材料力学（赵振伟）弯曲内力

§5-5按叠加原理作弯矩图第五章梁的内力§5-1平面弯曲的概念及工程实例§5-2静定梁的分类（三种基本形式）§5-3剪力方程与弯矩方程§5-4剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：§5-1平面弯曲的概念及工程实例FF火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：阳台的挑梁：二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。主要产生弯曲变形的杆---梁。对称弯曲受力特点——所受外力对称于梁的纵对称面。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。纵向对称面MF1F2q三、对称弯曲的概念：§5-2静定梁的分类（三种基本形式）M—集中力偶q(x)—分布力1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：—集中力Fq—均布力LLLL（L称为梁的跨长）一、弯曲内力的确定（截面法）：[例]已知：如图，F，a，l。

求：距A端x处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力（支座反力）FAX=0以后可省略不求§5-3剪力方程与弯矩方程ABFFAYFAXFBYmmx②求内力FsMFAYAC研究对象：m-m

截面的左段：1.剪力：Fs

构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。2.弯矩：M

构件受弯时，横截面上存在的内力偶矩（弯矩）。ABFFAYFAXFBYmmxMFsFBYFC若研究对象取m-m

截面的右段：二、弯曲内力的正负号规定:

①剪力Fs

:

②弯矩M：

Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122[例]：梁1-1、2-2截面处的内力。解：（1）确定支座反力RARB(2)1-1截面左段右侧截面：2--2截面右段左侧截面：RA三、剪力方程、弯矩方程：

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。剪力方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。LqAB(-)F(x)xF解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图[例]列出梁内力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。例

图示简支梁受集度为q的分布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程xFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql

2FS

ql28l/2M3、作剪力图和弯矩图BlAq*载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称*剪力为零的截面弯矩有极值。例

图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出BFBFAxlAFabCAC段CB段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAFabC3、作剪力图和弯矩图FS

FblxFalMxFablBFBFAxlAFabCFS

FblxFblMxFabl*在集中力F作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折xlAFabC例

图示简支梁在C点受矩为Me

的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解:

1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：FA

FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力图和弯矩图b>a时发生在C截面右侧FslxMelMxMealMeb*集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAYFBY[例]

画出梁的内力图。3、根据方程画内力图1kN/m2kNABCDFAYFBYxFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)例简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力。FAyFBy1232）1-1截面内力：(0≤x1≤a)3）2-2截面内力：(a≤x2﹤2a)解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；4）3-3截面内力：(0≤x3≤a，此处x3的起点为B点，方向如图)剪力图:1.当：0≤x1≤a时,AC段FQ1=5qa/62.当：a≤x2≤2a时,即CD段FQ2=11q·a/6-q·x2，直线x2=a；FQ2=5q·a/6（=FQ1

）x2=2a；FQ2=-q·a/6（=FQ3

）3.当：0≤x3≤a(起点在B点）FQ3=-q·a/6弯矩图:当：0≤x1≤a时，M1=5q·

a·

x1/6为直线当：a≤x2≤2a时，为二次曲线；M2=5q·

a·

x2-q·(x2-a)2/2当：0≤x3≤a时（原点在B点，方向向左），M3为直线M3=q·

a2+q·a·

x3/6;

例3已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN

m，求梁的内力。解：1）求约束反力：

MA(F)=12FE+M0-8F-2×4q=0FAy=49kN；FE=32kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0FE

Fx=FAx=0

Fy=FAy+FE-F-4q=0截面法求内力

AB段:0

x1<4m

Fy=FAy-qx1-FQ1=0

FQ1=49-9x1

22

Mc(F)=M1+qx1/2-FAyx1=0

M1=49x1-4.5x1x1FAy0M1FQ1cq例3已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN

m，求梁的内力。

2)截面法求内力

BC段:4m

x2<6m

Fy=FAy-4q-FQ2=0FQ2=13kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx2FAy0BqM2FQ2c

Mc(F)=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0

M2=13x2+72(kN

m)

CD段:6m

x3<8mx3FAy0BqCM0M3FQ3c

DE段:8m

x4<12mx4FAy0BqCM0FDM4FQ4cFQ3=13kN;M3=13x3+24(kN

m)FQ4=-32kN;M4=384-32x4(kN

m)

取右边部分如何?DE段:8m

x4<12mBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ4=-FE=-32kNM4=FE(12-x4)=384-32x4

DE段:8m

x4<12mFQ4=-32kN;M4=384-32x4(kN

m)qFx4FAy0BCM0DM4FQ4c结果应当相同。可以用于验算。内力同样要按正向假设!x4FEM4FQ4c0x4BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE分段处的剪力弯矩值：x1=0:FQA=49；MA=0内力方程:AB段:0

x<4mFQ1=49-9x1;M1=49x1-4.5x1BC段:4m

x<6mFQ2=13;M2=13x2+72FQ3=13;M3=13x3+24FQ4=-32;M4=384-32x42

CD段:6m

x<8m

DE段:8m

x<12mx4=8:FQD=-32；MD=128x2=4:FQB=13；MB=124x3=6:FQC=13；MC=102x3

6:MC

150x4

8:FQD

13注意：集中力(力偶)作用处左右二侧FQ(M)不同。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kN

mBACDEx124128150剪力、弯矩图：分段处的剪力弯矩值：x1=0:FQA=49；MA=0x4=8:FQD=-32；MD=128x2=4:FQB=13；MB=124x3=6:FQC=13；MC=102x3

6:MC

150x4

8:FQD

13注意：C、D处左右二侧M、FQ之差等于该处的集中力偶、集中力。§5-4剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：LqFAyFBy2、内力方程3、讨论如下x对dx

段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs

(x)Fs(x)M(x)dxAy剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)M(x)dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。Fs(x)+dFs

(x)q、Fs和M三者的微分关系二、微分关系的应用---作Fs

图和

M

图（用于定形）2、分布力q(x)=常数时1、分布力q(x)=0时（无分布载荷）Fs图：M图：

——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。（2）当分布力的方向向下时Fs图：M图：M(x)——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。Fs图：M图：M(x)控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：

利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用积分关系定值基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）；

2、分段

3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；

4、确定控制点内力的数值大小及正负；

5、画内力图。利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积积分关系:[例]

用简易作图法画下列各图示梁的内力图。左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qa–xaaqaq解：1、确定支反力（可省略）AB：BC：2、画内力图Fym,；q>0,；Mqa2(Fs<0,所以M图向负方向斜(q>0,所以Fs图向正方向斜)(积分关系FsB=FsA+0)MC=MB+(-1/2qaa)=-qa2–1/2

qa2MB=MA+(-qaa)=0-qa2)[例]画组合梁的剪力与弯矩图组合梁,需拆开,以分析梁的受力1.受力分析特点：铰链传力不传力偶矩，与铰相连的两横截面上,M=0,FS不一定为零2.画FS

图－水平直线3.画M

图－直线MFa/2-Fa/23Fa/2例已知外伸梁，M=3kN·m，q=3kN/m，a=2m。解：1.求A、B处支反力FAy=3.5kN；FBy=14.5KN剪力：如图，将梁分为三段AC：q=0,FQC=FAyCB：q<0,FQB=-8.5kNBD：q<0,FQB=6kNAC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN·mCB：q<0,抛物线，FQ=0,M=6.04KN·mBD：q<0,开口向下，MB=-6KN·m弯矩：

从图上可以很清楚地看出三者之间的微分关系剪力，分三段AC，FQA=280KN,FQC=260KNCD，FQC=10KN,FQD=10KN,BD，FQD=-260KN,FQB=-280KN弯矩MQA=MQB=0KN·m,MQC=MQD=540KN·m极值点，（中心）：M=545KN·m练习题：四、平面刚架和曲杆的内力图平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。

特点：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN。1、刚架用刚性接头连接的杆系结构刚性接头的特点：

约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移

受力－既可传力，也可传递力偶矩。内力正负号规定：人站在刚架内部环顾刚架各杆，剪力、弯矩的正负号与梁的规定相同；轴力以拉为正。2、平面刚架内力图规定：

弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。

剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。3、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。

4、平面曲杆内力图规定：

弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉的一侧。

剪力图及轴力图：与平面刚架相同。内力分析1.外力分析2.建立内力方程BC段：AB段：3.画内力图弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受拉一侧弯