b2

・4ac))/(2a)来求解，因式分解法是将一元二次方程因式分解为两个一次方程的

乘积，然后分别求解。例如，解方程x2・5x+6=0,可以使用因式分解法得到

(x-2)(x-3)=0,从而得到x=2或x=3。

2.函数的奇偶性是指函数在y轴对称时的性质。一个函数如果满足f(・x)=

f(x),则称为偶函数;如果满足f(・x)=・f(x),则称为奇函数。例如，函数f(x)=

X?是偶函数，因为(・X)2=x2；而函数f(x)=X3是奇函数，因为(・X)3=・X3。

3.平行四边形和矩形的区别主要体现在以下几个方面：①矩形的四个角都是直

角，而平行四边形的角不一定是直角；②矩形的对角线互相平分，而平行四边

形的对角线不一定互相平分；③矩形的对边平行且相等，而平行四边形的对边

平行但不一定相等。

4.求一个数的绝对值的方法是：如果这个数是正数或者零，那么它的绝对值就

是它本身；如果这个数是负数，那么它的绝对值就是它的相反数。公式表示

为:|x|=X(XNO),|x|=-X(X<0)b

5.等比数列的性质包括：①相邻两项的比值称为公比；②等比数列的前n项和

可以表示为Sn=a1(1-qAn)/(1-q),其中a1是首项，q是公比；③等比数列

的每一项都是前一项乘以公比。

五、计算题答案:

1.f(3)=2(3)2-5(3)+7=18-15+7=10

2.AC=AB*^2=5*V2=7.07cm

3.S10=n/2*(a1+a10)=10/2*(1+(1+(10-1)*2))=5*(1+19)=100

4.x2-6x+9=(x-3)2=0,因此x=3(重根)

5.BE=AD-AE=6-4=2cm

六、案例分析题答案：

1.学生在解方程过程中的错误在于他错误地因式分解了方程。正确的因式分解

应该是x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,从而得到x=2或x=3。

2.学生在计算过程中的错误在于他没有正确处理公比q的负指数。正确的计算

方法是：

S5=a1(1-qA5)/(1-q)=2(1-(3/2)A5)/(1-3/2)=2(1-243/32)/(-1/2)=2(-

211/32)/(-1/2)=2(211/32)*2=211/16=13.1875

七、应用题答案：

1.设宽为w,则长为2w,根据周长公式2(1+w)=40,得到2(2w+w)=40,

解得w=8cm,I=16cmo

2.第五天生产的产品数量为100*(3⑵A4=100*81/16=506.25,取整数部

分得506个。

3.总人数=及格人数+不及格人数=80・60=20,所以总人数是20人。

4.新正方体的体积是原正方体体积的1.1倍，