天津市十二区重点学校2026届高三下学期毕业班联考（二）数学试卷(有解析)

天津市十二区重点学校2026年高三毕业班联考（二）数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，则“”是“，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（

）A． B．C． D．4．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．5．芯片作为集成电路上的载体广泛应用于手机和航天等多个领域.某公司根据市场调研与统计得到，从年至年在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下：由上图发现可以用一元线性回归模型刻画收益与投入的关系.根据以上信息，如下判断错误的为（

）A．该公司收益数据的极差为B．该公司收益数据的中位数为C．可推断与两个变量正线性相关D．若年投入亿元，则收益一定为亿元6．已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（

）A．是函数的一个对称中心B．在区间上单调递增C．的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到D．的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，再将图象向右平移个单位长度得到7．已知数列，，对任意的，都有，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．58．已知双曲线的左、右焦点分别为和，右顶点为.过点作斜率为的直线，点在直线上.若，为等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．9．如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（

）A． B． C． D．二、填空题10．是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数__________.11．的展开式中的系数是___________.（用数字作答）.12．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（在第二象限），以为圆心的圆经过点.若直线与圆相切，则圆的标准方程为__________.13．甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________．14．已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________.15．已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________.三、解答题16．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.17．如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.18．已知椭圆的左、右焦点分别为和，离心率为，短轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆相交于，两点.设点关于轴对称的点为（在的左侧），直线与轴相交于点，直线与相交于点，求的值.19．已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，，.(1)求和的通项公式；(2)若与满足关系：，且当时，则称数列是由数列生成的“不减数列”，（i）若，求的前项和：（ii）满足以下两个条件：①为项有穷数列，且，其中，，，是，，，的任意一个排列；②为等差数列.若满足条件的的个数为，并将不同的记作，且，求.20．已知，函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值为，求的值；(3)当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：.参考答案1．B解：，又，．2．B【详解】当，时，；反之，当时，或，，因此“”是“，”的必要不充分条件.3．D【详解】，定义域为，又，所以为奇函数，易知，则不单调，故A不符合题意；因为，，则为偶函数，故B不符合题意；，定义域为，又，所以为奇函数，又在单调递减，则在单调递减，故C不符合题意；，定义域为，又，所以为奇函数，，所以在上单调递增，故D符合题意．4．A【详解】在上为增函数，所以.在上为增函数，所以.当时，，，此时；当时，，，此时；又在上为减函数，在上为增函数，所以方程的解应在之间，即.综上，5．D【详解】对于AB选项，将收益由小到大排列依次为、、、、、、，该公司收益数据的极差为，A对，该公司收益数据的中位数为，B对；对于C选项，由散点图可知，可推断与两个变量正线性相关，C对；对于D选项，用回归方程计算的收益只是个估计值，而不是准确值，即若年投入亿元，则收益不一定为亿元，D错.6．C【详解】由图象可知，可得，又因为，所以，所以，结合图象可知函数的一条对称轴为直线，且为函数的一个最大值点，即，所以，则，解得，设函数的最小正周期为，则，故，所以，即，解得，又因为，即，故，，所以，对于A选项，，所以不是函数的一个对称中心，A错；对于B选项，当时，，所以函数在区间上单调递减，B错；对于C选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得到函数的图象，C对；对于D选项，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数，D错.7．A【详解】令，，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为.所以，所以，解得.8．C【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，，直线的方程为，为等腰三角形，为钝角，因此等腰三角形中只能是，直线的倾斜角为，斜率为，设，，，即，在直线上，代入直线方程，整理得.因此双曲线离心率为3.9．D解：连接它们的交点后如下图所示，是中点，不妨取正方体边长为，所以，即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，所以表面积为，体积，则内切球半径，，．10．【详解】因为，故.11．【详解】展开式的通项为，令，则，令，则，所以的展开式中的系数是.故答案为：.12．【详解】抛物线的焦点为，准线为，设点，则，所以圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切，则，整理可得，因为点在第二象限，则，故，所以圆的方程为.13．/0.5解：设每轮比赛中，甲猜对为事件，乙猜对为事件，则，在一轮比赛中，恰有一人猜对为事件，，设两轮比赛中只有两次猜对为事件，则，则这两次都是乙猜对的概率为．14．3【详解】在边长为2的正中，由、分别为线段、的中点，得，由为线段上任意一点，得，，因此，而，向量不共线，则，所以；由，得，，而，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.15．【详解】设，，则，对于固定的，在的值域是，值域的区间长度为，此时函数在的最大值为的含义是：数轴上，点到区间上所有点的最大距离为.若，则，若或，则，所以.对任意恒成立等价于，即：，，①当时，即：时，在上单调递增，所以，令，解得，符合题意；②当，即：时，，而，，若，则：，，因为，所以，则，不满足条件；若，则，，令，解得：或，不满足条件；③当，即：时，在上单调递减，所以，令，解得：，符合条件.综上所述，的取值范围为.16．(1)(2)(3)【详解】（1）解法一：因为，根据正弦定理得，即，根据余弦定理，则，解得，；解法二：因为，根据正弦定理得，根据余弦定理，则，解得，，；（2）解法一：根据正弦定理

得，所以解得；解法二：， 由余弦定理可得：，是的内角，；（3）， 由余弦定理可得：，，，．17．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）如下图所示，以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，， ，则，代入可得，令，则，，则平面的一个法向量为，又因为，，所以，所以平面.（2）设平面的一个法向量为，，，则，代入可得，令，则，，则平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）因为点在棱上，设，，，解得，所以，，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)4（1）解：由题意可得，，解得，所以椭圆的方程为；（2）解法一：由题意可知直线的斜率不为，，设直线的方程为，，，则，由方程组，整理得，，，，，直线的方程为，令，得，所以，，直线的方程为，直线的方程为，联立方程解得，，所以.思路一：因为，，.所以，，思路二：设点，则，，因为点在椭圆上，所以，则，得，即，所以点在以，为焦点，实轴长为1的双曲线的右支上运动，所以，的值为4.解法二：因为，由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则，由方程组，整理得，， ， 直线的方程为令，得所以，直线的方程为，直线的方程为，联立方程解得，，所以，以下解法同解法一．19．(1)，(2)（i）；（ii）满足条件的的个数为个，且（1）解：设的公差为，的公比为，由，，得：，即，整理得，所以或（舍），从而，

所以，；（2）解法一：，所以当为奇数时，，当为偶数时，，又，所以，所以

所以

所以；

解法二：，所以当为奇数时，，当为偶数时，，又，所以所以，所以，，所以，所以；

（ii）设的公差为，因为，所以，所以，又因为，所以，

①若，则，即时，，满足为等差数列，将此时满足条件的记作，则；②若，则，满足为等差数列，此时，，，，可以是，，，的任意一个排列，即满足条件的数列有!个，记作，，，且；③若，则，这与矛盾，所以此时不存在，即不存在数列使得是公差大于等于2的等差数列；综上所述，满足条件的的个数为个，且．20．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）当时，，所以，切点为，

则，所以，

则曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，则，

①当时，由，得，由得；得，则在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，解得不符合题意；

当时，由，得或，②当时，即时，由得或；由，得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，不符合题意；③当时，即时，恒成立，函数无极值，不符合题意；④当，即时，由，得或；由，得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则函数在处取得极小值，解得，符合题意，综上所述，.（3）因为，令，即，因为，所以等价于，令，其中，当，时，恒成立，此时无零点，当，时，，令，则，（i）若，则，由可得，由可得，所以在上单调递