陕西省西安市2025-2026学年高二上学期期末供题训练数学

陕西西安市高二上学期普通高中期末供题训练数学试卷一、单选题1．已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（

）A． B．C． D．2．已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．若点在圆外，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（

）A．3 B．6 C．12 D．365．在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（

）A． B． C． D．6．若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（

）A． B．2 C． D．47．在正项等比数列中，，，则当取得最小值时，（

）A．5 B．6 C．7 D．88．在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．若空间向量，，满足，，则B．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则C．点关于平面对称的点的坐标是D．若，是两个单位向量，则10．已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（

）A．B．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则C．的最小值为4D．若点的坐标为，则的最小值为611．任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（

）A．若，则使得需要步“雹程”;B．若，则;C．若，则数列的前项和为;D．若，则m的所有可能取值之和为.三、填空题12．直线与圆交于A，B两点，则______．13．是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________.14．已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与交于点，延长与的另一个交点为，若为的中点，则双曲线的离心率为__________.四、解答题15．记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，为，的等比中项．(1)求的通项公式；(2)求满足的n的最大值．16．已知圆经过两点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程.17．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．(1)证明：．(2)证明：平面．(3)求平面与平面夹角的正弦值．18．在数列中，且．(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式．(2)记数列的前n项和为，数列满足．（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）求；（ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．19．已知椭圆的左、右顶点分别为，，是E的右焦点，且．(1)求E的方程．(2)过点，且斜率不为0的直线l与E交于M，N两点．（ⅰ）若l的斜率为1，P是直线上的一点，且的面积为，求点P的坐标．（ⅱ）设直线与交于点Q，试判断Q是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

参考答案1．D【详解】根据数列的规律，可知该数列的一个通项公式可以为．故选：D2．D【详解】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为．故选：D.3．B【详解】因为点在圆C外，所以，解得，所以a的取值范围为．故选：B.4．D【详解】由题可知双曲线方程中，，该双曲线的渐近线方程为，因为直线的斜率为，所以，解得.故选：D.5．C【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，，有，又，则，所以．故选：C6．C【详解】设，，则，，两式相减得，即，因为线段AB的中点为，所以，，又，代入，解得，则有，所以椭圆C的短轴长为．故选：C.7．A【详解】由，可得，即，又，所以，则，所以当时，；当时，，所以当取得最小值时，．故选：A.8．D【详解】由题意得：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图：因为二面角为，则异面直线与的夹角为，即与的夹角为，易得，因为，且，则，即，解得，故选：D.9．BC【详解】对于A选项，当为零向量时，不符合，A错误；对于B选项，因为，所以，B正确；对于C选项，点关于平面Oyz对称的点的坐标是，C正确；对于D选项，，D错误．故选：BC.10．ABD【详解】对于A，由，可得，解得，A正确；对于B，因为，所以，则，故，B正确；对于C，因为，，所以的最小值为2，C错误；对于D，等于点到的距离，的最小值为点到的距离，且点到的距离为，D正确．故选：ABD.11．ABD【详解】对于A：当时，根据上述运算法则得出26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，则使得需要10步“雹程”，A正确．对于B：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列，，故，B正确．对于C：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列，故数列的前2025项和为，C错误．对于D：当时，则或，当时，则，进一步可得，所以或，所以或，即或；当时，则，进一步可得或，所以或，所以或或或，即或或或.所以m的所有可能取值之和为，故D正确．故选：ABD.12．【详解】圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离，则．故答案为：13．【详解】因为，，，，所以点到直线的距离是.故答案为：.14．【详解】因为点是以为直径的圆在第一象限与的交点，则有，因为是的中位线，所以，又，所以.由题意得点在双曲线的右支上.由，令，则，又为的中点，则点在双曲线的左支上.因为，且是的中点，所以，所以.在中，由勾股定理可得，即，整理可得.在，由勾股定理可得，即，化简得，又，所以，则.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为d，，所以，因为为，的等比中项，所以，即，化简可得，联立解得，，故；（2），由，可得，即，解得，故满足的n的最大值为.16．(1)(2)圆与圆外切，.【详解】（1）由题可知直线的方程为，中点的坐标为，线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上，又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心.由得即.又，所以圆的方程为.（2）由题可知，所以，两个圆的半径之和为，所以圆与圆外切，所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径，得，解得或或所以公切线的方程为或或，故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条）17．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则．所以，，，，则，．因为，所以，即．（2）由题中数量关系可得，，，，，则，，．设平面AEG的法向量为，则，令，得．因为，所以，又平面，所以平面．（3）由（2）可知平面的一个法向量为．因为平面的一个法向量为，所以．设平面与平面的夹角为，则，．故平面与平面夹角的正弦值为.18．(1)证明见解析，；(2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）.【详解】（1）在数列中，且，则，，所以数列是以1为公差的等差数列，，即.（2）（ⅰ）当时，，即，当时，由，得，两式相减，得，即，而满足上式，所以的通项公式为.（ⅱ）由（ⅰ）得，则，两式相减得，所以.（ⅲ），当n为奇数时，由，得，而数列递减，恒成立，则，即；当n为偶数时，由，得，即，而数列递减，则，所以实数的取值范围为.19．(1)(2)（ⅰ）或（ⅱ）是，【详解】（1）由，可得，又，，所以，则E的方程为．（2）设l的方程为，，，由得，则，．（ⅰ）因为