4.2.1 等差数列的概念（2）B提高练（解析版）

4.2.1等差数列的概念（2）-B提高练一、选择题1．在等差数列{an}中，a3+a4+a5＝6，则a1+a7＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】由等差数列的性质，得a3+a4+a5＝3a4＝6，解得a4＝2，∴a1+a7＝2a4＝4，故选：C．2．在等差数列中，，，则（）A．12 B．22 C．24 D．34【答案】B【详解】设数列的公差为则故.故选：B3．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.4．设数列，都是等差数列，且，，，则等于（）A．0 B．37 C．100 D．【答案】C【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以数列是等差数列，因为，，，所以数列的公差为0，首项为100，所以，所以，故选：C5．（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.6.（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（）A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱【答案】AC【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，∴，，即，，，，∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．故选：AC．二、填空题7．等差数列中，，则公差_____________.【答案】2【详解】因为数列是等差数列，所以，所以，所以公差.8．若2､a､b､c､8成等差数列，则___________.【答案】【详解】2､a､b､c､8成等差数列,所以，所以,,所以，故答案为：9．等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________.【答案】15【详解】，为方程的两根，，由等差数列的性质得，即，.10．已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则等于________.【答案】【详解】由题意函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，且在上单调，因为，所以因为数列是公差不为0的等差数列，所以三、解答题11．方程的四个根组成首项为的等差数列，求其公差d及的值．【详解】设的两根为的两根为，它们组成的等差数列为.根据等差数列的性质，可设（1），则有和，公差，所以.公差（2），有和，公差，所以公差.综上所述，公差或公差.12．在正项无穷等差数列中，已知.（1）求通项公式.（2）设，且对一切，恒有，求的值.对一切，是否恒有？请说明理由.【详解】（1）∵，又∵，∴或当时，，不恒为正，舍去.∴∴（2），∴.∴，∴.因为，所以恒有.A级必备知识基础练1.[探究点一·2023江苏扬州检测]在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=()A.180 B.45 C.75 D.3002.[探究点一]已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为()A.12 B.8 C.6 D.43.[探究点二]已知数列ann是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于(A.12 B.24 C.16 D.324.[探究点二]已知等差数列{an}满足am-1+am+1-am2-1=0,且m>1,则a1+a2m-1=(A.10 B.9 C.3 D.25.[探究点二](多选题)已知等差数列{an}中,a1=3,公差为d(d∈N*),若2021是该数列的一项,则公差d不可能是()A.2 B.3 C.4 D.56.[探究点一]已知数列{an}是等差数列.若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=.

7.[探究点一]在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N*,则am+n的值为.

8.[探究点三·北师大版教材习题]有一个阶梯教室,共有座位25排,第一排离教室地面高度为17cm,前16排前后两排高度差8cm,从第17排起,前后两排高度差是10cm(含16,17排之间高度差).求最后一排离教室地面的高度.B级关键能力提升练9.在公差不为0的等差数列{an}中,a3+a8=ax+ay,则xy的值不可能是()A.10 B.18 C.22 D.2810.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为(A.14 B.15 C.16 D.1711.设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1aA.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<012.等差数列{an},{bn}满足对任意n∈N*都有anbn=2n13.已知数列{an}是递增的等差数列,且a1=1,a3a5=91,则{an}的通项公式为,满足am+am+1+am+2+…+am+5=123的正整数m=.

14.已知中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2017,则该数列的首项为.

15.[2023甘肃金昌月考]某商店出售一种儿童玩具,若每天售出件数成递增的等差数列,其中第1天售出10000件,第21天售出15000件;每天的价格成递减的等差数列,第1天每件100元,第21天每件60元.试求该店第几天收入达到最高?C级学科素养创新练16.已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中,依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项,按原来的顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.1.A∵{an}是等差数列,∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=2×90=180.故选A.2.B由等差数列性质得,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8,又d≠0,∴m=8.3.A令bn=ann,由题意可知b3=a33=23,b15=a1515=2,则等差数列{bn}的公差d=b15-b315-3=19,则b9=b34.D由等差数列的性质知,am-1+am+1=2am,则2am-am2-1=0,即(am-1)2=0,解得am=1.所以a1+a2m-1=2am=2,故选5.BCD由2021是该数列的一项,即2021=3+(n-1)d,所以n=2018d+1.因为d∈N*,所以d是2018的约数,故d不可能是3,46.18设数列{an}的公差为d,∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=173.∵a4+…+a14=11a9=77,∴a9=7,d=a9-a79-7=23.∴ak-a9=(k-9)d,即13-77.0设等差数列的公差为d,则d=am-anm-n=n-mm-n=-1,从而am+n8.解前16排离地高度成等差数列,记为{an},则a1=17cm,公差d=8cm,n=16,由an=a1+(n-1)d得a16=137cm;后10排(包括第16排)也成等差数列,记为{bn},则b1=a16=137cm,d'=10cm,得b10=137+9×10=227(cm).所以最后一排离教室地面的高度为227cm.9.C∵公差不为0的等差数列{an}中,a3+a8=ax+ay,∴x+y=3+8=11.∵x,y∈N*,∴x=1,y=10或x=2,y=9或x=3,y=8或x=4,y=7或x=5,y=6或x=6,y=5或x=7,y=4或x=8,y=3或x=9,y=2或x=10,y=1,∴xy=10或18或24或28或30.故选C.10.C设公差为d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,∴a9-13a11=(a8+d)-13(a8+3d)=23a811.D设bn=2a1an,则bn+1=2a1an+1,由于{2a1an}是递减数列,因此bn>bn+1,即2a1an>2a1an+1.∵y=2x是增函数,∴a1an>a1an+1,∴a1an-a1(an+d)>0,∴a12.1由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6,a7+a5=2a6,所以a7b313.an=3n-25设{an}的公差为d(d>0).由条件可得a3a5=(1+2d)(1+4d)=91,解得d=3或d=-154(舍去因此an=1+(n-1)×3=3n-2.am+am+1+am+2+…+am+5=3(am+am+5)=3×[3m-2+3×(m+5)-2]=18m+33=123,解得m=5.14.3设等差数列为{an},若这组数有(2m+1)个,则am+1=1010,a2m+1=2017.又a1+a2m+1=2am+1,即a1+2017=2×1010,所以a1=3;若这组数有2m个,则am+am+1=1010×2=2020,a2m=2017.又a1+a2m=am+am+1,即a1+2017=2020,所以a1=3.综上,该数列的首项为3.15.解记每天售出件数构成递增的等差数列{an},其公差为d1.记每一件的价格每天构成递减的等差数列{bn},其公差为d2.则a1=10000,a21=15000,b1=100,b21=60,故d1=a21-a121-1=15故an=10000+250×(n-1)=250×(n+39),bn=100-2(n-1)=2×(51-n).故an×bn=250×(n+39)×2×(51-n)=500×(n+39)×(51-n)≤500×(n+39+51-n2)2