2026年“星梦杯”普通高校招生统一模拟考试数学试卷

2026年普通高校招生“星梦杯”统一模拟考试数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分析，则应抽取中层海域的样本数为（）A.50 B.100 C.200 D.2503.已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，且经过点，则的离心率为（）A. B. C. D.4.从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为偶数，则这两个数为一奇一偶的概率为（）A. B. C. D.5.过点作圆的两条切线，这两条切线与直线分别交于B，C两点，则的外接圆半径为（）A. B.4 C. D.6.已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（）A. B. C. D.7.定义声强级公式，两个声源的声强级满足，且均为正数，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.记不超过x的最大整数为（如，），若函数与在上恰好有722个解，则a的最小值为（）A.1440 B.1441 C.1445 D.1446二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，记，，则（）A.与可以作为该平面内所有向量的一组基底B.向量与共线C.若A为直角，则D.若点E满足，则10.已知数列的前n项和为，且，，则（）A. B.C. D.数列是递增数列11.对于棱长为1的正方体，点P为其表面上的一个动点，则（）A.三棱锥体积的最大值为B.该正方体内能同时放入半径为和的两个无重叠的小球C.该正方体内能整体放入一个体积为的圆锥D.该正方体任意两个顶点与点P所成截面周长的最大值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______．13.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______．14.已知定义在上的曲线存在四个不同的点共圆，则的取值范围为_______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求A；（2）若，，求的面积．16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，分别为，的中点，点的投影落在上，且．（1）证明：平面；（2）若点到平面的距离为，求二面角的正弦值．17.已知点，平面内一动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）若存在直线与点的轨迹交于两点，点为线段的中点，且直线与点处的切线平行．①证明：三点共线；②若直线与直线分别交于两点，比较与的大小关系，并说明理由．18.已知函数．（1）求在处的切线方程（用a表示）；（2）当时，讨论的零点个数；（3）若，证明：当且时，．19.在平面直角坐标系中，定义集合，且当时，向量与的夹角为．（1）当时，从集合中随机选取3个不同的向量，记两两之间夹角为的向量对的数量为随机变量．求的分布列与数学期望；（2）对，记的面积为，得到个区域．某景区利用向量集设计了一个闯关游戏：工作人员从个区域中随机选定2个区域作为中奖区域，参赛者将小球分别放入3个不同的区域