10.5 分式方程（第2课时 分式方程的增根）教学设计

2/210.5分式方程第2课时教学设计1.教学内容本课选自苏科版八年级下册第十章《分式》10.5分式方程第2课时。主要研究分式方程化整去分的步骤；增根的含义与产生原因；验根方法；分式方程无解的两种情形。2.内容解析本课在学生已初步掌握“分式方程的基本解法”的基础上，引入一个“求得解却不满足原式”的问题情境：5x-4x-2=4x+1x-2-1。通过“去分母—解整式方程—检验”全过程，暴露x=2使分母为0而失效，借此提出“增根”概念。随后用“将分式方程两边同乘最简公分母”这一关键变形解释增根的产生——未知数取值范围被人为扩大。典例3的两小题展示了“有解”与“有增根致无解”两种结果，进一步明确“四步走”策略：化、解、验、写。巩固练习围绕“判断增根”“确定无解”“含参求参”三类典型任务展开，突出检验的重要性及方法优劣（代入原式vs.代入最简公分母）。通过提升题，引导学生利用“增根＝使最简公分母为0的值”刻画参数范围，强化迁移与应用。整体脉络清晰：情境引入→概念建构1.教学目标•会判断所求得的根是不是分式方程的根，进一步掌握分式方程的解法步骤。•了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性。2.目标解析•能正确写出分式方程的最简公分母；

•按“一化二解三验四写”步骤独立求解并判定根的有效性；

•在新知巩固题中，正确给出全部原方程解或说明无解，准确率≥80%。•说出“去分母”可能引入增根的数学本质；

•能用“代入最简公分母=0”快速检验增根；

•在含参问题中，利用“增根条件”列式求参，并能解释结果含义。3.重点难点•教学重点：增根概念的形成与理解。分式方程“一化二解三验四写”规范流程。

•教学难点：识别增根的本质原因——未知数取值范围扩大。在含参分式方程中用“增根条件”确定参数取值。学生已掌握一元一次/二次方程及基本分式方程的求解，但对“去分母”产生的隐含条件关注不足，常忽视检验。对含参分式方程的处理经验有限，易将“解整式方程”与“原方程解”混淆。本课需通过直观反例、对比练习和“最简公分母=0”法，帮助学生构建“增根—检验—无解”的整体认知，突破“为什么与怎样检验”这一难点，并为后续复杂函数方程奠定基础创设情景，引入新课问题情境：

课堂引入解方程5x－4x－2＝解：方程两边同乘3(x－2)，得3(5x－4)＝4x＋10－(3x－6)．解这个一元一次方程，得x＝2．x＝2是不是这个方程的解？为什么？不是，当x＝2时，分式5x－4x－2【设计意图】让学生亲历“去分母→出现错误答案”的过程，明确本节学习方向：探究增根产生的原因及检验方法。探究点：分式方程的增根1.新知归纳分式方程的增根：将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根（extraneousroot）．分式方程产生增根的原因是什么？分式方程在化为整式方程的过程中，未知数允许的范围扩大了．2.讨论交流①你认为在解分式方程的过程中，哪一步的变形可能会产生增根？分式方程去分母时可能会引起增根．②为什么解分式方程必须检验？如何检验比较简便？由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时可能产生增根，因此解分式方程必须进行检验．将解得的根代入最简公分母，看最简公分母的值是不是0，若为0，则是增根．3.典例分析例3解下列方程：(1)30x＝20解：(1)方程两边同乘x(x＋1)，得30(x＋1)＝20x．一化(化分式方程为整式方程)解这个一元一次方程，得x＝－3．二解(得到的整式方程)检验：当x＝－3时，x(x＋1)＝6≠0．三验(代入最简公分母检验)所以原方程的解为x＝－3．四写(写出原分式方程的解)(2)x－2x＋2解：(2)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得(x－2)2－(x解这个一元一次方程，得x＝－2．检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝0，x＝－2是增根．所以原方程无解.【方法总结】验根有两种方法：第一种代入原分式方程；第二种代入最简公分母．通常使用第二种方法.由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须对解得的根进行检验．注意：增根不能舍掉．【设计意图】通过“现实问题→数学抽象→概念形成”的链条，帮助学生准确把握“增根”概念及其来源。解下列方程：(1)4＋xx－1－5＝2xx－1(3)3x＋1＝6x2－1解：(1)方程两边同乘(x－1)，得4＋x－5(x－1)＝2x．解这个一元一次方程，得x＝32检验：当x＝32时，x－1＝12所以原方程的解为x＝32．(2)方程两边同乘(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)．解这个一元一次方程，得x＝2．检验：当x＝2时，x－2＝0，x＝2是增根，所以原方程无解．(3)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得3(x－1)＝6．解这个一元一次方程，得x＝3．检验：当x＝3时，(x＋1)(x－1)＝8≠0．所以原方程的解为x＝3．(4)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－(x2－1)解这个一元一次方程，得x＝1．检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，x＝1是增根，所以原方程无解．能力提升1．(1)分式方程1－xx－2(2)化简分式1－xx－2＋2解：(1)无解．因为解方程1－xx－2＋2＝1(2)1－xx－2＋2当x≠2时，2-x2－x＝1；当x＝2所以化简结果不可能为0．2．若解关于x的分式方程2x－2＋mxx2解：去分母，得2x＋4＋mx＝3x－6．由分式方程有增根，得到(x＋2)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－2．当x＝2时，4＋4＋2m＝0，即m＝－4；当x＝－2时，－2m＝－12，即m＝6．综上，m的值是－4或6．3．已知关于x的方程3－2xx－3＋2解：两边同乘(x－3)得：(3－2x)－(2＋mx)＝3－x，整理，(m＋1)x＝－2，当m＋1＝0(即m＝－1)时，此方程无解，所以原分式方程无解．当m＋1≠0时，解得x＝－2若此解是原分式方程的增根，则原分式方程无解．原方程的增根为x－3＝0，即x＝3．所以－2m＋1＝3，即综