第4章 三角形 单元检测（含详解）2025-2026学年数学七年级下册北师大版

第4章三角形综合单元检测一．选择题（共10小题）1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．7，13，20 B．13，14，25 C．5，5，11 D．8，7，152．一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（）A．30°和60° B．40°和70° C．50°和20° D．40°和40°3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，那么AD是高的三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个4．如图所示，E、B、F、C四点在一条直线上，ED＝AB，∠A＝∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．ED∥AB B．EB＝FC C．DF＝AC D．∠DFC+∠C＝180°5．如图，已知△ABC≌△DEC，∠D＝65°，∠ACB＝75°，则∠E的度数为（）A．40° B．45° C．75° D．65°6．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4，5，9 B．3，4，10 C．3，4，7 D．8，8，147．如图，AB和CD交于点O，AC⊥AB于点A，连接BD．若∠B＝40°，∠D＝75°，则∠C的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°8．如图，在△ABC中，边BC上的高是（）A．AD B．BE C．BF D．CF9．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（）A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点10．如图，已知△ABC≌△DEF（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F），点C在DE边上，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠DCB的度数是（）A．38° B．48° C．58° D．60°二．填空题（共13小题）11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BD＝1，则线段AD的长度为．12．已知a、b、c为△ABC的三边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠DAE＝15°，∠C＝65°，则∠B的度数为°．14．如图，△ABC中BC边上的高为．15．如图：点A、B、C、D在同一直线上，CE∥BF，AB＝CD，请添加一个条件，使得△ACE≌△DBF（填一个即可）．16．如图，已知△AEC≌△ADB，若AB＝15，AD＝10，则BE的长为．17．有两根木棒长分别为4cm、6cm，要选第三根木棒与它们围成三角形，且长度为整数，则第三根木棒最长为cm．18．如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是．19．如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为．20．如图，已知：G是△ABC的重心，S△ABC＝12，那么S△GBD＝．21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝8cm，BC＝10cm，CD＝14cm，E是AB中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段CD上匀速由C向D单向运动．为使△BPE与△CPQ在两点运动过程中全等，点Q的速度应为．22．在△ABC中，∠A＝∠B，若与△ABC全等的三角形的一个内角是100°，则在△ABC中与100°内角对应的角是．23．如图，△ABC中，D点在BC上，∠C＝70°，∠DAC＝30°，则图中标示的p+q的值是．三．解答题（共7小题）24．如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B＝40°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；（2）求证：∠E=125．如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，P点运动到AC上什么位置时△ABC和△APQ全等？26．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD的度数．27．如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O．（1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数；（2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED．28．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠OCD＝60°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）当△AOD是等腰三角形时，直接写出α的度数．29．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是BC边上的高．∠BAC＝80°，∠C＝72°，求∠DAE的度数．30．如图①，线段AD，BC相交于点O，连结AB，CD，我们把这个图形称为“对顶三角形”．由三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，而∠AOB＝∠COD，我们得到∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）如图④，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．

第4章三角形综合同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A、7+13＝20，∴7，13，20不能构成三角形，不符合题意；B、∵13+14＝27＞25，∴13，14，25能构成三角形，符合题意；C、∵5+5＝10＜11，∴5，5，11不能构成三角形，不符合题意；D、∵7+8＝15，∴8，7，15不能构成三角形，不符合题意，故选：B．2．【解答】解：A、180°﹣30°﹣60°＝90°，该三角形是直角三角形，不符合题意；B、180°﹣40°﹣70°＝70°，三个内角分别为40°，70°，70°，都小于90°，该三角形是锐角三角形，符合题意；C、180°﹣50°﹣20°＝110°，110°＞90°，该三角形是钝角三角形，不符合题意；D、180°﹣40°﹣40°＝100°，100°＞90°，该三角形是钝角三角形，不符合题意．故选：B．3．【解答】解：根据题意可知，AD⊥BC于D，∴图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有△ABC，△ABE，△ABD，△AED，△AEC，△ADC，共6个，综上所述，以AD为高的三角形有6个，所以只有选项D正确，符合题意．故选：D．4．【解答】解：A、添加ED∥AB可得∠E＝∠ABC，可利用ASA判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、由EB＝FC可得EF＝BC，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、添加DF＝AC可利用SAS判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加∠DFE+∠DFC＝180°，∠DFC+∠C＝180°可得∠DFE＝∠C可利用AAS判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．5．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∠ACB＝75°，∴∠DCE＝∠ACB＝75°（全等三角形对应角相等）．在△DCE中，∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠D＝180°﹣75°﹣65°＝40°，故选：A．6．【解答】解：A：∵4+5＝9，不满足三角形三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意．B：∵3+4＝7＜10，不满足三角形三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意．C：∵3+4＝7，不满足三角形三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意．D：∵8+8＝16＞14，满足三角形三边关系，∴能组成三角形，符合题意．故选：D．7．【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣40°﹣75°＝65°，∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∵AC⊥AB，∴∠A＝90°，∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣65°＝25°，则∠C的度数是25°，故选：A．8．【解答】解：三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．综上所述，只有选项A正确，符合题意，故选：A．9．【解答】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点，综上所述，只有选项A正确，符合题意，故选：A．10．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，由条件可知∠CGF＝∠D+∠DCB，∵∠CGF＝88°，∴∠DCB＝∠CGF﹣∠D＝88°﹣30°＝58°．故选：C．二．填空题（共13小题）11．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝2，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3，故答案为：3．12．【解答】解：根据题意得，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0．∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c＝﹣2a+2c，即|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|的值为﹣2a+2c．故答案为：﹣2a+2c．13．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∵∠DAE＝15°，∴∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝15°+25°＝40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC＝80°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°，故答案为：35°．14．【解答】解：如图所示，根据三角形的高的定义可知BC边上的高为AE．故答案为：AE．15．【解答】解：∵点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD；又∵CE∥BF，根据平行线的性质，得∠ACE＝∠DBF，此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可：添加CE＝BF，可由SAS判定全等；添加∠A＝∠D，可由ASA判定全等；添加∠E＝∠F，可由AAS判定全等，以上均正确，综上所述，答案不唯一，CE＝BF，∠A＝∠D、∠E＝∠F都正确，故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一CE＝BF、∠E＝∠F）．16．【解答】解：∵△ACE≌△ABD，AB＝15，AD＝10，∴AC＝AB＝15，AE＝AD＝10（全等三角形对应边相等），∴BE＝AB﹣AE＝15﹣10＝5，故答案为：5．17．【解答】解：设第三根木棒的长为xcm，根据三角形的三边关系得，6﹣4＜x＜6+4，即2＜x＜10，∵x为整数，∴x的最大值为9，即第三根木棒最长为9cm，故答案为：9．18．【解答】解：如图所示，∵∠α＝70°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝180°﹣70°＝110°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∴∠5+∠6＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣2×110°＝360°﹣220°＝140°，∴∠β＝180°﹣（∠5+∠6）＝180°﹣140°＝40°．故答案为：40°．19．【解答】解：∵AP是△ABC的中线，∴P是BC的中点，∴BP=1∵BC＝8，∴BP=12BC又AQ是△ABP的中线，∴BQ=12BP故答案为：2．20．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴AGGD=2，AD是△∴GDAD∵S△ABC＝12，∴S△ABD∴S△GBD故答案为：2．21．【解答】解：设运动时间为ts，点Q的速度为vcm/s，∵E是AB中点，∴AE＝BE=12AB＝4（由题意得：CQ＝vtcm，BP＝3tcm，∵BC＝10cm，∴CP＝BC﹣BP＝（10﹣3t）cm，∵∠B＝∠C，∴分两种情况：当△BPE≌△CQP时，∴BP＝CQ，BE＝CP，∴3t＝vt，4＝10﹣3t，解得：v＝3，t＝2；当△BPE≌△CPQ时，∴BP＝CP，BE＝CQ，∴3t＝10﹣3t，4＝vt，解得：t=53，综上所述：为使△BPE与△CPQ在两点运动过程中全等，点Q的速度应为3cm/s或2.4cm/s，故答案为：3cm/s或2.4cm/s．22．【解答】解：∵∠A＝∠B，与△ABC全等的三角形的一个内角是100°，∴只能是∠C＝100°．故答案为：∠C．23．【解答】解：∵∠C＝70°，∠DAC＝30°，∴∠ADC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∴∠ADC＝p°+q°＝80°，∴p+q＝80，故答案为：80．三．解答题（共7小题）24．【解答】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+30°＝70°，∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°，∴∠E＝180°﹣∠ADC﹣∠DPE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB，∴∠ADC＝∠B+∠BAD=∠B+1=∠B+1=∠B+90°−1∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°∴∠E＝180°﹣∠DPE﹣∠ADC=180°−90°−(90°+1=180°−90°−90°−1=125．【解答】解：当点P运动到AP＝BC或AP＝AC时，△ABC和△APQ全等，理由：∵AQ⊥AC，∴∠QAC＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠QAC＝90°，分两种情况：当点P运动到AP＝BC时，△ABC和△APQ全等，理由：在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB=PQAP=BC∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；当点P运动到与点C重合时，即AP＝AC时，△ABC和△APQ全等，理由：在Rt△ABC和Rt△PQA中，AB=PQAC=AP∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝BC或AP＝AC时，△ABC和△APQ全等．26．【解答】解：∵AE是∠BAC的角平分线，∠BAC＝50°，∴∠EAC=12∠BAC∵AD是△ABC高，∠C＝70°，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣70°＝20°（三角形内角和定理），∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°．27．【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O，∴∠AEB＝∠1，又∵∠1＝∠2，∠2＝40°，∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°；（2）证明：∵∠EDC＝∠C，∴EC＝ED，由（1）知∠AEB＝∠1，又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED，即∠AEC＝∠BED，在△AEC和△BED中，∠A=∠B∠AEC=∠BED∴△AEC≌△BED（AAS）．28．【解答】解：（1）△AOD是直角三角形，理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC（全等三角形对应边相等），∠ADC＝∠BOC＝150°（全等三角形对应角相等），∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°，∵∠AOB＝110°，α＝150°，∴∠AOD＝360°﹣110°﹣150°﹣60°＝40°，∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴∠OAD＝50°，∴∠AOD≠∠OAD，∴△AOD是直角三角形；（2）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC（全等三角形对应边相等），∠ADC＝∠BOC＝α（全等三角形对应角相等），∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∴