初中数学九年级下册：相似三角形的判定（第2课时）教案

初中数学九年级下册：相似三角形的判定（第2课时）教案

一、教材内容深度剖析与育人价值阐释

本节课是人教版九年级下册第二十七章“相似”中“27.2.1相似三角形的判定”的第二课时。在第一课时学习了“平行线分线段成比例”基本事实和“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理基础上，本课时将系统探究并证明“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这两个核心判定定理。

从数学知识体系的内在逻辑看，三角形相似是图形相似研究的核心与基石，而判定定理则是打开相似世界大门的钥匙。本节课的两个定理，与第一课时的定理共同构成了三角形相似判定的完整体系，是从“定性”（角相等）到“定量”（边成比例）认知的深化，体现了从特殊位置关系（平行）到一般几何度量的逻辑演进。这两个定理不仅为解决几何证明和计算问题提供了强有力的工具，其探究过程本身——如何从有限的条件推断出图形的整体性质——更是演绎推理和合情推理的完美结合，是培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的绝佳载体。

从跨学科视野审视，相似三角形的判定原理是尺度变换的数学模型，在物理学（如光学成像、力学图解）、工程学（如测绘、模型制作）、艺术（如透视绘图）乃至计算机图形学中均有广泛应用。本节课的教学，应超越单纯的定理记忆与操练，引导学生领悟其背后的“不变性”思想——在形状不变的前提下，对应元素所遵循的定量关系。

二、学情诊断与认知起点分析

已有认知基础：

1.知识层面：学生已经掌握了三角形全等的“SSS”、“SAS”判定方法，理解了全等是相似比为1的特殊相似；刚刚学习了相似三角形的定义（对应角相等，对应边成比例）和第一个判定定理（AA）；熟练掌握了比例的基本性质、合比性质及等比性质。

2.能力层面：具备一定的观察、猜想、度量验证的探究能力，能够进行简单的几何推理，但严谨的演绎证明能力，尤其是构造辅助线进行转化的能力尚在发展中。

3.思维层面：对“形”与“数”的结合有初步体验，但将几何条件转化为比例式，并利用比例式进行逻辑推导的代数化思维仍需强化。

潜在认知障碍：

1.定理的发现与理解：学生可能难以自发地从“边”的角度猜想相似条件，容易与全等判定混淆。对于“夹角相等”这一条件的必要性理解不深，容易错误类比全等中的“SSA”。

2.定理的证明：证明过程需要构造一个中介三角形，并综合运用相似定义、平行线判定、第一判定定理等多个知识点，逻辑链条较长，思维跨度大，是本节课的教学难点。

3.定理的应用：在复杂图形中准确识别“对应边”和“夹角”，特别是当三角形位置不规则时；选择最优判定方法解决综合问题的策略性思维。

三、素养导向的教学目标定位

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，结合教材与学情，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.理解并掌握相似三角形的判定定理2（三边成比例）和判定定理3（两边成比例且夹角相等）。

2.能够严谨地证明这两个判定定理，理解证明中蕴含的转化思想。

3.能准确、灵活地运用三个判定定理判定两个三角形相似，解决相关的几何证明与计算问题。

2.过程与方法：

1.经历“操作观察—提出猜想—实验验证—推理论证—形成定理”的完整探究过程，体会数学研究的一般方法。

2.通过类比全等三角形的判定，探究相似三角形的判定，发展类比迁移的思维能力。

3.在定理证明中，经历“构造辅助线”将未知转化为已知的思维过程，提升转化与化归的数学能力。

3.情感、态度与价值观：

1.在探究活动中感受数学的严谨性与确定性，养成实事求是的科学态度和理性精神。

2.通过了解相似判定在测量、绘图等实际问题中的应用，体会数学的实用价值，增强学习兴趣和应用意识。

3.在小组合作探究中，学会倾听、表达与协作，培养团队精神。

核心素养聚焦：

1.数学抽象：从具体图形度量中抽象出“边比例关系决定形状”的数学规律。

2.逻辑推理：经历完整的几何定理发现与证明过程，发展演绎推理能力。

3.直观想象：通过画图、观察，想象图形在比例变换下的不变性，支撑猜想与理解。

4.数学建模：初步建立利用相似判定解决实际测量问题的模型思想。

四、教学重难点及突破策略

教学重点：

相似三角形的判定定理2和定理3的探索、证明与初步应用。

教学难点：

1.判定定理的证明（特别是构造辅助线的方法）。

2.在综合情境中灵活、准确地选择判定定理。

突破策略：

1.针对难点一（定理证明）：采用“问题串”引导，将大问题分解。先回顾用定义证明相似的繁琐性，引出“寻求更简判据”的需求。在猜想形成后，聚焦证明思路：如何将“边成比例”的条件转化为已知的“角相等”或“平行线”？通过动画演示或板书逐步分析，揭示“在较大三角形内部构造一个小三角形，使其与较小三角形全等，从而利用平行线传递相似”这一核心转化思想。教师带领学生共同书写关键步骤，理清逻辑脉络。

2.针对难点二（灵活应用）：设计多层次、变式化的例题与练习。从直接给出比例关系的标准图形，到需要简单计算的图形；从单个三角形对的判定，到复杂图形中寻找或证明相似三角形。通过对比练习（如：给出两组边成比例和一个非夹角相等，判断是否相似），深化对定理条件的理解。总结“定夹角、找对应、验比例”的应用口诀和选择策略流程图。

五、教学资源与媒体准备

1.教师用具：多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）、三角板、直尺、实物投影仪。

2.学生用具：直尺、圆规、量角器、课堂探究学案、练习本。

3.技术整合点：

1.4.利用几何画板动态展示：任意改变三角形的边长，但保持三边比例恒定，观察其形状始终保持相似，直观验证猜想。

2.5.利用几何画板演示：当两边成比例但夹角不相等时，三角形形状发生改变，强化“夹角相等”条件的必要性。

3.6.课件呈现清晰的证明步骤动画和知识结构图。

六、教学过程设计与实施

（一）情境唤醒，以问启思（预计时间：5分钟）

活动1：实际问题导入

呈现问题：“某学习小组欲测量校园内一棵古树的高度。他们设计了如下方案：在阳光下，一名身高1.6米的同学直立时，影长为2米；同时测得古树影长为15米。他们立刻得出古树高12米。其依据的数学原理是什么？”

学生迅速回答：利用相似三角形（人与影、树与影构成的三角形相似）。

教师追问：“这里判定两个三角形相似的依据是什么？”引导学生回顾“两角分别相等（AA）”。

活动2：认知冲突，提出新问题

教师变换情境：“如果现在是阴天，没有太阳光（即没有平行的光线），我们无法直接得到角相等的条件。只有一些长度数据：我们测量了地面上三个点与树顶仰角仪构成的两个三角形的三组边长，发现它们的边长对应成比例。我们能否断定这两个三角形相似？或者说，除了用角判定，我们能否像判定全等一样，用‘边’的条件来判定相似？”

由此自然引出本节课的核心课题：从边的角度探索三角形相似的判定条件。

设计意图：从真实的测量问题出发，联系旧知（AA定理），再通过创设新障碍（无阳光），引发认知冲突，激发学生探究“用边判定相似”的内在需求，使学习目标成为学生主动追寻的方向。

（二）合作探究，建构新知（预计时间：25分钟）

第一部分：探究“三边成比例的两个三角形相似”

活动1：动手操作，提出猜想

学生活动（四人小组）：

1.在学案上任意画一个△ABC。

2.用量角器和刻度尺测量其各内角度数和各边长度。

3.计算并约定一个比值k（k>0，建议k=0.5,0.75,1.5等）。

4.利用刻度尺和圆规，画出△A'B'C'，使A'B'=k·AB,B'C'=k·BC,C'A'=k·CA。

5.测量△A'B'C'的各内角度数，与△ABC的对应角比较。

6.小组内交流发现。

教师巡视指导，并用几何画板在全班范围内随机抽取几组学生的数据进行验证。最终汇总全班发现：当三边对应成比例时，对应角似乎相等。

猜想1：三边成比例的两个三角形相似。

活动2：理性思考，证明猜想

教师引导：“操作验证支持了我们的猜想，但测量总有误差。数学结论需要严谨的逻辑证明。我们如何证明‘如果三边成比例，那么对应角相等’？”

引导学生分析：已知条件是边的关系（比例式），需证明角的关系（相等）。直接证明困难，需转化。

关键启发：“能否将‘边成比例’与我们已经学过的某个能导致角相等的知识联系起来？”（平行线分线段成比例定理的逆用？）

共同分析证明思路：

1.构造：在较大的三角形（如△ABC）的边AB上截取AD=A'B'，过D作DE//BC交AC于E。根据平行线分线段成比例，可得△ADE的三边与△ABC的三边成比例。

2.联系：结合已知条件△A'B'C'与△ABC三边成比例，且AD=A'B'，可推导出AE=A'C'，DE=B'C'。

3.转化：由“SSS”判定△ADE≌△A'B'C'。故∠A=∠A',∠ADE=∠B',∠AED=∠C'。

4.传递：又因DE//BC，所以∠ADE=∠B,∠AED=∠C。等量代换得∠B=∠B',∠C=∠C'。

5.结论：两三角形对应角相等，故相似。

教师利用课件动画演示构造辅助线的过程，并带领学生完成规范的几何语言书写。

定理形成：

判定定理2：三边成比例的两个三角形相似。

几何语言：在△ABC和△A'B'C'中，

∵AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’

∴△ABC∽△A'B'C’

第二部分：探究“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”

活动3：类比迁移，再作猜想

教师引导：“回顾三角形全等的判定，有‘SSS’‘SAS’。我们刚证明了相似中的‘SSS’（比例形式）。那么，是否存在‘SAS’（比例形式）的判定方法？即：两边成比例且夹角相等，能否判定两个三角形相似？”

学生基于已有探究经验，很容易进行类比猜想。

猜想2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

活动4：证伪与证实，深化理解

教师首先提问：“对于全等，‘SSA’不能判定。那么对于相似，‘两边成比例且其中一边的对角相等’行吗？”

利用几何画板进行动态演示：固定△ABC，构造△A'B'C'，使A‘B’/AB=A‘C’/AC=k，且∠B=∠B‘（非夹角）。拖动点，显示△A'B'C'形状发生变化，不一定与△ABC相似。由此强调“夹角”这一关键条件。

活动5：自主尝试，完成证明

学生尝试独立或小组讨论，参照定理2的证明思路，尝试证明猜想2。

教师巡视，点拨关键：构造辅助线的方法类似（在长边上截取等线段，作平行线），最终转化为利用“SAS”证全等，再传递角相等。

请一名学生上台讲解证明思路，师生共同完善，形成规范板书。

定理形成：

判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

几何语言：在△ABC和△A‘B’C‘中，

∵∠A=∠A‘，且AB/A’B‘=AC/A’C‘

∴△ABC∽△A'B'C’

设计意图：本环节是教学的核心与高潮。通过“操作—猜想—验证—证明”的完整科学探究流程，让学生亲历定理的“再发现”过程。证明环节着重思维引导，揭示“构造—全等—平行—相似”的转化链，突破难点。通过类比与反例辨析，加深对定理条件的理解，培养思维的严谨性。

（三）辨析理解，内化关联（预计时间：8分钟）

活动：对比归纳，形成体系

教师引导学生将新旧三个判定定理进行对比，完成以下思考题：

1.三个判定定理的条件各有什么特点？（从“角”和“边”的角度）

2.判定三角形全等和相似，在方法上有何异同？（从“数”的相等与成比例理解）

3.在具体问题时，如何选择判定方法？（引导策略：有平行或角等优先用AA；有一对等角且可找夹边比例用SAS；只有边的关系用SSS）

教师用结构图总结相似三角形的判定体系，明确各定理的逻辑地位和应用场景。

设计意图：将新知纳入原有知识网络，通过对比辨析，深化理解，避免定理之间的混淆。构建清晰的知识结构图，帮助学生形成系统化的认知体系，并初步形成方法选择的策略意识。

（四）阶梯应用，巩固提升（预计时间：15分钟）

例1：（基础辨识，直接应用）

根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

(1)AB=4,BC=6,CA=8；DE=6,EF=9,FD=12.

(2)∠A=70°，AB=5,AC=7；∠D=70°，DE=10,DF=14.

(3)∠B=50°，AB=6,BC=8；∠E=50°，DE=9,EF=12.

设计意图：直接应用定理，巩固几何语言。第(3)题故意设置“两边成比例且其中一边的对角相等”的非夹角情境，引发讨论，强化条件认知。

例2：（综合图形，灵活选用）

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=3,AB=8,AE=4,AC=10。

(1)求证：△ADE∽△ABC。

(2)若DE=3.6，求BC的长。

设计意图：在简单综合图形中应用定理，并利用相似性质求边长，体现判定的应用价值。需要学生自己从图中提取条件，判断使用哪个定理。

例3：（变式拓展，构造应用）

已知：在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6,BC=4,AC=5,CD=7.5。

求证：△ABC∽△ACD。

设计意图：图形更为复杂，需要学生识别出需要证明相似的两个三角形，并发现已知条件恰好满足“两边成比例且夹角相等”。锻炼学生在复杂图形中提取信息、分析条件的能力。

练习：学案上设置3-4道梯度练习题，包括直接应用、简单计算和一道需要添加辅助线构造相似形的提高题，供学生当堂巩固。

设计意图：通过由易到难、层层递进的应用环节，使学生从“懂”到“会”，再到“熟”和“活”。例题设计覆盖定理应用的主要题型，注重思维训练和策略形成。

（五）课堂小结，反思升华（预计时间：5分钟）

引导学生从以下三个维度进行总结：

1.知识层面：我们今天学习了哪两个判定三角形相似的新方法？它们的条件分别是什么？

2.方法层面：我们是如何发现并证明这两个定理的？（回顾探究路径：实际问题—操作猜想—推理论证—应用）

3.思想层面：在定理的证明过程中，我们运用了哪些重要的数学思想？（转化与化归、类比、数形结合）

教师以板书的结构图为依托，进行最终梳理。

（六）分层作业，拓展延伸

必做题：

1.教材课后习题对应部分。

2.整理本节课两个判定定理的证明过程。

选做题：

1.（实践探究）利用“三边成比例则相似”的原理，设计一个不用爬上建筑物即可测量其高度的方案（工具：卷尺、标杆），并写出计算原理。

2.（思维挑战）尝试探究：如果有两个直角三角形，一条直角边和斜边成比例，这两个直角三角形相似吗？请证明或举出反例。

设计意图：分层作业尊重学生差异。必做题巩固双基；选做题①体现数学与现实世界的联系，培养应用能力；选做题②为学有余力的学生提供探究空间，衔接下一课时“直角三角形的相似判定”。

七、板书设计

主板书：

27.2.1相似三角形的判定（二）

一、判定定理2：三边成比例

文字语言：三边成比例的两个三角形相似。

几何语言：∵AB/A’B‘=BC/B’C‘=AC/A’C‘

∴△ABC∽△A’B‘C’

证明思路：(图示辅助线)构造→全等(SSS)→平行→角等→相似

二、判定定理3：两边成比例且夹角相等

文字语言：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。