2026年山东济南历下区中考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页九年级数学学情调研（2026.04）考试时间120分钟满分150分第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．的倒数是（

）A．2 B． C． D．2．为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱．某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（

）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同3．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．5．如图，在平面直角坐标系中，将点A先向右平移、再向下平移得点，则点的坐标可能为（

）A． B． C． D．6．计算的结果是（

）A．x B． C． D．7．对于反比例函数，下列结论中错误的是（

）A．该函数的图象与坐标轴无交点B．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上C．若点在该函数的图象上，则D．满足的的取值范围为8．大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有“东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时”三个展厅．若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率是（

）A． B． C． D．9．如图，为等腰直角三角形，其中，按如下步骤作图：（1）在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D；（2）以点C为圆心，以的长为半径作弧，交射线于点P，分别以点D和P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线交线段于点E．有以下结论：①是直角三角形；②；③；④．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．已知点在抛物线（为常数，）上，点在直线上．若有且仅有一个整数使得成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．写出一个使在实数范围内有意义的的值：______．12．一个不透明的袋中装有3个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅拌均匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则_______．13．两个全等的正五边形按如图所示的方式拼接在一起，以点A为圆心，的长为半径作弧．若，则图中阴影部分的面积是________．14．甲、乙两种物质的质量与体积的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多，则x的值为______．15．如图，在矩形纸片中，点E是边上一点，将纸片沿直线折叠，使点A落在点F处，连接并延长，交边于点G，若点F为线段的中点，，则_____．三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．计算：．17．解不等式组：，并写出它所有的正整数解．18．已知：在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且．求证：．19．为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图所示．图为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧与地面垂直，踏板的倾斜角为30°，踏板顶端A处到地面的距离为41．(1)当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端处到车厢左侧的距离；(2)该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度．图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面与地面平行，踏板的倾斜角减小至．若公交站台的高度为，求此时踏板顶端A处到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）20．如图，点，在上，，点在的延长线上，过作的切线，切点为，连接交于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．21．围绕全市项目赋能年规划，某区启动青春护航志愿服务行动．为了解该行动中智慧工地项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的30名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行整理．数据分为四组，具体如下：A组：；B组：；C组：；D组：．下面给出了相关信息：a．C组全部数据为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49．b．不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下：组别频数频率A：9B：C：12D：6

c．各组志愿者的平均服务时长如下：组别A：B：C：D：平均服务时长（单位：小时）203845.555根据以上信息，回答下列问(1)统计表格中m的值为________，n的值为_________；(2)本次志愿者服务时长的中位数是_________小时；(3)扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角是________度；(4)求这30名志愿者的平均服务时长．22．为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于月中旬举办“校园读书节”，现需采购两种图书．已知购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元．(1)求两种图书的单价；(2)该校计划购买两种图书共本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．23．正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点．(1)求m和k的值；(2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D．①如图1，连接，当平分时，求的面积；②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标．24．在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线：经过，两点．(1)求点的坐标和，的值；(2)已知点是抛物线上一点，过点作直线，与抛物线在第一象限内交于点，与直线交于点，设点的横坐标为．如图，当点与点重合时，求的值；如图，当点是的中点时，连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由．25．在中，（），点D在边上，且．将射线绕点C按顺时针方向旋转得射线，点E在射线上（点E与点C不重合），连接，．(1)如图1，当时，若，与的位置关系为______，与的数量关系为______（用等式表示）；(2)当时，与交于点F，连接．①如图2，若，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②如图3，若，求与的面积比．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【详解】解：的倒数是．2．A【详解】解：由三视图的定义可知，某款升降柱的主视图与左视图相同．3．C【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为．4．D【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意；B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意；故选：D．5．B【详解】解：∵，将点A先向右平移、再向下平移得点∴点的横坐标大于，纵坐标小于1，故A、C、D均不符合题意，B符合题意．6．B【分析】按照同分母分式减法法则计算，整理分子后因式分解，约分即可得到结果．【详解】解：．7．C【分析】根据可判断A正确；根据可得B正确；根据解方程求出的值，可得C错误；结合函数图象即可得D正确．【详解】解：对于反比例函数，，∴该函数的图象与坐标轴无交点，则选项A正确；若点在该函数的图象上，则，∴，∴点也在该函数的图象上，则选项B正确；∵点在该函数的图象上，∴，解得或，则选项C错误；对于反比例函数，当时，，当时，，且随的增大而减小，令，则，∴结合函数图象可知，满足的的取值范围为，则选项D正确．8．A【分析】记“东土大邑”为，“率民事神”为，“百工惟时”为，根据题意画树状图法得到所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，代入概率公式求解即可．【详解】解：记“东土大邑”为，“率民事神”为，“百工惟时”为，根据题意画树状图如下，一共有种等可能的结果，其中恰好选中“东土大邑”和“百工惟时”的结果有种，∴他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率为．9．B【分析】根据等腰直角三角形的性质，作图的痕迹得到是的角平分线，延长线于点，由角的和差计算可判定①②正确；过点作于点，设，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理得到的值，由相似三角形的判定和性质得到，则可用含a的式子表示出，结合周长的计算，线段的数量关系可判定③④错误，由此即可求解．【详解】解：∵为等腰直角三角形，，∴，根据作图得到，是的角平分线，延长线于点，∴，∴是直角三角形，故①正确；∴，∵，∴，故②正确；如图所示，过点作于点，∵是角平分线，，∴，设，∵，，∴，则，∴，∴，，∵，∴，又，∴，∴，即，∴，则，∴，故③错误；∴，∴，故④错误；综上所述，正确的有①②，共2个，故选：B．10．A【分析】用作差法得到关于的二次函数，利用二次函数开口方向和对称轴位置，判断满足条件的唯一整数，通过相邻整数点的函数值符号列出不等式组，解不等式组求出的范围即可．【详解】解：∵点在抛物线上，点在直线上，∴，，令，∵，∴二次函数开口向上，且的对称轴为，要使仅有一个整数满足，即，由对称轴位置可知，满足条件的唯一整数只能是，∴，∵，，，∴，解得，∴的取值范围是．11．（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义得到，然后解不等式，取恰当的值即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，解得，∴的值为（答案不唯一）．12．7【分析】根据概率公式列方程即可求解．【详解】解：根据题意得，，解得，经检验是原分式方程的解．13．【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的一个内角度数，利用周角的定义求出扇形的圆心角度数，最后利用扇形面积公式求解即可．【详解】解：正五边形的内角和为，正五边形的每个内角为，由图可知，，则阴影部分的面积为．14．28【分析】分别求出甲和乙的表达式，然后根据“甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多”列方程求解即可．【详解】解：设甲的表达式为将代入得，解得∴甲的表达式为同理可得，乙的表达式为∵当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多∴解得．15．【分析】先根据题意设，则，再根据勾股定理求出，进而得出，然后设，则，作，可得，再表示出，接下来根据勾股定理求出，根据折叠性质表示出，再根据勾股定理可得，即可得，进而得出，则此题可解．【详解】解：在中，，设，则，由勾股定理，得，∴．∵点F为线段的中点，∴．设，则，连接，过点F作，交于点H，∴，∴．根据勾股定理，得．根据折叠的性质得，在中，，即，解得，∴，∴．16．【分析】利用特殊角三角函数、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式这几类运算规则计算每一项的值，各项计算后的值进行加减运算．【详解】解：．17．不等式组的正整数解为1、2【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，求出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，再在总解集中找出所有正整数即可．【详解】解：解不等式①得：解不等式②得：原不等式组的解为：则不等式组的正整数解为：1、2．18．见解析【分析】先利用平行四边形的性质得到，，；再由推出，结合已知，证明，得到；最后利用，通过线段的和差关系推出【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴∵，∴，∴，即在和中，，∴，∴∵，∴，∴19．(1)踏板底端处到车厢左侧的距离约为；(2)此时踏板顶端处到地面的距离约为．【分析】（）过点作地面于点，则，在中，，，，则，再求解即可；（）过点作地面于点，过点作于点，由题意可知踏板长度不变，即，由站台高度，且平行地面，则有，在中，，则，然后再由线段的和与差即可求解．【详解】（1）解：如图，过点作地面于点，则，在中，，，∴，∵，∴，∴，答：踏板底端处到车厢左侧的距离约为；（2）解：如图，过点作地面于点，过点作于点，由题意可知，踏板长度不变，即，∵站台高度，且平行地面，∴，在中，，∴，∴，答：此时踏板顶端处到地面的距离约为．20．(1)见解析；(2)的长为．【分析】（）连接，由是的切线，则，即，所以，又，则，从而可得，然后通过等角对等边可得；（）设的半径为，则，解得或（舍去），则，在中，由勾股定理得，从而求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵是的切线，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：设的半径为，则，∵，，∴，∴，由（）知，∴，在中，由勾股定理得：，∴，解得或（舍去），∴，在中，由勾股定理得：，∴的长为．21．(1)，(2)(3)(4)【分析】（1）根据总人数为30，用总人数减去A、C、D组的频数，求出的值；再用C组频数除以总人数，求出的值．（2）将30个数据按从小到大排列，中位数为第15、16个数据的平均数，结合各组频数确定这两个数据所在的组，进而求出中位数．（3）先计算B组的频率，再用乘以B组的频率，得到B组对应扇形的圆心角度数．（4）根据加权平均数公式，用各组的平均服务时长乘以对应频数，求和后除以总人数，得到30名志愿者的平均服务时长．【详解】（1）解：，；（2）解：总共有30个数据，中位数为第15、16个数据的平均数．A组频数为9，B组频数为3，，说明前12个数据为A、B组数据，第13到第24个数据为C组数据，因此第15、16个数据都在C组．C组数据按从小到大排列为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49．∴第个数据是42，第个数据是43，∴中位数；（3）解：组的频率，圆心角度数；（4）解：平均服务时长（小时），22．(1)种图书单价为元，种图书单价为元(2)购买种图书本，种图书本【分析】（）设种图书单价为元，种图书单价为元，根据购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元，可列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（）设购买种图书本，则购买种图书本，根据种图书的数量不超过种图书数量的一半，可列出一元一次不等式，解不等式得到的取值范围，再根据总费用单价数量，结合的取值范围，即可得到答案．【详解】（1）解：设种图书单价为元，种图书单价为元，根据题意，列方程组得：，解得：，答：种图书单价为元，种图书单价为元；（2）解：设购买种图书本，则购买种图书本，总费用为元，根据题意，列不等式：，解得，∵是正整数，∴，总费用表达式为：，∵，∴随的增大而增大，当取最小值时，总费用最小，此时种图书数量为(本)，(元)，答：购买种图书本，种图书本时所需费用最少．23．(1)，(2)①10；②【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，设点，，其中，求出长，利用两点间距离公式求出长，最后利用求解即可；②根据等腰三角形的性质的得到，设，则，求出、和长，利用列出等式，求解即可．【详解】（1）解：将点代入得：，解得：，，将代入得：，解得：；（2）①解：由题意得：轴，如图，过点作于点，平分，，由（1）知，，设点，，其中，、，；②解：由（1）知，，是以为底的等腰三角形，，设，则，其中，、、，，，解得：或（舍去），．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、两点间距离公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．24．(1)点的坐标为，的值为，的值为；(2)的值为；四边形是菱形，理由见解析．【分析】（）先求出，，，然后利用待定系数法即可求解；（）如图，分别过点作轴，交于点，过作轴，交于点，求出，直线解析式为，当时，，则，所以，当时，，则，所以，证明，所以，故的值为；设横坐标为，横坐标为，则，，如图，分别过点作轴，交于点，过作轴，交于点，证明，所以，由得直线解析式为，故有，，则，，