《圆的一般方程》课件

2.4.2圆的一般方程第二章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解圆的一般方程及其特点.(数学抽象)2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.(数学运算)3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.(逻辑推理)课前篇自主预习[激趣诱思]我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数),请问你能写出一个它分别表示①直线;②圆;③y关于x的二次函数的必要条件吗?[知识点拨]一、圆的一般方程

名师点析

1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点

;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.3.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).微思考二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?提示

(1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.微练习1圆x2+y2-4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为(

)A.1,(-2,1) B.2,(-2,1)C.2,(2,-1) D.1,(2,-1)解析

x2+y2-4x+2y+4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=1,所以半径和圆心坐标分别为1,(2,-1).答案

D微练习2圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(

)A.8π B.4π C.2π D.π解析

原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,∴半径r=,∴圆的面积为S=πr2=2π.答案

C二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题2.点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.微判断(1)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.(

)(2)圆的方程中可能含有xy这样的项.(

)(3)2x2+2y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆的方程的条件为D2+E2-4F>0.(

)(4)若圆过原点,则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常数项肯定为0.(

)答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√课堂篇探究学习探究一圆的一般方程初步理解例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.反思感悟

形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.解析

(1)因为x2+y2-x+y+m=0表示圆,则1+1-4m>0,所以m<.(2)∵圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0,∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,当m=1时,r2取得最小值.从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值.答案

(1)A

(2)D探究二求圆的一般方程例2已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.解

(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.延伸探究

1若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?延伸探究

2将本例改为“已知圆Q过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点,点M,N在圆Q上,试求△QMN面积的最大值”.解

由例2(1)的结论可知,圆Q的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,即(x-4)2+(y-1)2=5.反思感悟

应用待定系数法求圆的方程时的注意点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标、半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.变式训练2(1)圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是

.

(2)已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.(方法2

几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线的方程为x-y-1=0,∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上,设其坐标为(a,a-1).探究三求动点的轨迹方程例3已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.思路分析设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.解

设另一端点C的坐标为(x,y).又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,且点B,C不能为一直径的两端点,故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去(3,5)和(5,-1)两点),即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.要点笔记求动点的轨迹方程的常用方法(1)直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;(2)代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.延伸探究

求本例中线段AC中点M的轨迹方程.解

设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(除去(3,5)和(5,-1)两点)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,变式训练3如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.解

设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点,所以于是有x0=8-x,y0=6-y.①因为点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动,所以点A的坐标满足方程x2+y2+2x-3=0,即(x0+1)2+=4,②把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理,得(x-9)2+(y-6)2=4.所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.

素养形成求轨迹方程的三种常用方法求轨迹方程是解析几何中的常见问题,求轨迹方程主要用下面三种常见方法.1.直接法典例1两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.【规范答题】解

以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4点评本题的解法中,设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称为直接法.2.相关点法典例2已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.【规范答题】

点评相关点法解决以下类型的轨迹:动点M随点A的变化而变化,而点A在某条曲线上变化,这时,设M(x,y),A(x0,y0),用x,y表示x0,y0,把x0,y0的表达式代入已知曲线的方程中,即得动点M(x,y)的轨迹方程.3.参数法典例3已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为

的线段AB在直线l上移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得

,将其代入①式,整理,得x2-y2+2x-2y+8=0,③当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.点评当动点的变化是由某个量的变化决定的,可以设这个量为参数,用参数表示动点坐标,消去参数,就能得到动点轨迹方程.这种方法就是参数法.

当堂检测1.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是(

)A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0解析

圆心坐标为(1,-3),检验知2x+y+1=0过圆心(1,-3).答案

B2.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(

)A.x+y-3=0 B.x-y-3=0C.2x-y