山东省枣庄市2026届高三下学期五月模拟考试数学试卷（含答案）

山东枣庄市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（

）A． B．2 C． D．103．已知，，且，则（

）A． B． C． D．4．中国空间站主要由天和核心舱，问天试验舱，梦天试验舱三个舱构成.某次实验需要4名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去天和核心舱，则不同的安排方法的种数为（

）A．6 B．9 C．12 D．185．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．7．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线的焦点，若是与的一个交点，，则的方程为（

）A． B．或C． D．或二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．随机变量，当最大，则的取值为3B．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是，0.3C．已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为2.2D．若，，则事件，相互独立10．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于点中心对称C．的零点构成的集合是D．在区间上单调递减11．已知数列满足，是的前项和，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列C．当为偶数时， D．若，则满足的的最小值为64三、填空题12．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________.13．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________.14．若，，则实数的最大值为____________.四、解答题15．在中，内角，，所对的边分别为，，.且.(1)求；(2)若，记边上的高为，求的最大值.16．如图，在三棱锥中，，，，，，为在平面内的投影.(1)设，求，的值；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立.(1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和；(2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数）注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望）18．已知双曲线的实轴长为，且经过点.(1)求的渐近线方程；(2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值.19．超导量子计算原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足：，，，…，.注：，，，，….(1)求在处的阶帕德逼近；(2)在（1）的条件下，当，试比较与的大小，并证明；(3)已知数列满足，，证明：.参考答案1．B【详解】由，解得，所以.易知，所以.所以.2．C【详解】因为，所以，整理得，则，所以.3．A【详解】由题可得，因为，所以即，即，即，得到.4．C【详解】若有个人去天和核心舱，则这个人是甲，此时安排方法有种.若有个人去天和核心舱，除了甲以外，还要再选人，此时安排方法有种.所以总的方法有种.5．A【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得，所以，因为与均为非零向量的倍数，所以与共线，即，充分性成立.若，当时，，所以；当时，存在实数，使得，所以，假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，，所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立.综上，“”是“”的充要条件.6．B【详解】定义域为，，则是偶函数，排除A选项；当时，，则，当时，，则；当时，，则，排除CD选项.7．D解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量，则，所以，则，取，则，，所以.由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则，因为平面，所以，则，即，整理得，当时，，此时，为中点；当时，，此时，为中点，连接，不难发现，，且，，易证，平面平面，所以点的轨迹为线段，因此，轨迹长.8．D【详解】由题意可知，，且，过点往抛物线的准线上作垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，由椭圆的定义可知，，因为，所以，，则，在中利用余弦定理得，得，得或，故或，则的方程为或.9．ABD【详解】，由，解得，由，解得，又因为，且，所以，选项正确；已知，两边取自然对数得，令，则，因为变换后的线性方程为，所以，，即，选项正确；已知关于的回归方程为，当时，，而样本数据点为，则残差，选项错误；已知，，由条件概率公式，则，即，所以，即，则事件，相互独立，选项正确.10．BC【详解】对A，因为，所以不能恒成立，所以不是的最小正周期，错误；对B，因为，所以的图象关于点中心对称，正确；对C，.令得或（舍去），解得，即的零点构成的集合为，正确；对D，因为，，所以，所以在区间上不单调递减，错误.11．ACD【详解】A选项，由，可得，所以，对偶数项：，即：是等差数列，所以A选项正确；B选项，因为，所以，数列首项为，若，则数列的首项为0，不符合等比数列的定义，所以B选项错误；C选项，当为偶数时，，因为，，所以，所以，所以C选项正确；D选项，若，则，由A选项解析得：，当为偶数时，由C选项可知，，当为奇数时，，，若为偶数，，，所以满足的最小偶数为64；若为奇数，，，所以满足的最小奇数为65，综上所述，满足的的最小值为64，所以D选项正确.12．64【详解】已知随机变量，且，由正态分布的对称性可得与关于对称，即，则，解得.令，展开式中各项系数之和为.13．【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面，由切线的性质定理可知，，，即，所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径，设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径，所以圆的方程为，因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差，即，化简得，所以直线的方程为.14．/【详解】因为，则，整理得，令，可得，即，令，则，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，则，且，可知有且仅有两个零点，若，则或，对于可知，当x趋近于时，趋近于0，故不合题意；所以，即，整理得对任意的恒成立，令，则，且，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，结合解得，所以实数m的最大值为.15．(1)(2)【详解】（1）根据正弦定理可得，化简整理得，由余弦定理得，因为，故；（2）由，得，又，所以，在三角形中，故，当，即时，．16．(1)(2)【详解】（1）由，，，.以为坐标原点，为轴，为轴，竖直向上为轴建立空间直角坐标系.则，设点在平面内的垂足为，则.，两式作差，解得.，，，，解得，代入距离关系式，解得，得，.，，所以，解得，.（2）由（1）得，，.设平面的法向量，，可取.设直线与平面所成角为，则.17．(1)分布列如下：60708090数学期望(2)的最大值为11.7，取得最大值时的值为.【详解】（1）由题可知，可能取值为：60、70、80、90.，，，，所以消费者购买一件该产品的实际支付金额的分布列为：60708090数学期望为：.（2）设优惠券实际成本为，则且支付金额的期望，所以，即：求导得：，令，解得：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，即：的最大值约为11.7，取得最大值时的值约为.18．(1)(2)【详解】（1）根据题意，，解得，则，所以双曲线的渐近线方程为；（2）设点到直线的距离为，当直线轴时，，根据等面积法得，解得；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然），则直线的方程为，由，得，所以①，同理，由可求得②，根据等面积法得，即，即，即③，将①②代入③得，又点到直线的距离为定值，所以，解得，时，，即，综上所述，时，点到直线的距离为定值．19．(1)；(2)，证