初中数学七年级下册《9.4 乘法公式》单元教学设计（苏科版）

初中数学七年级下册《9.4乘法公式》单元教学设计（苏科版）

一、教学背景分析

（一）教材分析

本单元内容选自苏科版七年级数学下册第九章第四节，属于“数与代数”领域核心内容。乘法公式是整式乘法的特殊形式，也是后续学习因式分解、分式运算、一元二次方程乃至函数配方法的重要基石。教材在编排上遵循从一般到特殊的认知规律：学生在已掌握整式乘法法则的基础上，通过观察具有特殊结构的多项式相乘结果，归纳出平方差公式与完全平方公式。这一过程不仅巩固了乘法运算技能，更渗透了从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。教材同时设置了“思考”“探索”“练一练”等栏目，借助几何图形直观解释公式的代数意义，充分体现数形结合思想。本节内容在初中数学体系中占据承上启下的枢纽位置，是培养学生符号意识、运算能力和推理能力的关键载体。

（二）学情分析

七年级学生已具备整式乘法运算的基本技能，能够熟练进行单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式的运算，这为乘法公式的学习提供了必要的知识储备。然而，学生的认知仍处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期，容易将乘法公式机械记忆为固定模式，忽视其结构特征与适用条件。常见障碍表现为：混淆平方差公式与完全平方公式；在公式应用中忽略完全平方展开式中乘积项的二倍系数；对公式中字母的广泛指代意义理解不深，难以将复杂表达式整体代入公式。此外，学生对代数公式的几何解释往往感到陌生，数形转换能力尚在萌芽期。因此，本单元的教学必须放慢节奏，通过大量正例与反例的辨析，帮助学生在理解算理的基础上内化公式结构。

（三）课标要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段（7—9年级）对本节内容明确提出：能推导乘法公式（a+b）（a-b）=a²-b²，（a±b）²=a²±2ab+b²，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算和推理。课标强调，公式的教学不应仅停留在记忆和套用层面，而应引导学生经历公式的发现、归纳、推导与验证全过程，在此过程中发展抽象能力、推理能力和模型观念。同时，课标要求借助几何图形解释代数恒等式，强化数形结合思想，为后续函数与方程的学习铺垫。基于课标精神，本单元教学需将运算技能训练与思维品质提升有机融合。

二、教学目标与核心素养

（一）知识与技能

1.理解平方差公式、完全平方公式的推导过程，能用文字语言和符号语言准确描述两个公式的结构特征。【重要】【基础考点】

2.掌握公式中字母的广泛含义，能识别符合公式结构的代数式，并熟练运用公式进行计算、化简与简便运算。【非常重要】【高频考点】

3.能借助几何图形的面积关系解释乘法公式，体会代数与几何的内在统一性。【重要】【难点】

4.了解完全平方公式与平方差公式的异同点，能根据运算特征合理选择公式。【一般】

（二）过程与方法

5.经历从具体多项式乘法运算中观察、归纳、猜想公式的探究过程，培养从特殊到一般的归纳推理能力。【核心素养：抽象能力、推理意识】

6.经历用图形拼图或面积割补验证公式的活动，积累数形结合解决问题的数学活动经验。【核心素养：几何直观、模型观念】

7.通过对公式结构特征的反复辨析及对典型错误的剖析，形成对公式的精细化认知，提升批判性思维品质。【核心素养：运算能力、反思意识】

（三）情感态度与价值观

8.在小组合作探究中感受数学发现与创造的乐趣，建立学习自信，养成严谨求实的科学态度。【一般】

9.通过观察几何图形与代数恒等式的对应关系，欣赏数学的对称美与简洁美，激发进一步探索数学奥秘的兴趣。【一般】

10.体会乘法公式在实际问题简化计算中的威力，增强用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界的意识。【一般】

三、教学重难点

（一）教学重点

1.平方差公式与完全平方公式的结构特征及正确应用。【非常重要】【高频考点】

2.理解公式中字母的广泛含义，能够将符合公式特征的整式对号入座。【非常重要】

（二）教学难点

3.完全平方公式中乘积项“2ab”的系数记忆与符号处理。【难点】【高频错点】

4.从几何图形中抽象出代数恒等式，以及根据代数公式构想几何解释。【难点】

5.灵活运用公式进行较复杂的简便运算及公式的正用、逆用、变形用。【难点】【热点】

四、教学方法与学法指导

本单元以“问题驱动—探究发现—变式内化—反思建构”为主线，采用引导发现法、小组合作法与变式训练法相结合的教学策略。教师通过设置递进式问题链，激活学生已有经验，引导学生在计算、观察、对比中自主发现规律，而不是直接将公式灌输给学生。几何解释环节采用“做中学”策略，学生通过拼图或面积计算，直观感受恒等式的合理性。学法指导上，着重引导学生掌握“结构分析法”——即遇到多项式乘法先观察是否符合公式特征，再套用公式；同时强调“回溯检验法”——将公式计算结果用多项式乘法重新验证，强化算理理解。针对易错点，采用对比辨析（如将（a+b）²与（a-b）²并列对比）和错误前置（展示典型错例）等策略，使学生在冲突中深化认识。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件（包含面积割补动画、公式推导动态演示）、几何拼图学具（纸片正方形与矩形）、导学案（含预学单与当堂检测题）、磁力贴片（用于板书拼图）。

学生准备：复习整式乘法法则，预习教材第76—80页内容，完成导学案预学部分；每组准备剪刀、卡纸、直尺（用于课堂拼图活动）。

六、教学过程设计

本单元共安排2课时，第一课时完成平方差公式的探究与应用，第二课时完成完全平方公式的探究、应用及两个公式的综合辨析。教学过程以学生为中心，注重知识的发生过程与思维的外显表达。

（一）第一课时平方差公式

1.创设情境，激活经验（约5分钟）

教师出示一组计算任务，请两名学生板演，其余学生独立完成：

（1）（x+2）（x+3）；（2）（x+2）（x-2）；（3）（1+2a）（1-2a）；（4）（2m+3n）（2m-3n）。

学生计算后，教师聚焦第（2）（3）（4）题，提问：这三道题的结果有什么共同特征？与第（1）题的结果有何差异？学生通过观察易发现，后三道题的结果均为两项，且恰好是平方差的形式。教师顺势引出课题：具有这样特殊结构的多项式乘法，是否存在更简捷的计算规律？这就是本节课要探究的平方差公式。【导入环节】【重要】

设计意图：从学生熟悉的整式乘法切入，通过对计算结果的对比制造认知冲突，激发学生对“特殊规律”的好奇心，明确探究方向。

2.合作探究，归纳公式（约10分钟）

教师将学生分为四组，每组分配一个具体的算式，要求先用多项式乘法法则计算，再尝试用简洁的语言描述算式的结构特点及结果规律。

第一组：（a+1）（a-1）；第二组：（3+x）（3-x）；第三组：（2a+b）（2a-b）；第四组：（-m+2n）（-m-2n）。

各组汇报后，教师将四个算式整齐排列，引导学生观察：每个算式的两个因式有何关系？结果中这两项是什么？学生能够清晰说出：两个因式“一同一反”，结果等于“同”的平方减去“反”的平方。此时教师板书字母表达式：（a+b）（a-b）=a²-b²，并强调公式中a与b既可以代表数，也可以代表单项式甚至多项式。【非常重要】【核心公式】

为深化对字母广泛含义的理解，教师引导学生思考：能否将刚才计算的四道题代入公式，指出对应的a与b分别是什么？学生依次回答，教师强调符号处理的细节，例如（-m+2n）（-m-2n）中，相同的项是“-m”，相反的项是“2n”与“-2n”，因此结果为（-m）²-（2n）²=m²-4n²。【重要】【易错预警】

设计意图：通过多组实例的完整展开与观察对比，让学生在充分感知的基础上自主抽象出公式，而不是被动接受结论。小组汇报促进同伴交流，不同变式的呈现有助于突破“字母指代广泛性”这一难点。

3.几何解释，数形互译（约8分钟）

教师利用多媒体展示边长为a的大正方形，从中切去一个边长为b的小正方形（a＞b），剩余部分是一个L形图形。提问：你能用几种方法计算这个L形图形的面积？学生独立思考后小组交流，得出两种计算方法：

方法一：剩余面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即a²-b²。

方法二：将L形图形剪拼成一个长方形，沿着虚线剪开并旋转拼接，得到长为a+b、宽为a-b的长方形，面积为（a+b）（a-b）。

教师通过动画演示剪拼过程，使学生直观看到两种面积表达方式的结果相等，从而从几何角度验证了平方差公式。【重要】【热点】【数形结合思想】

随后，学生利用学具袋中的卡纸，亲自动手剪拼一个边长为a的正方形与边长为b的正方形，体验转化过程。教师巡视指导，重点关注学生对图形变换合理性的理解。

设计意图：几何直观是七年级学生理解抽象代数公式的有效支架。剪拼活动将静态公式动态化，使抽象的恒等式变得“看得见、摸得着”，既降低了认知负荷，又为后续学习完全平方公式的几何解释埋下伏笔。

4.例题导学，规范应用（约12分钟）

教师呈现三个层次的例题，引导学生逐步掌握公式的应用技巧。

【例1】直接套用公式：

（1）（5x+y）（5x-y）；（2）（-3a-2b）（3a-2b）；（3）（m+n）（-m+n）。

处理方式：学生独立完成，指名板演。第（2）题容易出现符号错误，教师组织辨析：相同项是谁？相反项是谁？引导学生先将括号内调整为“同项在前，反项在后”的形式，或整体代入公式时注意符号。第（3）题结构特殊，引导学生发现交换因式位置后仍符合公式特征，结果应为n²-m²。【非常重要】【高频考点】

【例2】简便运算：

（1）102×98；（2）30.2×29.8。

学生先尝试独立计算，部分学生可能想到将102拆成100+2，98拆成100-2，从而构造出（100+2）（100-2）。教师追问：这样做的依据是什么？与直接列竖式相比优势何在？学生体会到利用平方差公式可将复杂乘法转化为简单平方运算。第（2）题是小数形式，引导学生将其视为（30+0.2）（30-0.2），进一步巩固构造公式的意识。【重要】【运算素养】

【例3】综合应用：

对于任意整数n，整式（n+7）²-（n-5）²能否被12整除？请说明理由。

本题需要逆用平方差公式，将多项式分解为[（n+7）+（n-5）][（n+7）-（n-5）]=（2n+2）×12=24（n+1），从而证明其是24的倍数，必能被12整除。学生初次接触公式的逆向使用，教师需引导观察两项平方相减的结构，启发学生思考：平方差公式既可以正向运用简化乘积，也可以逆向运用将平方差转化为乘积。这一题为后续因式分解的学习做好铺垫。【难点】【能力提升】

设计意图：例题配置由浅入深，从直接识别公式、构造公式到逆向运用公式，层层递进，既确保全体学生达成基础目标，又为学有余力者提供思维挑战。讲练结合中教师不断追问“你是如何看出公式结构的？”“还有别的解法吗？”，促使学生将操作内化为策略。

5.变式诊断，强化辨析（约7分钟）

教师呈现一组是非辨析题，采用抢答形式，要求不仅判断正误，更需说明理由或改正错误。

（1）（-a-b）（a-b）=a²-b²（×，结果应为b²-a²）

（2）（x²+y²）（x²-y²）=x^4-y^4（√）

（3）（2a+3b）（3b-2a）=4a²-9b²（×，结果应为9b²-4a²）

（4）（1/2m+2n）（1/2m-2n）=1/4m²-4n²（√）

（5）（a+1）（a-1）=a²-1，则（a²+1）（a²-1）=a^4-1（√，学生易忽略指数运算）

教师重点讲析第（1）（3）题的符号问题，引导学生总结：当相同项与相反项不易直观辨认时，可以将两个因式写成统一顺序（将相同项放在前面，相反项放在后面），或直接用公式时注意谁是a、谁是b。【重要】【高频错点】

设计意图：通过正误对比，暴露学生思维中的模糊地带，将潜在错误显性化，在修正过程中深化对公式结构的敏感度。

6.课堂小结，知识建构（约3分钟）

学生畅谈本节课的收获与困惑，教师从三个维度梳理：知识上，掌握了平方差公式及其几何意义；方法上，学会了通过观察结构特征选用简便算法；思想上，体会了从特殊到一般、数形结合的思想。教师特别强调：平方差公式的灵魂在于“同”与“反”的辨识，这是应用正确与否的关键。【非常重要】

7.当堂检测，即时反馈（约5分钟）

分发检测小条，3道基础题（直接套用公式）、1道变式题（需调整顺序后套用）、1道拓展题（结合平方差公式进行整数计算）。学生独立完成，邻座互批，教师统计正确率，针对共性问题课后跟进辅导。

（二）第二课时完全平方公式

1.回顾铺垫，以旧引新（约3分钟）

教师提问：上节课我们研究了“两个数和与这两数差的乘积”，得到了平方差公式。如果计算的是“两个数和的平方”或“两个数差的平方”，结果是否也有简便公式呢？学生猜想并举例验证，如计算（x+1）²、（x-1）²。教师顺势板书课题：完全平方公式。【重要】

2.自主探究，归纳公式（约10分钟）

任务一：代数推导。学生独立计算（a+2）²，（2a+3）²，（3m-2n）²，教师巡视并收集典型做法。绝大多数学生能够展开成两个相同多项式相乘，再利用多项式乘法法则得到三项结果。教师组织学生观察结果项数与系数特征，并尝试用文字语言描述：（a+b）²等于a²加上b²再加上它们的乘积的2倍。教师板书字母公式：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²，并强调中间项的符号取决于括号内是“和”还是“差”。【非常重要】【高频考点】

任务二：几何解释。教师出示边长为a+b的大正方形，要求学生用两种方法表示其面积。方法一：直接计算大正方形面积，为（a+b）²；方法二：分割计算——将大正方形划分为边长为a的正方形、边长为b的正方形以及两个长为a、宽为b的长方形，总面积为a²+b²+2ab。学生通过面积相等直观验证了完全平方公式。教师追问：如果大正方形的边长是a-b，如何构造图形？学生思考后，教师通过动画演示从边长为a的正方形中挖去两个长方形再补回重叠部分的过程，帮助学生理解（a-b）²=a²-2ab+b²的几何意义。【重要】【热点】

设计意图：完全平方公式的推导路径与平方差公式高度一致，充分尊重学生已有的探究经验，并利用几何直观突破对“2ab”这一核心项的认知难点。

3.对比辨析，深化结构（约7分钟）

教师将平方差公式与完全平方公式并列展示，引导学生从以下维度对比：

（1）公式结构：平方差是两项相乘等于两项（平方差）；完全平方是一项平方等于三项（首平方、尾平方、首尾积的2倍）。

（2）适用条件：平方差要求两因式“一同一反”；完全平方要求单个二项式的平方。

（3）结果项数：平方差结果2项，完全平方结果3项。

（4）几何背景：平方差对应面积之差转化为等积长方形；完全平方对应正方形面积分割。

为强化记忆，教师编口诀：“首平方，尾平方，积的二倍放中央；符号跟着中间走，和加差减要记牢。”学生齐读并尝试复述。【非常重要】【高频考点】

随后进行“看谁反应快”的抢答游戏：教师快速出示二项式，学生说出展开后的三项。如（x+3）²，（2y-1）²，（4a+5b）²等。此环节要求脱口而出，旨在形成自动化技能。【一般】

4.例题变式，分层推进（约15分钟）

【例1】直接运用公式计算：

（1）（2x+3y）²；（2）（-a-b）²；（3）（3m-4n）²。

第（2）题有多种处理思路：可以将（-a-b）²看作[（-a）+（-b）]²，也可以利用相反数的平方相等转化为（a+b）²。教师肯定两种思路并引导学生灵活选择。【重要】

【例2】简便运算：

（1）102²；（2）49²；（3）99.8²。

学生根据数的特征，将102拆成100+2，49拆成50-1，99.8拆成100-0.2，从而构造出完全平方公式。教师追问：为什么不拆成其他组合？引导学生体会拆数应以能简化计算为原则，通常拆成整十整百数加一个较小数。【重要】【运算策略】

【例3】添括号法则的渗透：

计算（a+b+c）²。学生小组讨论，尝试转化。多数小组能想到将（a+b）视为整体，转化为[（a+b）+c]²，再利用完全平方公式展开；或视为[a+（b+c）]²。教师板演过程，并自然引出添括号的技巧：当三项式平方时，选择其中两项结合成一项，转化为二项式的平方。教师进一步引导学生归纳：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc。此题为后续学习整式乘法与配方打下基础。【难点】【能力拓展】

【例4】公式的变形应用：

已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值。

学生初次接触利用完全平方公式求值的问题，往往无从下手。教师引导学生观察：a²+b²与（a+b）²、ab之间有何关系？由（a+b）²=a²+2ab+b²，移项可得a²+b²=（a+b）²-2ab。学生代入计算，体会公式的逆向变形功能。教师顺势补充类似题型：已知a-b=4，ab=2，求a²+b²；（x+1/x）²等相关变式。【非常重要】【高频压轴题】

设计意图：例题设计从单纯套公式，到构造公式、多步推理，再到公式的变形与整体代换，完整呈现了公式应用的进阶路径。第4题的引入具有承前启后意义，使学生初步感受完全平方公式作为等量关系的工具价值。

5.双公式综合应用与辨析（约8分钟）

当学生初步掌握两个公式后，极易混淆。教师设计“公式诊断室”环节，呈现一组需要先判断适用哪个公式再进行计算的题目：

（1）（x+2y）（x-2y）；（2）（x+2y）²；（3）（-x-2y）（x-2y）；（4）（-x-2y）²；（5）（x+2y）（-x-2y）。

学生独立辨析并计算，之后小组内交换检查。教师重点关注第（5）题：两个因式完全相同，实质是（x+2y）·[-（x+2y）]=-（x+2y）²，既非平方差也不是完全平方的直接形式，需先提负号处理。通过这一组密集对比，强化学生对两种公式识别特征的精准把握。【非常重要】【综合辨析】

6.课堂小结与思想提升（约4分钟）

学生从知识、方法、易错点三个维度总结。教师在此基础上升华：乘法公式是整式运算的“快捷方式”，但快捷的前提是精准识别结构。数学学习不仅需要记住结论，更要学会观察、类比、转化，这些思想比公式本身更具迁移价值。

7.当堂检测与反馈（约5分钟）

检测内容包含直接套用完全平方公式（2题）、需处理符号后套用（1题）、利用公式进行简便运算（1题）以及a²+b²与（a±b）²关系的简单应用（1题）。学生完成后通过举手反馈正确率，教师课后对错误率较高的题目录制微解析视频，推送至班级群供个性化补习。

七、板书设计

左侧1/3版面：平方差公式区——公式：（a+b）（a-b）=a²-b²；文字表述；几何拼图简图；典型结构示例。中