2026届天津市南开中学高三下学期第四次月考数学模拟试卷（含答案）

2/22026届高三数学学科第四次月考本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题纸交回．祝各位考生考试顺利！第I卷(共45分)一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，全集，则图中阴影部分所表示的集合为（

）

A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C．D．4．具有相关关系的变量与的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则下列选项错误的是（

）12345161211106A．B．与具有负相关关系C．当时，的预测值为0D．去掉其中某对样本数据，与的样本相关系数可能不变5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．若，则（

）A． B．C． D．7．若数列满足，且则的前2025项的和为（）A．1350 B．1352 C．2025 D．20268．已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：

①在区间上单调递减②的图象可由的图象向左平移个单位得到③的对称轴为④在区间上的最小值为以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．49．已知双曲线：的一条渐近线与抛物线：的准线相交于点，点的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和．若过点的直线交的左支于，两点，且（为坐标原点），记点到直线的距离为，则（

）A． B． C． D．第II卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题５分，共30分．10．若复数，则.11．的展开式中，的系数为30，则a的值为．12．已知圆内有一点、经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为．13．某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则．14．在梯形中，，，，记，，用和表示；若点为上一动点，则的最大值为．15．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，．若在区间上，关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．（17）（本小题满分15分）如图，已知平面，为矩形，，M，N分别为线段，的中点.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.(3)若Q是线段的中点，求点Q到平面的距离.（18）（本小题满分15分）椭圆的左、右焦点分别为和，左顶点为，下顶点为.(1)求椭圆的离心率；(2)已知过的直线与椭圆交于两点，若在直线上存在一点，使得为面积是的等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程.（19）（本小题满分15分）已知公差不为零的等差数列的前项和为成等比数列，.(1)求数列的通项公式及；(2)设，求的最小值，并求取得最小值时的值；(3)设其中，求.（20）（本小题满分16分）已知函数．(1)令，讨论的单调性并求极值；(2)令，若有两个零点；（i）求a的取值范围：（ii）若方程有两个实根，，，证明：．《第四次月考》参考答案题号123456789答案CAACCABCC10．11．612．13．3014．15．16．【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，即，解得（负舍）；则.（2）法一：因为为三角形内角，所以，再根据正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因为，则（3）法一：因为，且，所以，由（2）法一知，因为，则，所以，则，.法二：，则，因为为三角形内角，所以，所以17．【详解】（1）取的中点，连接，，因为为的中点，所以，，因为为的中点，所以，因为四边形为矩形，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为平面，，平面，所以，，因为，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值.（3）依题意可知，所以，设到平面的距离为d，则.18．【详解】（1）依题意，且，所以，又，所以，整理得.（2）由（1）有，故椭圆方程可写成.①当直线斜率不存在时，直线为，显然不成立；②当直线斜率存在时，设直线为，设直线与椭圆交于不同的两点中点为，由方程组整理得由已知可得，所以，且，①，②，①②式代入，整理得，满足，即，代入①式，求得，故椭圆方程为，直线方程为或.19．【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，故数列的通项公式，.（2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立，，当时，；当时，，所以当时，A取得最小值.（3）当时，，当时，，可知数列是等差数列，，.20．【详解】（1）因为，所以，则，在区间；在区间，所以单调递减区间为（0，2），单调递增区间为，极小值为，无极大值．（2）（i）有两个零点．因为，①当时，，单调递增，不可能有两个零点；②当时，令，得，单调递减；令，得，单调递增，所以要使有两个零点，即使，，得，又因为，，所以在（l，e）上存在唯一一个零点，且，由（1）可知，，所以，即有，即，所以在上存也唯