2025-2026学年下学期湖南长沙一中高三数学2026年5月月考十试卷（含答案）

高三数学模拟卷一注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2A.{1,C.{1,2.已知a,b为实数，虚数1−i是方程x2+axA.2B.-2C.4D.-43.若函数fx的定义域为R,则“函数y=fx的图象关于点a,b中心对称”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a=2,1,b=2A.25B.16C.5D.45.下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温(单位:℃)和最高气温(单位:℃)的折线图.定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温.若最低气温和最高气温的线性相关系数为r1,最低气温和温差的线性相关系数为r2A.r2>0，且r2<rC.r2<0，且r2<r6.如图，圆柱O1O2的表面积为42+4π，A.423B.83C.7.已知圆C:x−cosθ2+y−sinθ2=1,若存在θ,使得直线kx−A.−12,12B.8.已知函数fx=log2x,0<x<4,4sinπ6A0<mC.x3+x4=8二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)9.已知正三角形A1B1C1的边长为6,记其面积为S1,取各边中点连接得到新的正三角形A2B2C2,记其面积为S2,依此规律,得到一系列正三角形A.数列Sn是首项为93_，公比为1B.前3个正三角形的面积之和为189C.存在正整数m,使得TD.T10.已知函数fx=A.函数fxB.fC.曲线y=fx上不同的两点Ax1,y1,Bx2D.若方程fx=t有三个不同的实数根t111如图，一张半径为r的圆形纸片的圆心为点E，F是圆内的一个定点，P是圆E上任意一点，把纸片折叠使得点F与P重合，折痕l与直线PE相交于点Q，T为EF的中点，E，F在折痕l上的射影分别为M,N,则A.QE+QFC.4EM⋅三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)12.若1x−2xn的展开式中二项式系数之和为13.若x∈0,π，且cos2x14.已知数列an满足a1=0,an+1=an+4an四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)若a=4,b+c(2)若a=2c，求16.(本小题满分15.分)已知函数f(1)设gx=f′x，分别讨论函数fx与g(2)证明:当0<t<x17.(本小题满分15分)如图，在三棱锥P−ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，且PA=AC,AC⊥BC，点E为棱PC的中点,四面体E−ABC的外接球(1)证明:PB⊥平面AEF(2)若PA=2，三棱锥P−AEF的体积是26，求直线CO18.(本小题满分17分)某班级开展一次卡片抽奖活动,在一个不透明的箱子中共有6张卡片,其中有4张普通卡片,2张稀有卡片,学生随机从箱子中取出一张卡片,如果取出普通卡片,则把它放回箱子中;如果取出稀有卡片,则该稀有卡片不再放回,并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程n次后,箱子中普通卡片的张数记作Xn,Xn(1)求随机变量X2(2)设PX(1)用含pkk=0,1(ii)证明:EXn−619.(本小题满分17分)已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过右焦点F2的直线l1与双曲线Γ的右支交于P，Q两点.设(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)直线l2上有两点R,S满足:OR=λOP+μOQ,OS=μOP+λ(i)证明:点S也在双曲线Γ上;(ii)设点T0,1，设RS的中点为N，若△TMN的面积的最小值为5，求高三数学模拟卷一参考答案一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案ADACCBDD1.A因为集合A={1,2,3,4}2.D因为1−i是方程x2+ax+b=0的根,所以1−i2+a1−i+b=0,所以a+b−3.A若函数fx的图象关于点a,b中心对称,则若fx的定义域为R,令x=0可得但fa=b不能推出函数fx的图象关于点4.C因为a⊥b,a//c,所以所以3a−b+2c=5.C由折线图可得,随着最低气温的升高,最高气温也升高,所以最低气温和最高气温成正相关,故r1因温差二最高气温一最低气温,由图知,随着最低气温不断升高,最高气温升高幅度相对较小,故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故r2由折线图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱，根据线性相关系数的性质,r值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强;r值越接近0,随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析,可得r26.B连接CO1，DO1，因为四面体ABCD为正四面体，则AB⊥CD，设AB=2r，则CO1=3r，O1O2=2r，7.D法一:圆心C到直线的距离为d=kcosθ−sinθ+4k1+k2≤1,即1+k2sinθ−φ−4k1+k2≤1法二:当θ变化时,圆C扫过的图形是以原点为圆心,2为半径的圆M,故若存在θ,使得直线kx−y+4k=0与圆C有公共点,即直线kx−y+4k=08.D当0<x<1时,log2x<0,则fx当1≤x<4时,log2x≥0,则fx=log2x当4≤x≤14时，fx=4sinπ6且f4f利用对数函数与正弦函数的性质,画出fx因为方程fx=m有四个不等的实根,所以fx的图象与y=m结合选项A中分析可得−log2x1=log2x2,所以log2x1x2=0,则x1x2=当0<x<1时,fx=log12x,令由图知x1,x3同增同减,所以x1二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分,部分选对得部分分,选错或不选得0分.)题号91011答案ABDBCDBCD9.ABD选项A:根据正三角形面积公式可得初始面积S1=34×62=93,连接各边中点后,新正三角形边长变为原三角形边长的12，因此面积变为原面积的14，即Sn+1=14所以Sn选项B:前3个正三角形的面积之和为931−1选项C:对任意正整数n，Tn<483选项D:Tn+1615S2n+10.BCD由fx=13x令f′x<0,得0<x<1,令f′所以fx在区间0,1单调递减,在区间对于A,因为f1所以fx在区间1,2内存在1个零点,故fx在R上有2个零点,故对于B,因为f12+x+f12−x令x=0.4,得又f0.9>f0.99,所以f对于C,依题意f′x1=f所以x1−x2x1+x2−1=0对于D,设fx所以−13t1+t2+t3=−1211.BCD对于A,QE+QF=对于B,在△EPF中,T,N分别为EF,PF如图，延长FQ,EM交于点R则有QR=QE,MR=ME,故MT对于C,设∠EQM=∠FQN=θ则EM⋅FN=mnsin2θ，由于点则在△EQF中,4化简得4c2=4a2−4mnsin2θ,即对于D,设MN的中点为S,则有TM⋅FN−14EF2=b2−c2三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)12.40因为二项式系数之和为2n=32,所以1x−2x5令−5+32r=−2,得r=2,所以13.π3或2π3cos2x=cosx+π3+x−π3=cosx+π3cosx−π3−sinx+π3sinx−π314.−24,−16由an+得an+1+1=an+1则an+1=1+2n−因为二次函数fx=4x2由题意得,52<4−λ8<72,解得−四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(1)因为c−2b所以由正弦定理得sinC又因为sinC所以sinB因为0<B<π,所以sinB因为0<A<π由余弦定理得a2所以b+c2−3bc所以△ABC的面积S=(2)因为a=2c，根据正弦定理得则sinC又a=2c>c,则A>所以cos⋅C则sin2Ccos2C所以sin2C+16.(1)f′令f′x>0,得x>1;令所以fx在1,+∞上单调递增,在−∞,1由gx=f′x令g′x>0,得x<2;令所以gx在−∞,2上单调递增,在2,+∞(2)因为0<t<x，所以①当x≥1时，1≤x<x+t，由(1)知所以fx因为t>0,所以所以ft②当0<x<1时，令则h′由(1)知gx=f′x在0,所以h′所以hx在[0,1)即当0<x<1综上,当0<t<x时,17.(1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以又因为AC⊥BC,且PA∩AC=所以BC⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC,所以因为PA=AC，点E是PC的中点，所以又PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC,又PBC平面PBC,所以AE由题知,四棱锥A−BCEF内接于球O,则必有B,C,E,F即PB⊥EF,又AE∩EF=E,AE,EF⊂平面(2)设PF=λλ>0，由(1)得PB⊥因为AE⊥平面PBC,则∠AEF=π2化简得λ22−λ2=1,解得又PE=2,EF⊥PB,则EF=1,则∠CPB又由(1)知△ACB,△AEB都是以故外接球球O′为AB如图，以A为原点，与BC平行的方向，射线AC，射线AP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.因为PA=AC=2,由(1)知，PB⊥平面AEF，所以PB=22,2又直线OC的方向向量为CO=设直线CO与平面AEF所成角为θ,则sinθ故直线CO与平面AEF所成角的正弦值为36.1518.(1)根据题意，X2的可能取值为X2=4即二次抽卡均抽到普通卡片,X2=5即二次抽卡恰好拍到一普通一稀有卡片,X2=6即二次抽卡均抽到稀有卡片,所以X2X456P4115分(2)(1)设第n次抽卡抽到稀有卡片为事件An则PXPP所以EXn(1)由(1)及p0+p1+pEX所以EXn+1−所以EXn−6是以−53所以EXn−6=−519.(1)设直线l1:x=my+c,依题意可知,设Px1,y1,Qx2代入斜率和中点坐标得b2a2=13,又故双曲线