安徽省合肥市六校联盟2026届高三数学上学期第一次教学质量监测试题含解析

合肥市2025-2026学年高三数学上学期第一次数学教学质量监测试卷

一、单选题

∣*ð

1．已知集合UxNx5,M{1,2}，则UM（）

A．{3,4}B．{0,3,4}C．{3,4,5}D．{0,3,4,5}

2．已知zz4，zz2i，则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．已知向量a1,1,b,1,abb3a且0，求b（）

A．2B．5C．10D．210

6

4．在x2xy的展开式中，x7y的系数为（）

A．3B．6C．60D．30

3

5．已知cos()cos()，则tan（）

326

A．3B．3C．53D．53

9293

6．2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15

亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫

寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧

面与底面夹角为45，则六棱锥的体积为（）

33323

A．h3B．h3C．h3D．23h3

223

7．已知直线l:xcosysin10R，圆C:(x3)2(y4)24，过l上一点P作C的两条切线，切点

分别为M,N，使四边形PMCN的面积为82的点P有且仅有一个，则此时直线MN的方程为（）

A．3x4y200B．9x12y650

C．11x17y810D．19x23y1290

lnln2.303ln2.303

8．已知a2.303ln2.303，belnsin2.303，cln1cos2.303，则a，b，c的大小关系为（）

A．acbB．bcaC．bacD．cba

二、多选题

9．已知a0,b0，函数fxasinxbcosx，则下列结论一定正确的是（）

A．fx的图象关于y轴对称

B．fx的最小正周期为π

C．fx的最大值为a2b2

π

D．fx在0,上的最小值为a

2

1

10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，gxfx，g(x1)是奇函数，且f()1，则下列说法中正

2

确的有（）

A．g(x)为偶函数B．f(2x)f(x)

513

C．f()1D．g()g()0

222

11．已知数列an，其前n项和为Sn，数列bn，其前n项和为Tn，则下列说法正确的是（）

Sn

A．若an为等差数列，则数列也是等差数列

n

B．若bn12bn，则数列bn为等比数列

C．若an3n16，则n5时Sn取到最小值

2

D．若b为等比数列，且T23nm，则m

nn3

三、填空题

12．某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续

值班2天，共有种不同的安排方法．

13．过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线

同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数y2xx2与函数y1ex1的“公法

线”方程为．

1,1,,1

14．已知aii1,2,,n随机取1或1，构成数列an为初始数列，当an不为常数列时，对数列an

n个1

进行如下操作：①统计an中-1的个数，记为k；②把ak改为ak，其余项不变，得到新数列；③若新数列

1,1,,1

为常数列，停止操作，记录操作次数x，否则将an替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初

n个1

k1

始数列an，必在有限次操作后停止．如：n2，对初始数列1，1，操作过程为1，11，

k2k1

11，11，1；x3．当n3时，对所有可能的初始数列an，对应操作次数的和为．

四、解答题

15．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40

岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将

检测结果制成如下2×2列联表：

健康状况

性别合计

不感冒感冒

男121830

女62430

合计184260

(1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记

参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望EX；

(2)依据小概率值0.01的2独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中

所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论

还一样吗？请解释原因．

2

nadbc

附录：2，其中nabcd．

abcdacbd

0.10.050.0250.010.001

x2.7063.8415.0246.63510.828

16．在矩形ABCD中，E,F为CD上两个不同的三等分点，如图1．将△AFD和BEC分别沿AF,BE向上

83

翻折，使得点C,D重合，记重合后的点为P，如图2．已知AB6，四棱锥PABEF的体积为．

3

(1)求AD；

(2)求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．

k2

17．已知函数fx2lnx1xkx1x0.

2

(1)当k0时，证明：fx0；

(2)若fx存在极大值，且极大值大于0，求k的取值范围.

18．抛物线C:x24y，F为C的焦点，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点.

(1)若点N的纵坐标为2，求证：直线AB恒过定点；

(2)若|AB|＝2，求ΔABN面积的最大值;

(3)证明：|FA|·|FB|=|FN|2.

22

19．已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，点1,在椭圆E上.

22

(1)求E的方程;

1

(2)过点T,0且斜率存在的两条直线l1,l2互相垂直，直线l1交E于A,B两点，直线l2交E于C,D两点，

2n

*

M,N分别为弦AB和CD的中点，直线MN交x轴于点Qqn,0，其中nN.

①求qn；

22

②设椭圆E的上顶点为P，记PTQ的面积为Sn，令anln9Sn,bn1bnbn,b11，求证:

23n1

1.

2b1a13b2a2n1bnan

参考答案

题号12345678910

答案AACCACBCACACD

题号11

答案AC

1．A

ð

【详解】U1,2,3,4,M{1,2}，故UM{3,4}.

故选：A

2．A

【详解】设复数zabi,a,bR，则共轭复数zabi，

因为zz4,zz2i，

列出方程组为：

abiabi2a4

abiabi2bi2i

求解该方程组得：a2,b1.

所以复数z2i.

在复平面内对应点坐标为2,1，横坐标20，纵坐标10，

所以该点在第一象限.

故选：A.

3．C

【详解】因为a1,1,b,1，所以ab1,0，b3a3,4，

由abb3a得，abb3a0，

则有130，解得3或1，

因为0，所以3，即b321210.

故选：C

4．C

6r

【详解】根据二项式定理，可得26展开式的通项为r2r（r0,1,2,,6）.

[(xx)y]Tr1C6xxy

要求x7y的系数，则y的次数r1，此时(x2x)6r(x2x)5.

5m

同样根据二项式定理，25展开式的通项为m2mm102mmm10m（）.

(xx)Tm1C5xxC5xxC5xm0,1,2,,5

要得到x7，则令10m7，解得m3.

713

当r1，m3时，xy的系数为C6C561060.

在(x2xy)6的展开式中，x7y的系数为60.

故选：C.

5．A

33

【详解】因为coscos，所以coscos，

3262626

33

即sincos，所以tan，

62662

tantan

663

则tantan.

669

1tantan

66

故选：A.

6．C

【详解】

如图取CD的中点G，连接OG、SG，因为SABCDEF为正六棱锥，

所以SGCD，OGCD，

所以SGO为侧面SCD与底面ABCDEF的夹角，所以SGO45，

又SO底面ABCDEF，OG底面ABCDEF，所以SOOG，

所以SOOGh，又底面ABCDEF为正六边形，所以△COD为等边三角形，

323

所以DGOGtan30h，则CD2DGh，

33

1233

所以Shhh2，

COD233

所以2，

SABCDEF6SCOD23h

123

所以六棱锥的体积为VShh3.

3ABCDEF3

故选：C

7．B

1

【详解】如图，S22PM82，解得PM42，

PMCN2

22

所以PCPMCM3246，

因这样的点P有且仅有一个，由图知此时CPl，

则圆心C3,4到直线l:xcosysin10的距离为6，

3cos4sin134

即6，化简得5sin16，其中sin,cos，

cos2sin255

π

sin1，则2kπkZ，

2

34

coscos,sinsin，

2525

344

所以l:xy10，即3x4y50，则直线CP的斜率为，

553

4

所以直线CP:y4x3，即4x3y0，

3

3

x

4x3y0534

联立，解得，即P,，

3x4y50455

y

5

68

因PC的中点坐标为,，且PC6，

55

22

68

则以PC为直径的圆的方程为xy9，

55

整理得5x25y212x16y250，

易知直线MN是圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在直线，

将两圆的方程相减得9x12y650，

故直线MN的方程为9x12y650.

故选：B.

8．C

lnln2.303

【详解】ln2.303ln2.303lnln2.303，

ln2.303

lnln2.303ln2.303lnln2.303，

ln2.303

2.303lnln2.303ln2.303，则a0，

π

又belnsin2.3030，cln1cos2.303ln1cosln10，

2

bac.

故选：C.

9．AC

【详解】对于A，fxasinxbcosxasinxbcosxfx，故A正确；

对于B，当ab时，fxasinxcosx,

ππππ

此时fxasinxcosxacosxsinxfx,函数fx的最小正周期是，故B

2222

错误；

22

对于C，fxabsinx，由正弦函数的值域可得最大值为a2b2，故C正确；

π

对于D，当x0,时，sinx0,cosx0，

2

所以fxasinxbcosx，

π

当x0时，fxb，当x时，fxa，由于不确定a,b的大小，所以最小值为a不正确，故D错误；

2

故选：AC

10．ACD

【详解】由于fx是定义在R上的奇函数，所以fxfx，

则fxfx，即gxgx，故A正确；

因为gx1是奇函数，所以gx1gx1，即gxg2x，

所以fxf2x，则fxf2xc，令x1，所以c0，

所以fxf2x，即fx的图象关于直线x1对称，

则fxf2xfx，故B错误；

511

ff2f1，故C正确；

222

113

ggg，故D正确.

222

故选：ACD

11．AC

nn1dd2d

【详解】因为an为等差数列，所以前n项和Snna1na1n，

222

d2d

na1n

所以Sn22dd，

na1

nn22

Sn1Snddddd

所以n1a1na1，

n1n22222

S

所以数列n是等差数列，故A正确；

n

因为bn12bn，若b10，则所有项都为0，

所以数列bn不是等比数列，故B错误；

因为an3n16，所以an1an3n133n163，

所以an为等差数列，首项为13，公差为3，

n133n163n229n29

所以S，此二次函数开口向上，对称轴为，

n226

因为nN，所以当n5时，Sn取到最小值，故C正确；

nq

因为bn为等比数列，且Tn23m，故公比不为1，

nn

a11qaaq

所以T1123nm，

n1q1q1q

a1

m

1q

所以，所以m2，故D错误.

a

12

1q

故选：AC.

12．1280

【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以

有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，

有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法.

所以，总共有544441280种不同的安排方法.

故答案为：1280.

13．xy10

【详解】对于函数y2xx2，有2xx20，可得x22x0，解得0x2，

故函数y2xx2的定义域为0,2，

1-x2

2¢2x-x

由y2xx求得，y=，则法线斜率为-，

2x-x21-x

2

22a-a

则y2xx2在点a,2aa0a2处的法线方程为y-2a-a2=-(x-a)，

1-a

2aa22aa2

即yx，

1a1a

1

由y1ex1求导得yex1，则法线斜率为-，

ex+1

++1

则y1ex1在(b,1+eb1)处的法线方程为y-(1+eb1)=-(x-b)，

eb+1

1b

即yx1eb1，

eb1eb1

2aa21

1aeb1

由“公法线”得，，

2aa2b

b1

b11e

1ae

b1

这两个等式相加得b1，即2b1b1，

b11e0eeb10

e

令hxe2x1ex1x1，则hx2e2x1ex110，

故函数hx在R上为增函数，

又因为h10，所以函数hx有且只有唯一的零点x1，

2aa21

1aeb122

解方程组，可得a1或a1，b1，

2aa2b22

b1

b11e

1ae

2aa222

又因为0，故0a1，故a1要舍去，即a1，b1，

1a22

所以“公法线”方程为xy10，

故答案为：xy10.

14．24

【详解】当n3时，按1的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况：

初始数列1,1,1k31,1,1k21,1,1k11,1,1，x3；

初始数列1,1,1k21,1,1k11,1,1，x2；

初始数列1,1,1k21,1,11,1,1，x4；

初始数列1,1,1k21,1,1k11,1,1k21,1,11,1,1，x6；

初始数列1,1,1k11,1,1，x1；

初始数列1,1,1k11,1,1k21,1,1k11,1,1，x3；

初始数列1,1,1k11,1,1k21,1,11,1,1，x5；

所以所求操作次数的和为324613524.

故答案为：24

8

15．(1)分布列见解析，EX

3

(2)答案见解析

【详解】（1）样本中不感冒的男性有12人，女性有6人，比例为2:1，

21

按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，则抽取男性96人，女性93人，

33

所以随机变量X的所有取值为1,2,3,4.

C1C31C2C25C3C110

636363

则PX14，PX24，PX34，

C921C914C921

C45

6

PX44，

C942

所以X的分布列为

X1234

15105

P

21142142

151058

所以EX1234.

211421423

（2）提出统计假设H0：3040岁人群的体质健康与性别无关.

60(1224618)220

根据列联表中的数据，经计算得到22.857，

184230307

因为2.8576.635，假设H0成立，

所以依据小概率值0.01的2独立性检验，不能据此推断3040岁人群的体质健康与性别有关.

如果把所有数据都扩大10倍后，

600(12024060180)2200

228.57，28.576.635，

1804203003007

所以依据小概率值0.01的2独立性检验，能据此推断3040岁人群的体质健康与性别有关.

与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推

断结论发生了变化.

16．(1)AD4

(2)39

8

【详解】（1）取AB,EF的中点分别为G,H，连接PH,HG,PG，

过点P作PMHG，垂足为M，

设ADa，则HGa，

1

PEF为等边三角形，EHEF1,PH3，

2

在PAB中，PAPBa,PGa29，

PH2HG2PG223a212

在△PGH中，cosPHG,sinPHG，

2PHHGaa

3a212

PMPHsinPHG，

a

EFABHG

又梯形ABEF的面积S4a，

2

113a21243a21283

所以四棱锥PABEF的体积为SPM4a，

33a33

解得a4（a4舍去），即AD4；

335

（2）由（1）可得HGAD4,PM,HM,GM．

222

以M为坐标原点，MG,MP所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

55333

则A,3,0,B,3,0,E,1,0,F,1,0,P0,0,，

22222

5353

所以AF4,2,0,BE4,2,0,AP,3,,BP,3,．．

2222

nAF4x2y0,

11

设平面的法向量为，则

PAFnx1,y1,z153

nAPx3yz0,

21121

取，得．

x13n3,23,7

mBE4x2y0,

22

设平面的法向量为，则

PBEmx2,y2,z253

mBPx3yz0,

22222

取，得．

x23m3,23,7

mn31249539

所以cosm,n，sinm,n，

mn312493124988

39

所以平面PAF与平面PBE所成角的正弦值为．

8

17．(1)证明见解析

(2)k2,0

2221x1x

【详解】（1）k0时，fx2lnxx1，fx2x，

xx

0x1时，f′x0；x1时，f′x0，

所以fx在区间0,1上单调递增，1,上单调递减，

所以fxf10.

22

（2）fxk2xkx1k2，

xx

k2时，f′x0，fx在0,上单调递增，无极值；

22

k2时，0x时，f′x0；

x时，f′x0，

k2k2

22

所以fx在区间0,上单调递增，,上单调递减，

k2k2

22k22

所以fx的极大值为f2ln2ln1，

k2k2k2k2k2

2

令gx2lnxx1x0，则gx10，

x

2

所以gx在区间0,上单调递增，由已知gg1，

k2

2

所以1，解得k0，

k2

综上，k2,0.

18．(1)证明见解析

(2)1

2

(3)证明见解析

【详解】（1）设Ax1,y1,Bx2,y2，Nx0,y0，

1211

由yx得y'x，则直线NA的方程为yy1x1(xx1)，

422

即2yy1x1x4y1，即x1x2yy1，

同理，直线NB的方程为x2x2yy2

又直线NA与直线NB都过Nx0,y0，

则x1x02y0y1，x2x02y0y2，

从而Ax1,y1,Bx2,y2均在直线x0x2y0y上，

故直线AB的方程为x0x2y0y，又y02，

故直线AB的方程为2y2xx00，

故直线AB过定点0,2；

xx2yy

（2）联立00，得2，

2x2x0x4y00

x4y

2

4x016y00，则x1x22x0,x1x24y0，

22

则x0x0222，

AB1x1x21x1x24x1x2x04x04y02

44

4

2

于是，x04y02，

x04

22

x02y02y0x04y0

又点N到直线AB的距离d，

22

x04x04

2

11x04y041

SABNABd2

所以23(当x00时取等号).

2222

x04（）2

x04

1

则ABN面积的最大值为；

2

（3）由题意知直线斜率存在，且P(0,1).

设直线方程为，

ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2)

x24y

由，得x24kx40，

ykx1

2

16k160x1x24k，x1x24.

11

对yx2求导，y'x，

42

111

所以kkxx(4)1，

NANB21224

NANB，

1

直线NA的方程为yy1x1(xx1)，

2

11

又yx2，直线NA的方程为yxxy，

141211

1

同理可得直线NB的方程为yxxy.

222