北航计算方法期末试卷与答案

吐东碗左碗天大老

2013-2014学年第一学期期末

《计算方法》

班号学号姓名成绩

《计算方法》期末考试试卷

注意事项：1、闭卷考试，严格遵守考场纪律;

2、答案应用钢笔或签字笔写在答题维L,写在试卷，无效。

一、填空题（每题5分，共40分）

1.已知e=2.7182818…对于e=2.7182的取值，其有效数字为位。

2.求解非线性方程k+X_4=0的迭代公式是

3.若/")=F+V+r+%,则/[2°,2122,23,24,25,26,21=

/[2°,21,22,23,24,25,2\27,28]=

4.区间［。向上的三次样条插值函数S（x）在口力］上具有直到阶的连续导

数。

5.〃+1个节点的高斯求积公式的代数精确度为

-321「2一

6.设4='X=，则凡=---------•||<=

一乙1jL_—D

||AXL<（注意：不计算的值）。

7.拉格朗日插值公式p.（x）=£yklk（x）中的系数（x）的特点是：t/式x）=

&=0七=0

~2aO-

8.设A=。3a给出使追赶法数值稳定地求繇方程组Ax="%£内的。的取

0〃2

值范围（最大取值区间）是。

二、解答题（共5道大题，总分60分）

9、求一个次数不高于3的多项式《"），满足下列插值条件，并估计误差。（10

分）

4123

y2412

3

1。、试用〃八2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分'=£占-3。分）

11、用Newton法求/[x）=x-cosx=0的近似解。（10分）

3X14-2X2+10x3=15

、对方程组（分）

12内―10

<104X2-x3=5

2%,+10x2-4/=8

试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

13、设初值问题|'=力+2），。。＜]

l.v（0）=l

（1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；

⑵写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式,

并求解X，%，保留两位小数。

14、确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精

确度

（10分）

=0.69444444（1分）

应用科特斯公式得：

/…专7/（。）+32叫卜12叫）+32/图+7/（1）

（2分）

=0.6931746（2分）

11、

解：由零点定理，x-cosx=0在（04）内有根。（1分）

由牛顿迭代格式元向二5一Z-c°sZ〃=oj…（4分）

1+sinxn

取不=［得，

4

x,=0.73936133;x=0.739085178

2（4分）

占=0.739085133x4=0.739085133

故取工・。%=（）-739085133（1分）

12、解、调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

10%一4X2-XJ=5

<2x}+10x2-4X3=8（4分）

3工1+2X2+10x3=15

故对应的高斯―塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

=卜4芯幻+靖+5）

q（—2守）+时）+8）

（4分）

='(-3工”一2以川+15)

取3°）=（0,0,0尸，经7步迭代可得:

x*®x<7)=(0.999991459,0.999950326,1.000010)7（2分）

13、解：⑴yn+i=+0.l(3xn+2yn)=0.3x„+1.2yn（2分）

改进的欧拉公式如下：

、句="+"（乙，”）

h-（3分）

yi=y+-"（&，"）+/UP上用）

n+n4n+

⑵%+1="+—（3&+2%）+3（玉+0.2）4-2yn

=），“+0.1（6%+2），“+加+（）.6）

333

•••加=/,+/1+而

迭代得：y,=-+—=1.575,yo=-x—+-x（）.2+—=2.585（5分）

1240-240440

14、证明：求积公式中含有三个待定系数,即AT，A），A，将/（幻=1,北丁分别代

入求积公式，并令左右相等，得

A_i+4+A=2h

,-//（A_1-A）=。（3分）

/（AT+A）=—h3

J

得A_1=A=），4=??。所求公式至少有两次代数精度。（2分）

又