高中数学必修第2册期末测试卷（解析版）

期末测试卷(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=3+i(i是虚数单位),z的共轭复数记作z,则z|z|= A.3C.-3【答案】A【解析】z|z|2.水平放置的△ABC的直观图如图所示,若A1C1=2,△A1B1C1的面积为22,则AB的长为 ()2B.217【答案】B【解析】因为△A1B1C1的面积为22,所以22=12A1C1×B1C1易知AC⊥BC,AC=A1C1=2,由勾股定理得AB=AC2+B3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),AB·AC=12,则|BC|= (A.2【答案】A【解析】∵AB=(2,3),AC=(3,t),∴AB·AC=6+3t=12,解得t=2,∴AC=(3,2),∴BC=AC−AB=(1,4.天气预报说,在未来三天中,每天下雨的概率均为40%,用数字0,1,2,3表示下雨,数字4,5,6,7,8,9表示不下雨,由计算机生成如下20组随机数:977,864,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,394,027,556,488,730,113,537,908.由此估计未来三天中至少有一天下雨的概率为 ()A.0.6B.0.7C.0.75D.0.8【答案】B【解析】代表未来三天都不下雨的随机数有977,864,458,569,556,488,共6组,记“未来三天中至少有一天下雨”为事件A,“未来三天都不下雨”为事件B,则A与B为对立事件,所以P(A)=1-P(B)=1-620=710=0.5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,问各几何?”意思是:北乡有8758人,西乡有7236人,南乡有8356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是 ()A.102B.112C.130D.136【答案】B【解析】因为北乡有8758人,西乡有7236人,南乡有8356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,所以需从西乡征集的人数是378×723686.设两个单位向量a,b的夹角为2π3,则|3a+4b|= (A.1B.13C.【答案】B【解析】∵两个单位向量a,b的夹角为2π∴|a|=1,|b|=1,a·b=|a||b|cos2π∴|3a+4b|2=9a2+16b2+24a·b=9+16+24×-12=13,∴|3a+4b|=13.7.在四面体A-BCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,则直线AB与CD所成角的余弦值为 ()A.-13C.1【答案】D【解析】因为四面体的对边分别相等,所以该四面体的顶点为长方体的不相邻的四个顶点,如图所示,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则a连接D'C',交AB于点O,则D'C'∥DC,所以∠AOD'(或其补角)是直线AB与CD所成的角.易知AO=D'O=32,AD'=2在△AOD'中,cos∠AOD'=AO所以直线AB与CD所成角的余弦值为13,故选8.如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进若干米后到达D处,又测得山顶的仰角为75°,已知山的高度BC为1千米,则该登山队从A到D前进了 ()A.2千米B.(6−2C.1千米D.1.5千米【答案】C【解析】如图,过D作DE⊥BC交BC于点E,DF⊥AC交AC于点F,由题意得∠BAC=∠ABC=45°,∠DAC=30°,∠BDE=75°,则∠BAD=15°,∠DBE=15°,则∠ABD=30°.设AD=x千米,在△ABD中,由正弦定理得xsin∠ABD=BDsin∠BAD,即BD=2在△BED中,BE=BDcos15°=2xsin15°·cos15°=xsin30°=12x在△ADF中,DF=CE=xsin30°=12x,因为BC=1,所以BE+CE=x=1,即该登山队从A到D前进了1千米,故选二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.有5件产品,其中3件正品,2件次品,从中任取2件,则互斥的两个事件是 ()A.至少有1件次品与至多有1件正品B.至少有1件次品与2件都是正品C.至少有1件次品与至少有1件正品D.恰有1件次品与2件都是正品【答案】BD【解析】在A中,至少有1件次品与至多有1件正品能同时发生,不是互斥事件,故A错误;在B中,至少有1件次品与2件都是正品是对立事件,属于互斥事件,故B正确;在C中,至少有1件次品与至少有1件正品能同时发生,不是互斥事件,故C错误;在D中,恰有1件次品与2件都是正品不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立的两个事件,故D正确.故选BD.【解题模板】对于互斥但不对立的两个事件的判断,解题时要认真审题,对试验的结果进行适当划分,注意对立事件、互斥事件定义的合理运用.10.已知甲运动员的投篮命中率是0.7,乙运动员的投篮命中率是0.8,若甲、乙各投篮一次,则 ()A.都命中的概率是0.56B.恰有一人命中的概率是0.42C.恰有一人没命中的概率是0.38D.至少有一人命中的概率是0.94【答案】ACD【解析】对于A,都命中的概率为0.7×0.8=0.56,故A正确;对于B,恰有一人命中的概率是0.7×0.2+0.3×0.8=0.38,故B错误;对于C,恰有一人没命中的概率是0.7×0.2+0.3×0.8=0.38,故C正确;对于D,至少有一人命中的概率是1-0.3×0.2=0.94,故D正确.故选ACD.11.下列条件中能够判定△ABC是钝角三角形的是 ()A.a=4,b=5,c=6B.AB·BCC.cD.b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC【答案】BC【解析】对于A,a2+b2=41>c2,所以△ABC是锐角三角形,错误;对于B,AB·BC=-accosB=2b,所以cosB<0,所以△ABC为钝角三角形,对于C,c-ba+b=sinAsinC+sinB=ac+b⇒c2=a2+b2+ab,所以cos对于D,由b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,得b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB·cosC,整理得b2+c2=(bcosC+ccosB)2,即b2+c2=a2,所以△ABC是直角三角形,错误.故选BC.12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点O为A1D1的中点,若以O为球心,6为半径的球面与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱有四个交点E,F,G,H,则下列结论正确的是 ()A.A1D1∥平面EFGHB.A1C⊥平面EFGHC.A1B1与平面EFGH所成角的大小为45°D.平面EFGH将正方体ABCD-A1B1C1D1分成体积比为1∶7的两部分【答案】ACD【解析】如图,连接OA,OE,则OA=22故球面与棱AA1,DD1,A1D1,AD没有交点,同理,球面与棱A1B1,C1D1,B1C1也没有交点.因为棱A1D1与棱BC之间的距离为22>所以球面与棱BC没有交点.所以球面与棱AB,CD,CC1,BB1相交,交点分别记为E,F,G,H.在Rt△AOE中,OA=5,OE=6,所以AE=OE2所以E为AB的中点,同理,F,G,H分别为CD,CC1,BB1的中点,则EFHG,所以四边形EFGH为平行四边形.因为A1D1∥AD,EF∥AD,所以A1D1∥EF.因为A1D1⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH,故A正确.连接A1B,假设A1C⊥平面EFGH,则A1C⊥GH,又GH∥BC,所以A1C⊥BC.因为BC⊥平面AA1B1B,A1B⊂平面AA1B1B,所以BC⊥A1B,在△A1BC中,有两个角为90°,矛盾.故假设不成立,故B错误.连接AB1,因为BC⊥平面AA1B1B,EF∥BC,所以EF⊥平面AA1B1B,所以EF⊥A1B.在正方形AA1B1B中,A1B⊥AB1,因为E,H分别为AB,BB1的中点,所以EH∥AB1,所以EH⊥A1B.因为EF∩EH=E,所以A1B⊥平面EFGH.因为A1B1∥AB,所以A1B1与平面EFGH所成的角即为AB与平面EFGH所成的角,即为∠BEH=45°,故C正确.易知S△BEH=14所以S△BEH=17所以VBEH-CFG∶VAEHB1A1-DFGC1D1三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如下,数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是.

【答案】65【解析】由题图得,成绩在[20,60)内的频率是(0.005+0.010)×20=0.3,成绩在[20,80)内的频率为0.3+0.020×20=0.7,故第40百分位数一定位于[60,80)内,则这次数学测试成绩的第40百分位数为60+0.414.已知向量a,b满足|b|=3,|a+b|=4,|a-b|=5,则向量a在向量b上的投影为.

【答案】-34【解析】∵|a+b|=4,∴a2+b2+2a·b=16,∵|a-b|=5,∴a2+b2-2a·b=25,∴a·b=-94,∴向量a在向量b上的投影为a【解题模板】研究向量a在向量b上的投影有两种方法:一是用定义|a|cosθ(θ为向量a与向量b的夹角),二是将定义式用夹角公式化为a·b15.若复数2+i为一元二次方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,则复数|a+bi|=.

【答案】41【解析】因为2+i为一元二次方程x2+ax+b=0的根,所以(2+i)2+a(2+i)+b=0,所以(a+4)i+2a+b+3=0,又a,b∈R,故a+4=0,2a+b+3=0,解得a=-4,b=5.则|a+bi|=|-4+5i|=16+25=16.三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC的射影为△ABC的内心,三个侧面的面积分别为12,16,20,且底面面积为24,则该三棱锥P-ABC的体积为,它的外接球的表面积为.

【答案】163;316π3【解析】因为P在底面ABC的射影是△ABC的内心,所以三棱锥P-ABC的斜高相等,设为h',设三棱锥P-ABC的高为h,底面边长为a,b,c(a<b<c),则a∶b∶c=12∶16∶20=3∶4∶5①,则△ABC所以S△ABC=12ab=24②,由①②得a=6,b=8,c=10,因为12ah'=12,所以h'△ABC内切圆的半径r=24×2a+则h=ℎ'所以V三棱锥P-ABC=13设三棱锥外接球的半径为R,△ABC的内心为H,斜边中点为G,则HG=5,球心O在过G且与PH平行的直线上,过O作ON∥GH,经计算知N在PH的延长线上,所以PN-HN=PN-OG=23,即R2-5−R2-所以外接球的表面积S=4πR2=316π四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图,在△OAB中,已知P为线段AB上一点,OP=(1)若BP=PA,求实数x,y(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA与OB的夹角为60°,【解析】(1)∵BP=∴BO+即2OP=OA+OB, ∴OP=12OA+12OB,即x=12,(2)∵BP=3PA,∴BO+OP=3PO+3OA,即∴OP=34OA+1∴OP·AB=3=1=14×22−34×418.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且a=7,c=1,A=2π(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.

从①AD=1,②∠CAD=π6这两个条件中任选一个,补充在上面问题中,并作答【解析】(1)∵a=7,c=1,A=2π3,∴由余弦定理得(7)2=b2+12-2b×1×cos2π3,整理得b2+b-6=0, 解得b=2或b=-3(舍去),∴S=12bcsinA=(2)选①,如图所示:在△ABC中,由正弦定理得ACsinB=BCsin2π3,∴sinB在△ABD中,∵AD=AB=1,∴∠ADB=B,∴sin∠ADB=sinB=217. (12分选②,在△ABC中,由正弦定理得ABsinC=BCsin2π3易知C为锐角,∴cosC=1-sin2C=∴sin∠ADB=sinC+π6=3219.(本小题满分12分)6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”,为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注,聚焦联合国2030可持续发展目标——实现全球土地退化零增长.自2004年以来,我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗,现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位:cm),得到以下频率分布直方图.(1)求图中a的值及数据的众数、中位数;(2)估计苗圃中树苗的平均高度;(3)在样本中从205cm及以上的树苗中采用分层随机抽样的方法抽出5株,再从这5株中抽出2株树苗,求其中含有215cm及以上树苗的概率.【解析】(1)由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得(0.0015+0.011+0.0225+0.03+a+0.008+0.002)×10=1,解得a=0.025. (2分)众数为185+1952=190. (4分设中位数为x,因为(0.0015+0.011+0.0225)×10=0.35<0.5,(0.0015+0.011+0.0225+0.03)×10=0.65>0.5,所以185<x<195,由0.35+0.03×(x-185)=0.5,解得x=190. (6分)(2)x=160×0.015+170×0.11+180×0.225+190×0.3+200×0.25+210×0.08+220×0.02=189.8(cm).因此估计苗圃中树苗的平均高度为189.8cm. (8分)(3)从[205,215)内抽取5×0.080.08+0.02=4(株),分别设为a1,a2,a3,a4,从[215,225]内抽取5×0.020.08+0从这5株树苗中抽出2株有a1a2,a1a3,a1a4,a1b,a2a3,a2a4,a2b,a3a4,a3b,a4b,共10种情况,其中含有215cm及以上树苗的有4种,故所求概率P=410=25. 20.(本小题满分12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知点M在正方形A1B1C1D1内部,A1M=2,CM=6.(1)经过点M在平面A1B1C1D1内作一条直线与CM垂直(说明作法及理由);(2)求直线CM与平面BDD1B1所成角的余弦值.【解析】(1)当点M为A1C1,B1D1的交点时,B1D1为所求作的直线. (2分)理由如下:连接C1M,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面A1B1C1D1,又C1M,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥C1M,CC1⊥B1D1,所以C1M=CM2-CC12=2则A1C1=A1M+C1M,所以M为A1C1的中点. (4分)因为四边形A1B1C1D1为正方形,所以M为B1D1的中点,易知B1D1⊥MC1,因为MC1∩CC1=C1,MC1,CC1⊂平面CMC1,所以B1D1⊥平面CMC1,又CM⊂平面CMC1,所以B1D1⊥CM.(6分)(2)由(1)知M∈B1D1,故M∈平面BDD1B1,连接AC,设AC∩BD=O,连接OM,易知OM⊂平面BDD1B1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BB1⊥平面ABCD,因为CO⊂平面ABCD,所以CO⊥BB1,在正方形ABCD中,易知CO⊥BD,又BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面BDD1B1,所以CO⊥平面BDD1B1,所以CO⊥OM,所以∠CMO为直线CM与平面BDD1B1所成的角. (9分)在△COM中,CO=2,CM=6,所以sin∠CMO=COCM=3则cos∠CMO=1-sin即直线CM与平面BDD1B1所成角的余弦值为63. (12分21.(本小题满分12分)2020年是我国5G网络建设的加速之年.截至2020年年底,中国已建成全球最大的5G网络.为了切实推动移动网络质量提升,不断改善用户体验,中国信通院受工信部委托,定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评,其中一项测评内容是在每座受测城市中任意挑选一条典型路段进行测评,以评估当地5G网络发展水平,其中5座受测城市的5G综合下载速率(单位:Mbps)数据如表:城市路段5G综合下载速率(单位:Mbps)福州五四路708.92广州大学城外/中/内环817.13哈尔滨红军街630.34杭州环城东路882.60成都二环高架916.02(1)从这5座城市中随机选取2座城市进行分析,求选取的2座城市5G综合下载速率都大于800Mbps的概率;(2)甲、乙两家5G网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察(甲、乙的选取互不影响),求甲、乙两家运营商中恰有一家选取的城市5G综合下载速率大于800Mbps的概率.【解析】(1)这5座城市中5G综合下载速率大于800Mbps的有3座,设为A1,A2,A3,5G综合下载速率不大于800Mbps的有2座,设为B1,B2. (2分)随机选取2座城市的所有可能为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10个,其中2座城市5G综合下载速率都大于800Mbps的有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个. (4分)设“选取的2座城市5G综合下载速率都大于800Mbps”为事件M,所以P(M)=310. (6分(2)设“甲选取的城市5G综合下载速率大于800Mbps”为事件C,“乙选取的城市5G综合下载速率大于800Mbps”为事件D,“甲、乙两家运营商中恰有一家选取的城市5G综合下载速率大于800Mbps”为事件N.易得P(C)=P(D)=35, (9分所以P(N)=P(CD∪CD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=35×1-35+1-35×3522.(本小题满分12分)如图甲,在矩形ABCD中,E是CD的中点,AB=2,BC=2,以AE,BE为折痕将△ADE与△BCE折起,使D,C重合(仍记为D),如图乙(以△ABD所在平面为底面).(1)探索折叠形成的几何体中直线DE的几何性质并证明(写出一条即可,不含DE⊥DA,DE⊥DB);(2)求翻折后几何体E-ABD外接球的体积.【解析】(1)性质1:DE⊥平面ABD. (1分)证明如下:翻折前,DE⊥DA,CE⊥BC,翻折后垂直关系不变,则DE⊥DA,DE⊥DB,又DA∩DB=D,所以DE⊥平面ABD. (4分)性质2:DE⊥AB. (1分)证明如下:与性质1证明方法相同,得到DE⊥平面ABD,又AB⊂平面ABD,所以DE⊥AB. (4分)性质3:DE与平面ABD内任一直线都垂直.(1分)证明如下:与性质1证明方法相同,得到DE⊥平面ABD,从而DE与平面ABD内任一直线都垂直. (4分)性质4:直线DE与平面ABE所成的角等于π4. (1分证明如下:如图,取AB的中点F,连接DF,EF,由DA=DB,得DF⊥AB,与性质2证明方法相同,得DE⊥AB,DE⊥DF,因为DE∩DF=D,所以AB⊥平面DEF,因为AB⊂平面ABE,所以平面DEF⊥平面ABE.作DH⊥EF于H,则DH⊥平面ABE,所以∠DEF即为直线DE与平面ABE所成的角,易知DE=1,EF=2,所以cos∠DEF=DEEF=12=22,所以∠DEF=写出其中一条即可.(2)解法一:易知AD=BD=2,AB=2,则AB2=AD2+BD2,所以△ABD是等腰直角三角形,如图,取AB的中点P,连接DP,则P是△ABD的外心, (6分)设几何体E-ABD外接球的球心是O,则OP⊥平面ABD. (8分)作OM⊥DE于M,则M是DE的中点,易得四边形OPDM是矩形,OP=DM=12,DP=12AB几何体E-ABD的外接球半径R=OP2+PD2=14+1=52, (10解法二:易知DA,DB,DE两两垂直,外接球就是以DA,DB,DE为相邻的棱的长方体的外接球, (7分)设外接球的半径为R,则(2R)2=DA2+DB2+DE2=2+2+1=5,解得R=52, (10分故外接球的体积V=43πR3=55综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为()A.14 B.12 C.12.若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在()A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限 D.第二象限3.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°4.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12.若|BC|=1,则|A.2-1 B.3-1C.2+1 D.3+15.某射箭运动员进行射箭训练,射箭60次,统计结果如表:环数012345678910击中的次数00124461012138则估计他击中的环数不小于8的概率为()A.0.46 B.0.55C.0.57 D.0.636.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头),现两人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是()A.13 B.12 C.237.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完全相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是()A.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”B.“取出不发酵茶”和“取出龙井”C.“取出乌龙茶”和“取出铁观音”D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14C.5+14 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设P是△ABC所在平面内的一点,AB+AC=3AP,则(A.PA+PB=0 B.PBC.PA+AB=PB 10.下列说法中,正确的是()A.概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值B.做n次随机试验,事件发生m次,则事件发生的频率mnC.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<111.下列说法正确的是()A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6B.已知一组数据2,3,5,x,8的平均数为5,则这组数据的方差是5.2C.用分层随机抽样时,个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若x1,x2,…,x10的标准差为2,则3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的标准差是612.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是DD1的中点,则()A.直线B1C∥平面A1BDB.B1C⊥BD1C.三棱锥C1-B1CE的体积为1D.异面直线B1C与BD所成的角为90°三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.复数z=1-i(其中i为虚数单位),则|z+3i|=.

14.有下列数据:1.53.25.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1这组数据的第70百分位数是.

15.在水流速度为4km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为km/h.

16.如图是某个闭合电路的一部分,每个元件的可靠性是23,则从A到B这部分电路畅通的概率为四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z满足z+4为纯虚数,且z2-i为实数.若复数(z+mi)2在复平面上对应的点位于第四象限,求实数18.(12分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且BC=(1)求|AC|;(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{AB,AD}表示19.(12分)为了了解学生参加体育活动的情况,学校对学生进行随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”,共有4个选项:A.1.5小时以上,B.1~1.5小时,C.0.5~1小时,D.0.5小时以下.图①②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答以下问题:(1)本次一共调查了多少名学生?(2)在图①中将B对应的部分补充完整.(3)若该校有3000名学生,估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.20.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.21.(12分)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=22,BA=BC=2,O是线段AC的中点,M是线段BC的中点.(1)求证:PO⊥平面ABC;(2)求直线PM与平面PBO所成角的正弦值.22.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=23,EB=BC=2,F为CE上一点,且BF⊥平面ACE.(1)求三棱锥A-DBE的体积;(2)求二面角D-BE-A的大小.

参考答案综合测评1.A∵a=(1,-2),b=(-2,m),∴a·b=-2-2m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=14.故选A2.B由于|z-1|=|z+1|,故复数z在复平面内对应的点到(-1,0)的距离等于它到(1,0)的距离,故复数z对应的点在虚轴上.故选B.3.B如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.∵E,F分别为CD,AB的中点,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=12AC,EG=1∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,∴△EFG为等腰直角三角形.∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.4.D∵|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12,∴cos∠APB=PA·PB|PA||由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=3,则|AB|=3.∴当AB与BC同向共线时,|AC|有最大值3+故选D.5.B根据题意,该运动员击中的环数不小于8的频率为12+13+860=0.55,因此估计相应概率为0.556.C甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有9种,其中游戏只进行一回合就分出胜负的可能结果共有6种,故所求概率为P=697.D对于A,事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故A错误;对于B,事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件,因为“取出龙井”时,事件“取出不发酵茶”也发生了,故B错误;对于C,事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故C错误;对于D,事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件,故D正确.8.C设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h',则依题意有ℎ2=12aℎ',ℎ2=ℎ'2-(a2)

2,因此有h'2-a22=12ah'⇒4ℎ'a29.CD因为AB+AC=3AP,所以PB−PA+PC−PA-3AP=0,即PA+PB+PC=0,故10.AC根据题意,依次分析选项:对于A,由概率与频率的关系,A正确;对于B,概率是频率的稳定值,B错误;对于C,由概率与频率的关系,C正确;对于D,任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1,D错误.11.BD∵10×60%=6,∴1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数为第六位和第七位的平均数,即6+72=6.5,故A选项错误∵数据2,3,5,x,8的平均数为5,∴2+3+5+x+8=5×5,即x=7,∴数据2,3,5,7,8的方差是(2-5)2+(3用分层随机抽样时,每层的个体被抽到的概率相同,故C选项错误;∵x1,x2,…,x10的标准差为2,方差为4,∴3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差为32×4=36,即标准差为6,故D选项正确.12.AB选项A,如图,连接A1D,A1B,BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得A1B1与CD平行且相等,所以四边形A1B1CD为平行四边形,有B1C∥A1D,又B1C⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,所以直线B1C∥平面A1BD,故选项A正确;选项B,如图,连接BC1,AD1,因为四边形BB1C1C为正方形,所以B1C⊥BC1,因为正方体ABCD-A1B1C1D1,所以AB⊥平面BB1C1C,又B1C⊂平面BB1C1C,所以AB⊥B1C,又AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,又BD1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1,故选项B正确;选项C,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,所以B1C1⊥平面CC1D1D,且B1C1=1,又S△CC1E=12×1×1=12,所以三棱锥B1-CC1E的体积即三棱锥C1-B1CE的体积为16,故选项C错误选项D,如图,连接A1D,A1B,BD,由选项A的解析可知,A1D∥B1C,所以异面直线B1C与BD所成的角为∠A1DB或其补角,因为正方体ABCD-A1B1C1D1,易得△A1DB为等边三角形,所以∠A1DB=60°,故选项D错误.故选AB.13.5∵z=1-i,∴z+3i=1-i+3i=1+2i,则|z+3i|=|1+2i|=1214.27因为70%×30=21,所以这组数据的第70百分位数是27+272=2715.45由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,则OC表示船的实际速度.则|OA|=4,|OB|=8,∠AOB=90°,∴|OC|=42+82∴实际速度的大小为45km/h.16.7081因为每个元件的可靠性是23,所以从A到B这部分电路不畅通的概率为13×13×1-13×13+217.解