4.3.1等比数列的概念 (1) A基础练（解析版）

4.3.1等比数列的概念(1)-A基础练一、选择题1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（）①数列1，2，6，18，…；②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.2．与的等比中项是（）A．1 B． C．2 D．或1【答案】D【详解】由题意可设与的等比中项是，则，解得或.故选：D.3．已知中，，，则数列的通项公式是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解:因为中，，,所以数列是首项为,公比的等比数列,设通项公式为:,所以.故选:C4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则（）A． B．C． D．或【答案】C【详解】由题知，因为为等差数列，所以，又，则，从而.故选：C．5．（多选题）下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（）．A．（为常数） B．（为常数）C． D．【答案】ABD【详解】解：对于A.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C.根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D.当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；故选：ABD.6．（多选题）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A． B． C． D．当时，【答案】ABC【详解】由题意，设数列的公比为，因为，得，当时，，此时，当时，，故不正确的是ABC.故选：ABC.二、填空题7．在等比数列中，，公比，则.【答案】【详解】由题知.8．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则.【答案】【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，且.9．已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)【答案】，，（答案不唯一）【详解】因为数列的通项公式为，所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……，显然，所以，，能构成等比数列.故答案为：，，10．已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则等于．【答案】【详解】由题意，，，∴．三、解答题11．已知正项等比数列，首项，且成等差数列，求数列的通项公式.【详解】解：设等比数列的公比为q，由题意得：，即，即，所以或（舍），所以．12．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式及前n项和；（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，；（2），，则公比为，.A级必备知识基础练1.[探究点一]在等比数列{an}中,a3=1,a7=3,则a15的值为()A.9 B.27 C.81 D.2432.[探究点一·2023福建福州月考]在数列{an}中,an+1=-2an,且a2=1,则an=()A.2n-2 B.(-2)n-2 C.2n-1 D.(-2)n-13.[探究点三·2023广东佛山月考](多选题)已知函数f(x)=lgx,则下列说法正确的是()A.f(2),f(10),f(5)成等差数列B.f(2),f(4),f(8)成等差数列C.f(2),f(4),f(16)成等比数列D.f(2),f(12),f(72)成等比数列4.[探究点三](多选题)设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{an2};③{2an};④{log2|an|}A.① B.② C.③ D.④5.[探究点二]在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.

6.[探究点一]在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=.

7.[探究点二]在等比数列{an}中,若a1=18,公比q=2,则a4与a8的等比中项是.8.[探究点四]已知数列{an}满足a1=32,且an+1=λan+1(n∈N*,λ∈R且λ≠-23).求使数列{an+1}是等比数列的λ9.[探究点四]已知在数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*).(1)求证:数列{an+n2(2)求数列{an}的通项公式.B级关键能力提升练10.已知数列{an}是等比数列,则方程组a1x+A.唯一解 B.无解C.无数多组解 D.不能确定11.数列{an}中,a1=12,am+n=aman(∀m,n∈N*),则a6=(A.116 B.132 C.164 12.在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+1-2an=0,则2a1+aA.14 B.13 C.12 13.(多选题)已知{an}为等比数列,下列结论正确的是()A.若a3=-2,则a22+B.a32+C.若a3=a5,则a1=a2 D.若a5>a3,则a7>a514.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它后两项的和,则它的公比q=.

15.若数列a1,a2a1,a3a2,…,ana16.已知数列{an}满足a1=12,an+1=an2-an,若bn=1an-1,则数列{b17.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.18.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=23an+n-4,bn=(-1)n·(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.C级学科素养创新练19.(多选题)在数列{an}中,如果对任意n∈N*都有an+2-an+1an+1-an=kA.等差数列一定是等差比数列B.等差比数列的公差比一定不为0C.若an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比20.在数列{4n-3}中抽取部分项(按原来的顺序)构成一个新数列,记为{an},再在数列{an}中插入适当的项,使它们一起能构成一个首项为1,公比为3的等比数列{bn}.若bk=729,则数列{bn}中第k项前(不含bk)插入的项的和最小为()A.30 B.91 C.273 D.8201.B设等比数列{an}的公比为q,由a7=a3q4,得q4=3,所以a15=a3q12=a3(q4)3=33=27.故选B.2.B∵an+1=-2an,a2=1,∴a1=-12,∴数列{an}是首项为-12,公比为-2∴an=-12×(-2)n-1=(-2)n-2故选B.3.ABC根据题意,依次分析选项.对于A,f(2)=lg2,f(10)=lg10=12,f(5)=lg5,则有f(2)+f(5)=2f(10),A正确;对于B,f(2)=lg2,f(4)=lg4=2lg2,f(8)=lg8=3lg2,则有f(2)+f(8)=4lg2=2f对于C,f(2)=lg2,f(4)=lg4=2lg2,f(16)=lg16=4lg2,则f(2),f(4),f(16)成等比数列,C正确;对于D,f(2)=lg2,f(12)=lg(4×3)=2lg2+lg3,f(72)=lg72=3lg2+2lg3,f(2),f(12),f(72)不成等比数列,D错误.故选ABC.4.AB设等比数列{an}的公比为q,则2an2an-1=anan-1=q,故{2an}是等比数列;an2an-12=anan-12=q2,故{an2}是等比数列;取等比数列an故选AB.5.80,40,20,10设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=132,∴q=1∴这4个数依次为80,40,20,10.6.3·12n-1由2an+1-an=0,得an+1an=12,所以数列{an}是等比数列,公比为12.因为7.±4依题意,得a6=a1q5=18×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±48.解若数列{an+1}是等比数列,则an+1+1an+1=λan+2an+1=μ(μ为非零常数),即(λ-μ)an+2-μ=0,对于任意n∈N*恒成立,则λ-μ=0,29.(1)证明∵2an+1=6an+2n-1(n∈N*),∴an+1=3an+n-12∴an+1+n+12an+n2=3an+n-12+n+12an+(2)解由(1)得,an+n2=32×3n-1=12×3n,∴an=1210.C由题意,数列{an}是等比数列,可得a1a4=a2a5=a3a6,所以直线a1x+a2y=a311.C由于∀m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=12.令m=1,则an+1=a1an=12an,即数列{an}是首项为12,公比为所以an=12×(12)n-1=(12)n,故a6=(12)12.A由an+1-2an=0得an+1an=2,即数列{an}则2a13.ABD若a3=-2,则a22+a42≥2a2a4=2a32=8,当a2=a4=±2时,等号成立,故A正确;因为a32+a52≥2a3a5=2a42,当a3=a5时,等号成立,故B正确;设等比数列的公比为q,因为a3=a5,所以q2=a5a3=1,所以q=±1,当q=-1时,a1=-a2,故C错误;设等比数列的公比为q,则q2>0,因为a5>a3,所以a5q14.-1+52依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,解得15.32由题意,得anan-1=(-2)n-1(n≥2),所以a2a1=-2,a3a2=(-2)2,a4a3=(-2)3,a5a4=(-2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a1=(-216.2n-1因为an+1=an2-an,所以1an+1=2an-1,所以1an+1-1=2an-2=2(所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,所以bn=1×2n-1=2n-1.17.证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.∴由an+1an=2知{an}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得∴an=-2n-1.(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.bn+1bn=-4×2n-18.(1)证明假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a即(23λ-3)2=λ(49λ-4)⇔49λ2-4λ+9=49λ2-4λ⇔9=0,矛盾.所以{a(2)解是等比数列,证明如下:因为bn+1=(-1)n+1·[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1·(23an-2n+14)=-23(-1)n·(an-3n+21)=-23bn,又b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,b1=0,此时{bn当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,所以bn+1bn=-23(n∈N*).故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项19.BCD对于等差数列{an},考虑an=1,an+1=1,an+2=1,an+2-an+1an+1-an无意义,所以A选项错误;若等差