5.2.1基本初等函数的导数A基础练（解析版）

5.2.1基本初等函数的导数-A基础练一、选择题1．函数的导数是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.2．已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因此，.3．若，则等于（）A．0 B． C．3 D．【答案】D【详解】因为，则，所以.4．已知函数，是的导函数，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，故，解得.5．（多选题）下列求导运算错误的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】，故A不正确；，故B不正确；，故C正确；，故D不正确．6．设，，，…，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，，，，由此可知：，.二、填空题7．函数的导数为_____________.【答案】【解析】由换底公式可知，，∴8．已知，则_____________.【答案】.【解析】因为，所以，所以.9．曲线在处的导数为，则_______．【答案】【解析】由，得，又曲线在处的导数为12，所以，．10．已知函数，，则______．【答案】【解析】，，故，，，，周期为4，故，.三、解答题11．求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）y′＝()′＝（2）∵y＝cos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(3）y′＝[()x]′＝()xln＝.12．曲线在点处的切线方程为.【详解】设，则，所以，所以切线方程为，即.A级必备知识基础练1.[探究点一](多选题)下列结论中,正确的是()A.若y=1x3,则yB.若y=3x,则y'=C.若y=1x2,则y'=-2xD.若f(x)=3x,则f'(1)=32.[探究点三(角度2)]若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为()A.(0,+∞) B.(2,+∞)C.(-1,0) D.(-1,0)∪(2,+∞)3.[探究点四·2023宁夏银川兴庆月考]若函数f(x)=alnx-bx的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则a2+b2的最小值为(A.12 B.22 C.32 4.[探究点三(角度3)]已知函数y=f(x)的图象经过点A(1,3),且f'(1)=5,请写出一个符合条件的函数表达式:f(x)=.

5.[探究点三(角度1)]已知函数f(x)=f'(π4)cosx+sinx,则f(π4)的值为6.[探究点二]求下列函数的导数:(1)y=5x(2)y=log2x2-log2x;(3)y=cosx(4)y=-2sinx2(1-2cos2x4B级关键能力提升练7.已知曲线f(x)=x2+ax+1在点(1,f(1))处切线的倾斜角为3A.1 B.-1C.7 D.-78.已知曲线f(x)=(x+a)·lnx在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,则实数a等于()A.12 B.1 C.-32 D.9.(多选题)已知函数f(x)=xcosx的导函数为f'(x),则()A.f'(x)为偶函数 B.f'(x)为奇函数C.f'(0)=1 D.fπ2+f'10.(多选题)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数,存在“巧值点”的是()A.f(x)=x2 B.f(x)=e-xC.f(x)=lnx D.f(x)=tanx11.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是12.已知函数f(x)=x3-4x,则过点P(-1,4)可以作出条f(x)图象的切线.

13.已知直线y=x+b是曲线y=ax2+1的切线,也是曲线y=lnx的切线,则a=,b=.

C级学科素养创新练14.法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数y=f(x)满足如下两个条件:(1)其图象在闭区间[a,b]上是连续不断的;(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),其中ξ称为拉格朗日中值.函数g(x)=lnx+x在区间[1,2]上的拉格朗日中值ξ=.1.ACD由(xα)'=αxα-1知,y=1x3=x-3,则y'=-3x-4=-3x4,选项A正确.y=3x=x13,则y'=13x-23≠3x3,选项B错误.y=1x2=x-2,则y'=-2x-3,选项C正确.由f(x)=32.B∵f(x)=x2-2x-4lnx,∴f'(x)=2x-2-4x=2x2-2x-4x(x>0),f'(x)=2x2-2x-4x>03.A因为f'(x)=ax+bx2,所以f'(1)=a+b=1,又a2+b2≥(a+b)4.5x-2(答案不唯一)可设f(x)=ax+b(a≠0),则f'(1)=a=5,又函数y=f(x)的图象经过点A(1,3),则a+b=3,所以b=-2.所以f(x)=5x-2.5.1∵f'(x)=-f'(π4)sinx+cosx,∴f'(π4)=-f'(π4)×22+22,得f'(π4)=2-1.∴f(x)=(2-1)cosx+sinx,6.解(1)y'=(x35)'=(2)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y'=(log2x)'=1x(3)(方法1)y'=(1x·cosx)'=(1x)'cosx+1x(cosx)'=(x-12)'·cosx-1xsinx=-12xsinxx=-(方法2)y'=(cosxx=(=-=-xsinx+(4)∵y=-2sinx2(1-2cos2x4)=2sinx2(2cos2x4-1)=2sinx2cosx2=sinx,∴y'=(sinx7.C∵f'(x)=2x∴f'(1)=3-a4,又f'(1)=tan3π4=-8.C因为f(x)=(x+a)·lnx,x>0,所以f'(x)=lnx+(x+a)·1x,所以f'(1)=1+a.又因为曲线在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,所以f'(1)=-12,所以a=-9.AC因为函数f(x)=xcosx的导函数为f'(x)=cosx-xsinx,所以f'(x)是偶函数,故A正确,B错误;f'(0)=cos0-0sin0=1,故C正确;fπ2+f'π2=π2cosπ2+cosπ2−π2sinπ2=0+0-10.AC若f(x)=x2,则f'(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,故A符合要求;若f(x)=e-x,则f'(x)=-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,B不符合要求;若f(x)=lnx,则f'(x)=1x,若lnx=1x,在同一直角坐标系内作出函数y=lnx与y=1x的图象可知两函数的图象有一个交点,可知方程有解,C符合要求;若f(x)=tanx,则f'(x)=sinxcosx'=1cos2x,即sinxcosx=1,变形可得到sin11.21∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),∴ak+1=12ak,即数列{ak}是首项a1=16,公比q=12的等比数列,∴a3=4,a5=1,∴a1+a12.2设切点坐标为(x0,x03-4x0),由f(x)=x3-4x,得f'(x)=3x2-4.所以f'(x0)=3x02-4,因此切线方程为y-(x03-4x0)=(3x02-4)·(x-x0),把P(-1,4)的坐标代入切线方程中,化简得2x03+3x02=0,解得x0=0或x0=-3213.18-1由y=lnx,得y'=1x.因为直线y=x+b是曲线y=lnx的切线,所以1x=1,解得x=1,所以y=ln1=0,即切点为(1,0),所以0=1+b,解得b=-1,即y=x+b=x-1.由y=ax2+1,得y'=2ax,因为直线y=x-1是曲线y=ax2+1的切线,所以2ax=1,解得x=12a,所以y=14a+1,即切点为(12a,14a+1)