4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) A基础练（学生版）

4.3.2等比数列的前n项和公式(2)-A基础练一、选择题1．如图，已知面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2020个三角形面积为（）A． B． C． D．2．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58A．34 B．35 C．36 D．373．数列的通项公式，则数列的前5项和等于（）A． B． C． D．4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元.则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为（）A．93万元 B．45万元 C．189万元 D．96万元5．（多选题）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍6．（多选题）计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列二、填空题7．某同学让一弹性球从128米高处下落，每次着地后又跳回原来高度的一半再落下，则第8次着地时球所运动的路程的和为________m.8．《莱茵德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为________.9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则实数的值为_____10．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（）三、解答题11．有一个细胞集团最初有细胞10个，每小时内先消亡3个，余下的每个再分裂成2个，设小时后细胞个数为.（1）求出、，并写出与的递推公式；（2）求出数列的通项公式，问：至少多少小时后细胞个数超过10000个？12．某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．（参考数据：，，）A级必备知识基础练1.[探究点一]在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前3项和S3=21,则a3+a4+a5等于()A.33 B.72 C.84 D.1892.[探究点二]已知数列{an}是等比数列,且公比q不为1,Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论一定正确的为()A.S8B.2S8≠S4+S12C.S8D.(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)(n∈N*)3.[探究点一]已知{an}是等比数列,{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别是A,B,C,则()A.A+B=C B.3B-3A=CC.B2=AC D.B(B-A)=A(C-A)4.[探究点一]已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=()A.11 B.12 C.13 D.145.[探究点一]已知等比数列的首项为-1,前n项和为Sn,若S10S5=31A.2 B.-2 C.12 D.-6.[探究点一](多选题)记数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,下列四个命题中不正确的有()A.对于∀n∈N*,an+12=anan+2,则数列{aB.若Sn=Aqn+B(非零常数q,A,B满足q≠1,A+B=0),则数列{an}为等比数列 C.若数列{an}为等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列 D.设数列{an}是等比数列,若a1<a2<a3,则{an}为递增数列7.[探究点一]已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2020=.8.[探究点一]已知等比数列{an}的各项均为正实数,Sn为数列{an}的前n项和,若S5=5,S15=35,则S10=.

9.[探究点一]在等比数列{an}中,若q=12,S100=150,求a2+a4+a6+…+a100的值B级关键能力提升练10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),a1a2a3=-27,则a5=()A.81 B.24 C.-81 D.-2411.若数列{xn}满足lgxn+1=1+lgxn(n∈N*),且x1+x2+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值等于()A.200 B.120 C.110 D.10212.等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为8532,偶数项之和为2116,这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1),则Tn的最大值为(A.14 B.12 C.1 D13.(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()A.q=2B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8=510D.数列{log2an}是公差为2的等差数列14.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=bn+1-2(b>0,b≠1),则a4=.

15.如图,作边长为3的正三角形ABC的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前n个内切圆的面积和为.

16.已知正项等差数列{an}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{bn}的前三项,a2=3.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,kTn+32≥3n-17.被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰,海拔8848.86m,是世界第一高峰.但一张报纸却不服气,它说:“别看我薄,只有0.01cm厚,但假如把我连续对折30次后,我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度.”你认为这张报纸是不是在吹牛?你不妨算算看.C级学科素养创新练18.(多选题)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…,即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设{bn}是项数为2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,且1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{A.2100-1 B.251-2C.226-4 D.2m+1-22m-100-11.C设公比为q,则S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.2.D若q=-1,且n为偶数,则有Sn=0,∴S4=S8=S12=0,此时,A,B,C不成立;根据等比数列的性质也可以得到选项D正确.故选D.3.D若公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,A,B-A,C-B成等比数列,故(B-A)2=A(C-B),整理得B2-AB=AC-A2,即B(B-A)=A(C-A),若公比q=-1,且n为偶数时,A=B=C=0,满足此式.故选D.4.B由题意可得所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和的4倍,可知S奇+S偶=4S偶.设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可得S偶=qS奇,∵S偶≠0,∴q=13.又前3项之积a1a2a3=a23=64,解得a∴a1=a2q=12.故选5.D当公比q=1时,S10S5=2,不满足题意,当q≠1时,S10=q10-11-q,S5=q5-11-6.AC若an=0,满足对于∀n∈N*,an+12=anan+2,但数列{an}不是等比数列,故对于B,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Aqn+B-(Aqn-1+B)=Aqn-1·(q-1)且q≠1,当n=1时,因为A+B=0,则a1=S1=Aq+B=A(q-1)符合上式,故数列{an}是首项为A(q-1),公比为q的等比数列,故B正确;若数列{an}为等比数列,当公比q=-1,且n为偶数时,此时Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均为0,不是等比数列,故C错误;设数列{an}是等比数列,且公比为q,若a1<a2<a3,即a1<a1q<a1q2,若a1>0,可得1<q<q2,即q>1,则{an}为递增数列;若a1<0,可得1>q>q2,即0<q<1,则{an}为递增数列,故D正确.7.3·21010-3∵an+1·an=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又an+2·an+1=2n+1,∴an+2∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S2020=(a1+a3+…+a2019)+(a2+a4+…+a2020)=21010-12-1+28.15∵等比数列{an}的各项均为正实数,Sn为数列{an}的前n项和,∴由等比数列前n项和的性质,可得S5,S10-S5,S15-S10也成等比数列,∴(S10-5)2=5×(35-S10),∴S10=15或S10=-10(舍去).9.解根据题意,若q=12,S100=150,则S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=2(a2+a4+…+a100)+a2+a4+…+a100=3(a2+a4+…+a100)=150,则a2+a4+…+a100=5010.D由等比数列的性质可得a1a2a3=a23=-27,解得a2=-3.设等比数列{an}的公比为q,则S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)=(q+1)(a1+a3+…+a2n-1),所以q=2,所以a5=a2×q3=-3×23=-11.D因为lgxn+1=1+lgxn,所以lgxn+1-lgxn=lgxn+1xn=1,所以xn+1xn=10,所以数列{xn}是等比数列,公比为10,所以lg(x101+x102+…+x200)=lg[(x1+x2+…+x100)·10100]=12.D设数列{an}共有(2m+1)项,由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=8532,S偶=a2+a4+…+a2m=2116,因为项数为奇数时,S奇=a1+S偶·q,即2+2116q=8532,所以q=12.所以Tn=a1·a2·…·an=a1nq1+2故当n=1或2时,Tn取最大值2.13.ABC因为数列{an}为等比数列,又a1a4=32,所以a2a3=32.又a2+a3=12,所以a2=4,a3=8,q=2或a2=8,a3=4,q=12,又公比q为整数,则a2=4,a3=8,q=2,选项A正确;由上可知an=2n,SS8=29-2=510,即选项C正确;log2an+1-log2an=(n+1)-n=1,即数列{log2an}是公差为1的等差数列,即选项D错误.故选ABC.14.16当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn.因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2,因此Sn=2n+1-2,于是a4=S4-S3=16.15.1-14nπ根据题意知第一个内切圆的半径为36×3=32,面积为34π,第二个内切圆的半径为34,面积为316π……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为34π16.解(1)设公差为d,根据题意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,∴3d2-6d=0,∴d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,∴a1=1,an=2n-1.∵b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴bn=3n.(2)由(1)知b1=3,公比q=3.∴Tn=b1(1-qn)1-q=3(1-3n)1-3=3n+1-32,∴3n+1-32+32k≥3n-6对n∈N*恒成立.∵Tn>0,∴k≥2n-43n对n∈N∴(cn)max=c3