浙江省台州市2026届高三数学第二次教学质量评估试题含解析

台州市2026届高三第二次教学质量评估试题

数学

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所

有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知为等比数列，，，则（）

A.8B.12C.16D.17

【答案】A

【解析】

【详解】由等比中项的性质知，

若该数列的公比为，则，显然，

所以.

2.已知为第二象限角，且，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【详解】由为第二象限角，知，

而，故.

3.设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（）

A.B.

C.若，则D.若，则

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【答案】D

【解析】

【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立；

对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立；

对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立；

对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互

斥，

由概率的加法公式，因此，只有当，即

时，才成立，故不一定成立.

4.已知实数，，若，，则（）

A.B.C.D.1

【答案】C

【解析】

【详解】，故，，

，故，所以，

因为，所以，，

所以.

5.已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（）

A.体积为B.表面积为

C.两条母线的夹角的最大值为D.过顶点的截面面积的最大值为2

【答案】D

【解析】

【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判

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断CD的正误.

【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误；

对于B，圆锥的母线长为，

故圆锥的表面积为，故B错误；

对于C，设圆锥轴截面顶角为，则，

而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误；

对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为

而，故当，，故D正确.

6.已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为

，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（）

A.为定值B.为定值C.为定值D.为定值

【答案】C

【解析】

【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即

可判断.

【详解】因为点是抛物线上异于的动点，

故设（），

则，，

对于选项A，，不是定值，A错误；

对于选项B，，不是定值，B错误；

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对于选项C，，为定值，C正确；

对于选项D，，不是定值，D错误.

7.设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为

，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（）

A.B.C.D.为纯虚数

【答案】B

【解析】

【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，

故C错误；

又，故为实数，故A,D错误，

又，则方程的根为，

即，

，

由得，，

故，故B正确.

8.已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为

数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【解析】

【分析】时，分数列仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出；同理求出即可．

【详解】解：时，把数列的5项依次排列，

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数列只有一个1时，时，共3种，同理也有3种；

时，共2种，同理也有2种；

时，共1种；

数列仅有两个1时，共4种；

数列仅有三个1时，共1种，

综上，；

时，

数列只有一个2时，时，共3种，同理也有3种；

时，共4种，同理也有4种；

时，一种；

数列仅有两个2时，时，共2种，

同理时也有2种；

时，共8种；

时，共1种；

数列仅有三个2时，共4种，

综上，

．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数，则（）

A.的最小正周期为B.

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C.的值域为D.是图象的一个对称中心

【答案】BC

【解析】

【分析】由最小正周期的公式计算判断选项A；计算函数值判断选项B；计算正弦型函数的值域判断选项C；

代入检验函数的对称中心判断选项D.

【详解】函数，最小正周期为，A选项错误；

，，B选项正确；

，，所以的值域为，C选项正确；

时，，又，

则是图象的一个对称中心，D选项错误.

10.设，为常数，则（

）

A.B.

C.D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、

B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D.

【详解】由，

对于，展开式通项为，，

对于，展开式通项为，，

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所以，A对，

，B对，

令，则，

令，则，

所以，则，C错，

，D对.

11.已知正四面体的棱长为4，顶点在平面的同侧，点，顶点到平面的

距离分别为1，2，直线与平面交于点，则（）

A.直线与平面所成角为B.平面与平面所成角为

C.D.点到平面的距离为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，根据线面角的定义可求其正弦值，故可判断其正误，对于B，求出的面积，

进而求出面面角的余弦值判断其正误，对于C，利用空间垂直关系的转化可判断其正误，对于D，利用向量

法可求点到平面的距离，从而可判断其正误.

【详解】

设在平面内的射影为，在平面内的射影为，连接，

则，

对于A，因为，所以为直线与平面所成的角，

而，而为锐角，故，故A正确；

对于B，因为，故，故四边形为梯形，

而，，故，故四边形为直角梯形，

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同理

而，故.

在中，，

故，

而，设平面与平面所成角为，

则，故平面与平面所成角不为，故B错误；

对于C，由题设平面，而，故平面平面，

故三点共线，而，故为的中点，

故，故，

连接，则，而，，故，

而平面，故平面，而平面，

故，故C正确；

对于D，由C的分析可得，故.

由可得为的中点，故，

连接，则，故.

过作平面的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，故，

设，则，

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故，消元可得，故，

故D正确.

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面向量，，，若，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.

【详解】，，即，

，

，当时，取得最小值.

13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标

原点，，，则双曲线C的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】先根据双曲线的定义求出，然后利用余弦定理分别表示出及，再根据两

个角的关系列出方程求出，即可求出双曲线的离心率.

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【详解】

因为，所以，

所以，即.

因为，，所以

在中，由余弦定理可得，

在中，由余弦定理可得.

因为，所以，

即，解得，所以.

所以.

14.已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随

机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑

球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中

的白球个数为，则的数学期望为_______.

【答案】##

【解析】

【详解】由题设可取，

又，，

，

故.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的周长.

【答案】（1）

（2）.

【解析】

【小问1详解】

已知，

由正弦边角关系得，化简得，

应用辅助角公式可得，而，所以.

【小问2详解】

由余弦定理，得，解得，

所以，故的周长为.

16.如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，

，，点为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

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（2）.

【解析】

【分析】（1）利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系求出相应的向量坐标，再求出两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出

余弦值，进而求得正弦值.

【小问1详解】

证明：连接交于点，如图所示：

由是正方形得为的中点，

因为为的中点，所以为的中位线，

于是，又因为平面，平面，

所以平面.

【小问2详解】

由已知，平面，，

所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

因为，

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所以，

因为点为棱的中点，所以，

设平面的一个法向量为，

又，

则，即，

令，则，则，

设平面的一个法向量为，

又，

则，即，

令，则，

记平面与平面的夹角的大小为，则：

，

由图可知平面与平面的夹角为锐角，

故.

17.2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：

年份（x）201620172018201920202021202220232024

GDP/万亿元

74.6483.2091.9398.65101.36114.92120.47129.43

134.91（y）

由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：

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，，.

（1）证明：；

（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：

从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.）

附：一元线性回归方程，其中.

【答案】（1）证明见解析

（2）；3.07（万亿元）

【解析】

【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数的计算公式变形即可得证；

（2）由条件求出，即可得一元线性回归方程，将代入回归方程求出预测值，预测值与实际

值差的绝对值即为误差.

【小问1详解】

左边

=右边，故等式成立；

【小问2详解】

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设一元线性回归方程为，

则，

将代入回归方程可得，解得，

所以一元线性回归方程为.

当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元，

而2025年GDP的实际值为140.19万亿元，

故误差为（万亿元）.

18.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C

上位于第四象限内的任意一点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，

（ⅰ）求切线，的方程：

（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

【答案】（1）

（2）（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°.

【解析】

【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；

（2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可

得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标

运算求得，即可得.

【小问1详解】

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由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为.

【小问2详解】

（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立，

消去y并整理得，

由，即，解得，.

所以切线方程分别为，.

（ⅱ）设且，则且，联立，

所以，则，

由相切关系知，则，

所以，则，

由，则，

所以，则，得，

所以，即，

由，联立直线得，则，

由，联立直线得，，则，

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因为，，，

所以，即，

故为定值，且定值为90°.

19.已知，函数.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）证明：当时，对任意，，都有；

（3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）

（2）证明见解析（3）

【解析】

【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得；

（2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明；

（3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，

即可得.

【小问1详解】

由，得.

令，解得，，

当时，；当时，；

当时，.

所以在、上单调递增，在上单调递减，

因此，的极小值为；

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【小问2详解】

当时，，其中时取等号，

所以为增函数，

对任意的，，不妨设，则，

又，

所以为增函数，得，即，

故；

【小问3详解】

由题意，不妨设