山西大学附中2025-2026学年第二学期高三5月模块诊断（第十六次）数学+答案

山西大学附中

2025～2026学年第二学期高三5月模块诊断

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分命题人：武海瑞

一、选择题(本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.)

1.设集合A={1,2,3,4,5},B={xly=√x-3},则A∩B=()

A.{1,2,3}B.{3,4,5}C.{4,5}D.{1,2}

2.已知复数z=(a+1)-ai(a∈R),则a=-1是|z|=1的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知m,n是两条不同的直线，α,β,y是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是()

A.若α⊥β,m//α,则m//β

B.若α⊥β,α⊥γ,则β//Y

C.若m//α,n//α,则m//n

D.若m⊥α,m⊥β,则α//β

4.已知,则sin2α=()

D

5.已知函数f(x)的导函数是f'(x)=√1-x²,则函数f(x)的图象可能是()

A.B.

1

C.D.

6.等差数列{aₙ}的首项为1,公差不为0若a₂,a₃₃a₆成等比数列，则数列{la|}的前6项和为()

A.-24B.-3C.26D.24

7.设函数f(x)=sinwx+coswx(@>0),若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上最大值与最小

值的和为0,则@的最小值为()

A.8B.6C.5D.4

8.已知函数f(x)的定义域为R,f(3x-2)为奇函数，f(4x-1)为偶函数，且f(-1)=2,则

()

A.-2B.-1C.1D.2

二、多选题(本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适

当分组后(除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间),画出如图所示的频率分布直方图，则下列

选项正确的是()

个频率/组距

0.0060

0.0036

0.0024

0.0012

50100150200250300350月用电量/(kW.h)

A.直方图中x的值为0.0044

B.在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为70户

C.估计该小区用户月用电量的中位数不超过180kW·h

D.用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过150kW·h的人数，则E(X)=1.5

10.已知在cABC中，AB=2,AC=1,,点P为线段AD的中点，则下列结论正确的

,BD=2DC

2

有()

A.

B.

C.向量PB在向量AB上的投影向量为

D.若AM=λAB,AN=μAC,a>0,μ>0,且M,N,D三点共线，则

11.已知OC:(x+5)²+y²=64,P为⊙C上的任意一点，点A(5,0),线段AP的垂直平分线l与直线CP

相交于点Q,点Q的轨迹与x轴交于A₁,A₂两点，则()

A.点Q的轨迹方程为

B.当点Q不在x轴上时，直线QA₁与QA₂的斜率之积为

C.当

D.过点C作直线l的垂线，垂足为M(x₀,y。),则x₀+2y。的最大值为4√5

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点,则sinθ=_·

13.小李的银行卡的六位密码由1,1,2,3,4,5组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码

个数为

14.已知菱形ABCD,AB=BD=2,现将△ABD沿对角线BD向上翻折，得到三棱锥A-BCD,设点E

是AC的中点.记ceBDE的面积为S₁,三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S₂,则S₁·S₂的最小值为

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.已知数列{a,}的首项是,且

3

(1)证明数列是等比数列，并求出数列{a,}的通项公式；

求满足条件的最小整数n的值.

16.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进

行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲对乙、丙的胜率均为,乙、丙之间的胜率互为

(1)求甲连续打前四局比赛的概率；

(2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；

(3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X,求X的分布列和期望.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=3,BC=2,侧面PBC为正三角形，平面

PBC⊥平面ABCD,点E为棱PA上一点，O、G分别为BC,AD中点.

(1)求证：平面POG⊥平面BEC;

(2)若点E为PA中点，点P关于平面BCE的对称点为点Q,求平面QAB与平面PCD夹角的余弦值.

18.已知椭圆(经过点F为C的右焦点，且PF与x轴垂直.

(1)求C的标准方程；

(2)设直线1与C交于A,B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点),探究：是否存在定圆与直线1始终相

切?若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；

(3)在(2)的条件下，求cAOB面积的最大值，并求此时直线I的方程.

19.已知f(x)=eˣ+ax²+bx-1,a,b∈R

(1)当a=0时，讨论f(x)的单调性；

(2)当a=-2,b∈Z时，若Vx>0,f(x)>0恒成立，求b的最小值；

(3)已知当b=0时，存在a₀∈R,使得函数f(x)有三个零点x₁,x₂,x₃(x₁<x₂<x₃),且x₁,x₂,x₃成等

差数列，求a。的值.

4

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2025～2026学年第二学期高三5月模块诊断

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分命题人：武海瑞

一、选择题(本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.)

1.设集合A={1,2,3,4,5},B={x1y=√x-3},则A∩B=()

A.{1,2,3}B.{3,4,5}C.{4,5}D.{1,2}

【答案】B

【解析】

【详解】

B={xly=√x-3}={xlx≥3},,所以A∩B={3,4,5}

2.已知复数z=(a+1)-ai(a∈R),则a=-1是z||=1的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由|2|=1求出a即可得出.

【详解】由|2|=1,可得解得a=-1或0,

√(a+1)²+(-a²=1,

所以a=-1是z||=1的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知m,n是两条不同的直线，α,β,y是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是()

A.若α⊥β,m//α,则m//β

B.若α⊥β,α⊥γ,则β//Y

C.若m//α,n//α,则m//n

D.若m⊥α,m⊥β,则α//β

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【答案】D

【解析】

【详解】A,若α⊥β且m/lα,则m可平行于β,或者在β内，或者与β相交，错误；

B,若α⊥β,α⊥γ,则β可平行于Y,或者与Y相交，错误；

C,若m//α,n//α,则m可与n平行，或者与n相交，或者与n异面，错误；

D,若m⊥α,m⊥β,可知α,β的法向量都与m平行，也即α,β的法向量平行，可得α//β,正确.

4.已知,则sin2α=()

BC.D.

【答案】C

【解析】

【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得(sinα-cosa)²=1-sin2α,结合原式计算即可得解.

【详解】由(sinα-cosa)²=sin²α+cos²α-2sinacosα=1-sin2α,

故

,即

5.已知函数f(x)的导函数是f'(x)=√1-x²,则函数f(x)的图象可能是()

A.B.

C.D.

【答案】B

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【解析】

【分析】分析f'(x)的单调性，即可得到f(x)的单调性及变化趋势，即可判断.

【详解】由题知f'(x)≥0且不恒等于0,又y=1-x²在(0,1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，

y=√x在定义域上单调递增，

所以f'(x)在(0,1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，

即当x∈[-1,1]时，f'(x)的值由小变大，再由大变小，

即函数f(x)图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢

故选：B.

6.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a₂,a₃,a₆成等比数列，则数列{la|}的前6项和为()

A.-24B.-3C.26D.24

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比中项结合等差数列通项公式可得d=-2,an=3-2n,再结合a的正负性以及等差数列

性质运算求解.

【详解】设等差数列{an}的公差为d≠0,

因为a₂,a₃,a₆成等比数列，则a²=a₂a₆,且a₁=1,

即(1+2d)²=(1+d)(1+5d),整理可得d²+2d=0,解得d=-2或d=0(舍去),

可得aₙ=1-2(n-1)=3-2n,

令an=3-2n<0,解得n≥2,

所以数列{|a|}的前6项和为|q|+|a₂|+…+|a₆|=a₁-(a₂+…+a₆)=a₁-5a₄=1-5×(-5)=26.

7.设函数f(x)=sinwx+coswx(@>0),若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上最大值与最小

值的和为0,则の的最小值为()

A.8B.6C.5D.4

【答案】B

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【解析】

【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出の的特征，再结合最大值与最小值的和为0的条件，求出①

的最小值.

【详解】,周期为

∵f(x+π)=f(x),则π是周期，

∴@=2k,k∈N*,即の是正偶数，

当时，

已知最大值与最小值的和为0,

∴最大值与最小值互为相反数，

若w=2,区间,f(x)最大值为√2,最小值为1,和不为0;

若w=4,区间f(x)最大值为√2,最小值为-1,和不为0;

若w=6,区间f(x)最大值为√2,最小值为-√2,和为0;

∴①的最小值为6.

8.已知函数f(x)的定义域为R,f(3x-2)为奇函数，f(4x-1)为偶函数，且f(-1)=2,则

()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】先由f(3x-2)为奇函数推得f(-x-4)=-f(x),再由f(4x-1)为偶函数推得f(-x-2)=f(x),

即得4是f(x)的一个周期，通过赋值代入求得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,再由周期性即可求得答案.

【详解】因为f(3x-2)为奇函数，所以f(-3x-2)=-f(3x-2),

令t=3x-2,则f(-t-4)=-f(t),即f(-x-4)=-f(x)①;

因为f(4x-1)为偶函数，所以f(-4x-1)=f(4x-1),

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令s=4x-1,则f(-s-2)=f(s),即f(-x-2)=f(x),

所以f(-x-4)=-f(-x-2),所以f(x)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x)②,

所以f(x+4)=f(x),所以4是f(x)的一个周期.

由①式，取x=-2,可得f(-2)=-f(-2),即得f(-2)=0,

又由②式，取x=-2,可得f(0)=-f(-2)=0

故f(4)=f(0)=0,f(2)=f(2-4)=f(-2)=0,

由②式，取x=-1,可得f(1)=-f(-1)=-2,取x=1,可得f(3)=-f(1)=2,

故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-2+0+2+0=0,

二、多选题(本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适

当分组后(除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间),画出如图所示的频率分布直方图，则下列

选项正确的是()

个频率/组距

0.0060

0.0036

0.0024

0.0012

050100150200250300350月用电量/(kW.h)

A.直方图中x的值为0.0044

B.在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为70户

C.估计该小区用户月用电量的中位数不超过180kW·h

D.用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过150kW·h的人数，则E(X)=1.5

【答案】AB

【解析】

【详解】对于A,由图可得组距为50,根据频率和为1,得

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50×(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1,解得x=0.0044,故A正确；

对于B,用电量落在区间(100,250)内的频率P=50×(0.0036+0.0060+0.0044)=0.7,

由样本容量为100,得用电量落在区间(100,250)内的户数=100×0.7=70,故B正确；

对于C,由图可得第一组(50,100)的频率为50×0.0024=0.12,第二组(100,150)的频率为

50×0.0036=0.18,第三组(150,200)的频率为50×0.0060=0.30;

∵前两组的累计频率为0.12+0.18=0.3,前三组的累计频率为0.12+0.18=0.6,

∴中位数位于第三组[150,200]内；

设中位数为m,则0.3+(m-150)×0.0060=0.5,解得

∴中位数超过180kW·h,故C错误；

对于D,用电量不超过150kW·h的频率为前两组频率之和，即P=0.12+0.18=0.3;

∴用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过150kW·h的概率p=0.3.

从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过150kW·h的人数，

则X服从二项分布B(10,0.3),则E(X)=10×0.3=3≠1.5,故D错误.

10.已知在cABC中，AB=2,AC=1,,BD=2DC,点P为线段AD的中点，则下列结论正确的

有()

A.

B.

C.向量PB在向量AB上的投影向量为

D.若AM=AAB,AN=μAC,a>0,μ>0,且M,N,D三点共线，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】首先根据已知条件判断ceABC的形状，进而可判断A;通过平面向量基本定理可判断B;通过向

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量a在向量b上的投影向量公式即可判断C;通过三点共线的向量表示可判断D.

【详解】因

所以AB²=AC²+BC²,

所以cABC为直角三角形，

因为BD=2DC,所以D是BC上靠近点C的三等分点，如图：

对于A,

由勾股定理知故A错误；

对于B,由题意知

,故B正确；

对于C,由B知

所以向量PB在向量AB上的投影向量为故C正确；

对于D,因为AM=AAB,AN=μAC,a>0,μ>0,

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所以

由B知

又M,N,D三点共线，所以所以故D正确.

11.已知OC:(x+5)²+y²=64,P为⊙C上的任意一点，点A(5,0),线段AP的垂直平分线l与直线CP

相交于点Q,点Q的轨迹与x轴交于A₁,A₂两点，则()

A.点Q的轨迹方程为

B.当点Q不在x轴上时，直线QA₁与QA₂的斜率之积为

D.过点C作直线I的垂线，垂足为M(x₀,y。),则x₀+2y。的最大值为4√5

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A:借助垂直平分线性质可得|QP|=|Q4|,再利用QP|+|cQ|>10可得|Q4|-|oC|=8,即可

由双曲线定义得到点Q的轨迹方程；对B:设Q(x₁,y),可得,再表示出ko·ko₄并计算

即可得；对C:借助三角形内角和及诱导公式可,再借助B中所得结合

斜率与倾斜角的关系，利用两角和的余弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；对D:取点C关于1对

称点C',可得C'的轨迹方程，则可得CC′中点M的轨迹方程，再利用三角换元法及辅助角公式计算即可

得解.

【详解】又oC:(x+5)²+y²=64,则C(-5,0),半径r=8,

由l为线段AP的垂直平分线，故|QP|=|QA|,

又P为OC上的任意一点，故|PC|=8,

由A|C|=10,则|QP|+|CQ|=|AQ|+|CQ|>10,

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则|CQ|-QP|=8或|QP|-|CQ|=8,则|Q4|-|QC|=8,

故点Q的轨迹为以A、C为焦点，2a=8的双曲线，

由C(-5,0)、A(5,0),故c=5,则b²=c²-a²=25-16=9,

即点Q的轨迹方程为故A正确；

对B:设A₁在A₂左侧，由点Q的轨迹方程为,故A₁(-4,0)、A₂(4,0),

设Q(x₁,y₁),则有

则,故B错误；

对C:由∠AQA₂+∠QA₁A₂+∠QA₂A₁=π,故∠QA₁A₂+∠QA₂A₁=π-∠AQA₂,

由B知,又ko₁=tan∠QA₁A₂,

ko₄=tan(π-∠QA₂A₁)=-tan∠QA₂A₁,

,故C正确；

第9页/共25页

对D:取点C关于1对称点C”,则C|'A|=|CP|=8,

故点C'的轨迹方程为(x-5)²+y²=64,

由M在1上且CM⊥1,则M(x₀,y%)为CC′中点，则有

故xc=2x₀+5,yc=2y%,即有(2xo+5-5)²+(2y。)²=64,

化简得x²+y2=16,故可设x₀=4cosθ,yo=4sinθ,θ∈(0,2π),

则xo+2y。=4cosθ+8sinθ=4√5sin(θ+φ)≤4√5,其中

即x₀+2y。的最大值为4√5,故D正确.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点,则sinθ=_·

【答案】

【解析】

【分析】先根据点1P的坐标，计算其到原点的距离r=√x²+y2的值，再由正弦函数的定义

求出sinθ的值即可.

【详解】因为已知角θ终边过点IP

第10页/共25页

根据r=√x²+y²,,其中

可得

13.小李的银行卡的六位密码由1,1,2,3,4,5组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码

个数为

【答案】144

【解析】

【分析】就1,1是否相邻分类讨论并利用插空法可求不同的密码个数.

【详解】如果六位密码中1,1相邻，则先排3,4,5,

再利用插空法可得不同的密码个数为A³A²=6×12=72,

如果六位密码中1,1不相邻，则先排2,3,4,5,此时有5个空挡，

这5个空挡中有3个空挡可以插入1,1,故此时不同的密码个数为A₄C²=24×3=72,

故不同密码的个数为144.

14.已知菱形ABCD,AB=BD=2,现将△ABD沿对角线BD向上翻折，得到三棱锥A-BCD,设点E

是AC的中点.记ceBDE的面积为S₁,三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S₂,则S₁·S₂的最小值为

【答案】8π

【解析】

【分析】根据三棱锥的性质求出S₁,建立空间直角坐标系，结合外接球的性质求出S₂,再利用基本不等式

求出S₁·S₂的最小值.

【详解】已知菱形ABCD,AB=BD=2,则△ABD,△BCD均为边长为2的等边三角形，

连接AO,CO,则AO⊥BD,CO⊥BD,且AO=CO=√3,

设二面角A-BD-C的平面角为θ=∠AOC,则BD1平面AOC,

第11页/共25页

E为AC的中点，在等腰△AOC中，OE⊥AC,

由BD1平面AOC,得BD⊥OE,

以O为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

则0(0,0,0),B(-1,0,0),D(1,0,0),c(0,√3,0),4(0,√3cose,3sine),

∵E是AC中点，

设三棱锥A-BCD的外接球球心为O₁,则,解得

设外接球半径为R,则

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当且仅当时取最小值，

2√3=8π.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.已知数列{a,}的首项是,且

(1)证明数列是等比数列，并求出数列{a,}的通项公式；

求满足条件的最小整数n的值.

【答案】(1)an=3”+

(2)n=2026

【解析】

【小问1详解】

所以数列是以首项为,公比为的等比数列，

所以

第13页/共25页

可得

【小问2详解】

由(1)得为等比数列，

设数列的前n项和为Sn,

构造函数令,根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，

n为整数，所以当n=2025,,不成立，

当n=2026,,成立，

所以满足条件的最小整数n的值为2026.

16.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进

行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲对乙、丙的胜率均为,乙、丙之间的胜率互为

(1)求甲连续打前四局比赛的概率；

(2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；

(3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X,求X的分布列和期望.

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】(1)分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可；

第14页/共25页

(2)利用条件概率求解即可；

(3)先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可.

【小问1详解】

由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜，

第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为

第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为

第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为

所以甲连续打前四局比赛的概率为：

【小问2详解】

设事件A:前四局中第二局乙获胜，事件B:第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，

对于前四局中第二局乙获胜：

即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为

第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为

所以

在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空

第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为

第四局：乙、丙对打，概率为1,

所以

根据条件概率知：

【小问3详解】

由题意知得分X的可能值为：0,2,4,6,

第15页/共25页

所以X的分布列为：

X0246

P

所以得分X的数学期望为：

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=3,BC=2,侧面PBC为正三角形，平面

PBC⊥平面ABCD,点E为棱PA上一点，O、G分别为BC,AD中点.

(1)求证：平面POG⊥平面BEC;

(2)若点E为PA中点，点P关于平面BCE的对称点为点Q,求平面QAB与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】(1)利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直

的判定定理，由线面垂直推出面面垂直；

(2)方法一：建立空间直角坐标系，通过点的坐标和向量运算求出平面的法向量；利用对称条件解出对称点

坐标，最后用法向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值；方法二：通过线面平行的性质与对称关系确定点

的位置及辅助线，结合三角形全等与角度推导；将空间平面夹角转化为平面内的角度差，利用三角函数公

式求出余弦值.

【小问1详解】

∵侧面PBC为正三角形，O为BC的中点，

∴PO⊥BC,

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∵ABCD是矩形，且O、G分别为BC,AD中点，∴OG⊥BC,

∵POc面POG,OGC面POG,POnOG=0,

∴BC⊥面POG,∵BCc平面BEC,

∴平面POG⊥平面BEC.

【小问2详解】

方法一：由(1)知PO⊥BC,∵平面PBC⊥平面ABCD,

POc平面PBC,平面PBC∩平面ABCD=BC,∴PO⊥平面ABCD,OG⊥BC,

以O为坐标原点，OB,OG,OP所在直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz,

则P(0,0,√3),A(1,3,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,3,0),

BC=(-2,0,0),,PB=(1,0,-√3),

PC=(-1,0-√3),PD=(-1,3,-√3),设Q(a,b,c),

则QB=(1-a,-b,-c),PQ=(a,b,c-√3),

设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,z),则,即

取z=√3,则y=-1,x=0,所以m=(0,-1,√3),

易知点P到平面BCE的距离与点Q到平面BCE的距离相等且PQ//m,

即

即3=|b-√3c|且a=0,√3b=√3-c,

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解得b=0,c=√3(舍去)或,所以

设平面QAB的一个法向量为t=(xo,y,z₀),

则,即

取x₀=√3,y%=0,zo=-2,所以i=(√3,0,-2).

设平面PCD的一个法向量为n=(x₁,y1,z),

则即·取x₁=√3,

则y₁=0,z₁=-1,所以n=(√3,0,-1),

设平面QAB与平面PCD夹角为θ,则

故平面QAB与平面PCD夹角的余弦值为.

方法二：设平面BEC与棱PD相交于点F,

因为AD//BC,AD女面BCFE,则AD//平面BCFE,

且面BCFE∩面PAD=EF,则AD//FE,又因为E为PA中点，可得F为PD中点，

设平面BEFCn平面POG=OH,OHnPG=H,则H为PG中点，

因为P关于平面BCFE的对称点为Q,PQ的中点为M,

所以PQl面BCFE,由(1)知平面POG⊥平面BCFE,

所以PQc平面POG,又平面POGn平面BCFE=OH

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且PQ⊥OH,且PM=MQ,

在平面POG内，PO=√3,OG=BA=3,所以∠OPG=60°,

因为H为PG中点

可得△POH为正三角形，因为PM⊥OH,所以M为OH中点，

由对称性可知，△PHM≥△QHM,∠PHM=∠QHM=60°,

所以∠POH=∠QHM=60°,可得HQ//PO,且HQ=PO=√3,

设HQ交OG于点K,则K为OG中点，

则(

由PO⊥面ABCD,BC⊥CD,可得PC⊥CD,

则平面PCD与平面ABCD夹角为∠PCO=60°,

设平面QAB与平面ABCD夹角为α,同理可得

则平移可得平面QAB与平面PCD夹角为60°-α,

,即

故平面QAB与平面PCD夹角的余弦值为

18.已知椭圆C:1(a>b>0)经过点F为C的右焦点，且PF与x轴垂直.

(1)求C的标准方程；

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(2)设直线1与C交于A,B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点),探究：是否存在定圆与直线1始终相

切?若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；

(3)在(2)的条件下，求cAOB面积的最大值，并求此时直线1的方程.

【答案】(1)

(2)存在，定圆的方程为

(3),1的方程为或

【解析】

【分析】(1)先根据PF与x轴垂直求出C的值，再根据点P在椭圆上以及a²-b²=c²求解出a²,b².

(2)设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用OA⊥OB得到m,k之间的关系，再利用原点到1的距离为

定值从而确定圆的方程.

(3)根据三角形的面积公式,其中d为定值，利用弦长公式将|AB|表示成k²的函数，然

后利用换元法求解出最大值即可.

【小问1详解】

因为PF与x轴垂直，所以F(1,0),∴c=1,∴a²-b²=1

又点在椭圆上，∴,得a²=2,b²=1.

所以椭圆C的标准方程

【小问2详解】

当直线l的斜率存在时，设直线1方程为y=kx+m,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

联立得·,整理得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0.

△=(4km)²-4(1+2k²)(2m²-2)=8(2k²-m²+1)>0,即2k²+1>m².

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∵OA⊥OB,二OA·OB=x₁x₂+y₁V₂=0,即整理得3m²=2k²+2.

原点O到直线l的距离

故距离d为定值,所以存在定圆与直线l相切.

当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m,A(m,y₁),B(m,y₂).

则m²≥2,

,得,即直线l的方程为

此时直线1与圆相切，符合题意.

综上，存在定圆与直线l相切，定圆的方程为

【小问3详解】

由三角形面积公式得