孟华自动控制原理ch5-10

第五章频域分析法频率特性的基本概念频率特性图示方法频域稳定性判据控制系统的稳定裕量5-1频率特性的基本概念1.什么叫频率特性幅值和相位的变化与频率及系统本身的特性有关如果G(s)是线性系统（或环节）ABφABφφ可正可负频率特性：2.介绍几个名词：系统（或环节）对正弦输入信号的稳态响应。幅值比：同频率下输出信号与输入信号的幅值之比。B/A相位差：同频率下输出信号的相位与输入信号的相位之差。φ幅频特性：幅值比与频率之间的关系。相频特性：相位差与频率之间的关系。幅相特性：将幅频和相频画到一起。矢量端点的轨迹。3.频率特性和传递函数的关系求取频率特性的方法：实验法系统的频率特性G(jw)可以通过系统的传递函数G(s)来求取：利用传递函数求系统r(t)c(t)线性定常系统其传递函数假定输入信号其拉氏变换一般传递函数G(s)可写成下列形式:

输出c(t)的拉氏变换为

展成部分分式：

系统对正弦输入信号r(t)的响应为

如果系统是稳定的，其稳态输出为：式中若G(jω)是一个复数，可写成其微分方程是

例RC网络如下：式中T=RC网络的传函如

输出电压的瞬态分量稳态分量随着t趋于无穷大,瞬态分量趋于零,于是幅频特性01/T2/T3/T01/T2/T3/T∠都是频率w的函数相频特性5-2频率特性图示法1.极坐标图(Polarplot)

通过G(jw)的模|

G(jw)|与相位∠G(jw)在极坐标中表示的图形。

也称奈魁斯特图(Nyquistplot)

2.对数坐标图(Logarithmicplot)

通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形。

也称伯德图(Bodeplot)

3.对数幅相图（简单介绍）将Bode图中的幅频特性与相频特性绘制成一张图形。

也称或尼柯尔斯图(Nicholschart)

一、频率特性的极坐标图0（一）典型环节幅频特性:相频特性:1、比例环节

G(s)=

K2、惯性环节幅频特性：相频特性：0KK03、积分环节幅频特性：相频特性：4、一阶微分环节

G(s)=1+Ts

0频率特性：15、延滞环节0频率特性：幅频特性：相频特性：顺时针画了无数多圈ω=06、振荡环节频率特性：求与虚轴的交点0（二）不稳定环节K1.2.0K（三）系统的开环频率特性

~通常是若干典型环节频率特性的乘积

极坐标形式：求系统的开环幅相特性：

首先计算ω=0和ω=∞时开环频率特性的幅值及相角,然后分析或计算中间过程，绘制极坐标图。020例1系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其极坐标图。

当时幅值：相角：当时幅值：相角：0当时幅值：相角：例2系统开环传递函数是G(s)H(s)=,试绘制极坐标图。

－KT当时幅值：相角：例3系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其极坐标图。

0当时幅值：相角：当时幅值：相角：例4比较下列函数的极坐标图：每增加一个积分环节，频率特性就滞后90°；若增加λ个积分环节，频率特性就滞后λ90°。例

比较下列函数的极坐标图：结论：每增加一个一阶环节，当ω→∞时，相位应滞后90°。例：思考题：先绘制惯性环节G1(jw)的极坐标图

在每一个频率w上幅值保持不变,相角再增加-wt,即得该系统的奈氏图例5系统开环传函,

试绘制其极坐标图。幅值和相角分别为:幅相图小结：一般情况(1)0型系统：无积分环节的系统，λ=0(2)1型系统：有1个积分环节，λ=1(3)2型系统：有2个积分环节，λ=2ω=0时ω=∞时0型1型2型起始幅角与系统型号有关n-m=1n-m=2n-m=3终止幅角与n-m个数有关注意：若开环传递函数中含有在右半平面的极点或零点，幅相曲线的起点和终点不具有以上规律！(4)ω→0时的渐近线平行于虚轴的渐近线平行于实轴的渐近线(5)极坐标曲线与实、虚轴的交点求与虚轴的交点，令实部为0。求与实轴的交点，令虚部为0。得虚轴上坐标值得实轴坐标值

)(RewjGy二、对数坐标图(一)对数坐标0.10.20.40.60.8124681020406080100一个单位（十倍频程）一个单位（十倍频程）0.10.20.40.60.812468102040608010040200-20-40纵轴:20lg|G(jw)|；单位：dB(分贝)。横轴:w,对数分度；

单位：弧度／秒。

G(s)=KdB40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.0120lgK对数幅频特性L(w)=20lgK相频特性

j(w)=0（二）基本环节的BODE图1、比例环节K>1时20lgKK=1时20lgKK<1时dB40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.012、积分环节

G(s)=1/s对数幅频特性L(w)=-20lg

w相频特性

分析：w=1,L=0dBw=10,L=-20dB3、微分环节

G(s)=s对数幅频特性L(w)=20lgw相频特性

4、惯性环节对数幅频特性，为对数幅频特性的高频段相频特性

渐近线精确曲线转折点当，为对数幅频特性的低频段当，为对数幅频特性的转折点转角频率

5、一阶微分环节G(s)=Ts+1幅频特性:相频特性

dB3020

10

0-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.0510206、延滞环节幅频特性:相频特性

dB200-200.10.20.4124107、振荡环节=0.1=0.5=0.2=0.3=0.7=1当>>1时,即高频段渐近线当<<1时,即低频段渐近线渐近线(三)绘制系统开环对数坐标图写出以时间常数表示、以典型环节频率特性连乘积形式的系统频率特性。(2)求出各环节的转角频率,并从小到大依次标注在对数坐标图的横坐标上。(3)计算20lgK的分贝值,其中K是系统开环放大系数。过w=1,20lgK点,做斜率为-20νdB/dec的直线,

即为低频段的渐近线。ν

是系统型号。

(4)绘制对数幅频特性的其它渐近线。

从低频段渐近线开始,从左到右,每遇到一个转角频率就按上述规律改变一次斜率。如有必要再利用误差曲线修正,得到精确对数幅频特性的光滑曲线。(5)画出各典型环节的相频特性，叠加后得到开环系统的相频特性曲线。例6：系统开环传递函数如下，试画bode图。步骤：（1）找转折频率：（2）写出频率特性表达式：转角频率

（3）画渐近特性：例5-7试绘制下列传递函数的对数坐标图。

w1=0.5

w2=2

w3=8

3、过w=1,20log4=12dB这一点,作-20dB/dec的直线(ν=1)。4、沿低频渐近线开始,从左到右,在每个环节的转角频率处相应改变系统渐近线斜率。

1、将此传递函数改写为用时间常数表示的形式,其频率特性为：2、计算各环节的转角频率：2、各环节的转角频率：2、各环节的转角频率：-20dB/十倍频程-40dB/十倍频程-20dB/十倍频程-60dB/十倍频程

※对于最小相位系统而言,幅频特性和相频特性之间有着确定的单值关系。

最小相位传递函数：在复平面S的右半面既没有极点、也没有零点的开环传递函数。

※若ω→∞时,幅频特性的斜率为-20(n-m)dB/dec,

其中n,m分别为传递函数中分母、分子多项式的阶数,而相角等于-90°(n-m),则系统是最小相位系统。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。※具有相同幅频特性的系统,最小相位系统的相角变化范围最小。

（四）最小相位系统例：两个系统的传递函数分别为：0.050.10.20.51.02.051020三、对数幅相图将bode图的幅频和相频曲线画到一起。如：5-3奈魁斯特稳定判据1.点的映射s0F(s0)闭环特征函数F(s)=1+G(s)H(s)［s］［F(s)］奈魁斯特判据的数学基础是复变函数理论中的映射定理,又称幅角定理。

一、映射定理2.围线的映射ReImF(s)平面s平面与F(s)平面的映射关系s平面-z1,-z2,……-zm——为F(s)的零点-p1,-p2

,……-pn——为F(s)的极点（1）在s平面上顺时针不包围F(s)任何零、极点的围线

s

，映射到F(s)平面上的

F必不包围F(s)的坐标原点。ReIms平面F(s)平面（2）在s平面上顺时针包围F(s)的一个零点的围线

s，映射到F(s)平面上的

F必顺时针包围F(s)的坐标原点一周。ReIm封闭曲线包围-z1时的映射情况s平面F(s)平面（逆时针）（极点）-p0（3）s平面上顺时针包围F(s)的z个零点（或P个极点）的围线

s，映射到F(s)平面的

F必顺（或逆）时针包围F(s)的坐标原点z(或P）周。如果s平面上的封闭曲线以顺时针方向包围函数F(s)的Z个零点和P个极点,则F(s)平面上的映射曲线相应地包围坐标原点N次,且

Ｎ

=Z-P若Ｚ>P,N为正值，包围方向为顺时针;若Ｚ<P,N为负值，包围方向为逆时针。这种映射关系,称为映射定理。

一般情况：二、奈魁斯特稳定判据

设系统的特征方程为

F(s)=1+G(s)H(s)=0代入特征方程,得其开环传递函数特征函数1)F(s)的分子与分母多项式的阶次相同；2)F(s)的极点就是开环传递函数的极点；3)F(s)的零点就是闭环传递函数的极点；4)复平面F与复平面GH只相差常数1，F平面的原点就是GH平面的(-1,j0)点。特点：闭环系统稳定的充分和必要条件是：F(s)的零点,都位于s平面的左半平面。s平面上的封闭曲线

s

s~奈氏轨迹包围了根平面的整个不稳定区①开环传函中无s=0极点(0型系统)F(jω)=1+G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)

的映射：

的映射：以实轴为对称奈魁斯特稳定判据:在s平面上的奈氏轨迹线顺时针包围F(s)的P个极点和z个零点，那么奈氏轨迹线映射到GH平面的GH(jω)为顺时针包围

(-1，j0)点N周，且N=Z-P。式中：

Z——闭环系统不稳定的特征根的个数；

P——开环传递函数不稳定极点的个数。关于奈魁斯特稳定判据的说明：(1)P=０(即开环是稳定的）,

如果系统闭环是稳定的，则Z=0，所以N必为0。

也即开环频率特性曲线G(jω)Η(jω)不包围(-1,j0)点；(2)P≠0（即开环不稳定）,若使系统闭环稳定,则Z=0

，所以N=Z-P=-P。

即开环频率特性曲线G(jω)Η(jω)逆时针包围(-1,j0)点P周;(3）G(jω)Η(jω)通过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。

例5-8系统开环传递函数如下，试绘制其奈氏图。

G(s)H(s)=∵P=0，

N=0∴Z=0，系统稳定。续上例。当系统开环放大系数为100时，试绘制其奈氏图。∵P=0，N=2∴Z=P+N=2，系统不稳定。G(s)H(s)=例5-9单位反馈系统的开环传递函数试判断闭环系统的稳定性（设K>1）。解:开环频特

系统的奈氏曲线如图：

因为P=1，N=-1，计算Z=P+N=0，所以该闭环系统稳定。②开环传函中有s=0的极点奈魁斯特轨迹映射图

s∵P=0，N=2∴Z=P+N=2，系统不稳定。当开环传函有ν个s=0的极点时，起终点为ω=0－、0＋的半径无穷小半圆，映射到GH平面的频特是从ω=0－起，以无穷大半径顺时针绕原点转过ν180°后终止于ω=0＋点。

时的奈氏曲线

时的奈氏曲线例5-10系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当时系统的稳定性。解:开环频率特性幅频特性和相频特性：(a)当时：(a)因为P=0,N=0，所以Z=0，系统闭环稳定。(b)当时：系统临界稳定(c)当时：因为P=0,N=2，所以Z=P+N=2，

该系统闭环是不稳定的。三、

奈魁斯特判据在对数坐标图上的应用正穿越：记为N+=1。负穿越：记为N-=1。在极坐标图与对数坐标图中的对应关系：|G(jω)H(jω)|=1→0dB线；负实轴→φ=±(2k+1)π线，（其中k=0，1，2，…）。对数坐标图上奈魁斯特稳定判据：闭环控制系统稳定的充分必要条件是在对数幅频特性L(ω)>0dB的频段内，相频特性曲线对±(2k+1)π线的负穿越与正穿越次数之差满足例5-12系统开环传函试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。N+=0，N-=1，Z=2(N--N+)+P=2

作业（17/11）5-65-75-85-4控制系统的稳定裕度1、稳定裕度系统开环传递函数G(s)H(s)=其频率特性为:开环频特GH(jω)距离(-1，j0)点的远近程度。(-1，j0)点：频率特性的幅值是1，幅角是-180°。2、稳定裕度在幅相图上的表示法幅值裕度R：相位为-180时频率特性幅值的倒数。相位裕度γ：频率特性幅值为1时的相位与-180的差值。3、稳定裕度在对数坐标图上的表示法幅值裕度R(dB):相位裕度γ：稳定裕度在极坐标图和对数坐标图上的表示：

w=0

w=Imwc

f(wc)

w

g-1Rewc

w

g稳定系统1/Rf(wc)