2026年山东济南莱芜区中考数学二模试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年初中学业水平阶段性质量监测二数学试题注意事项：1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟．2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置．3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效．4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．的相反数是（

）A．2026 B． C． D．2．如图所示的几何体的左视图是（

）A． B． C． D．3．每到初夏时节，校园里木棉絮如雪花般漫天飞舞，经测算，木棉飞絮的直径约为，该数据0.000023用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．5．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（

）A． B． C． D．6．下列判断不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（

）A． B． C． D．8．为迎接2026年校园体育节，学校设置了篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目，每名学生从这三个项目中随机选一个参加，求小明和小亮两名同学都选择篮球项目的概率是多少？（

）A． B． C． D．9．如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点，若，，则的长为（

）A．12 B．20 C．30 D．4010．如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．）11．若某个正多边形的一个内角为，则这个正多边形的边数为________；12．一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________．13．化简：__________．14．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时．15．如图，正方形不动，正方形绕点逆时针旋转，旋转角，，连接，，，，，，在旋转过程中，当点，，在同一直线上时，则线段的长为__________．三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．计算：．17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

18．如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且，求证：．19．如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，．(1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）；(2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）20．如图，与相切于点，直径的延长线交于点，连接，．(1)求证：；(2)若，，求的半径．21．为丰富校园文化生活，某校组织七、八年级全体学生开展“书香校园·悦读成长”读书知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理，共分成A、B、C、D四个等级，成绩在90分以上（含90分）为优秀．【信息整理】信息1：等级划分等级ABCD成绩信息2：统计图说明信息3：分组成绩明细七年级所有数据中的部分同学的成绩：…、95、93、91、91、91、91、88、87、86、85、84、…；八年级C组同学的成绩：89、88、88、88、88、88、87．【数据分析】年级中位数众数优秀率七年级91八年级89请根据以上信息，解答下列问题：(1)_________，_________，________；(2)八年级优秀人数所占的圆心角度数为________°；(3)若该校七年级共有450人，八年级共有400人，请估计该校七、八年级成绩优秀的学生共有多少人？22．雪野湖景区纪念品店花费2400元购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣共100件．两种产品的成本价与销售价如下表所示：产品名称成本价（元/件）销售价（元/件）雪野鱼粉速食包1522莱芜梆子文创钥匙扣2535(1)求该店第一次购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件？(2)五一假期临近，该店第二次购进这两种产品共120件．此次进货预算不超过2600元，且全部售完．进货时，雪野鱼粉速食包的成本价比原来提高了，莱芜梆子文创钥匙扣的成本价打九折，两种产品的售价保持不变．问：纪念品店此次购买雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件时，才能获得最大利润？最大利润是多少元？23．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．(1)求这两个函数的解析式：(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点是第四象限反比例函数图象上的一点，当的面积为6时，求点的坐标；(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由．24．抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式及B点坐标；(2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标．25．如图，矩形中，，，点为边上的动点（不与、重合），连接，将沿直线折叠，得到，点的对应点为点．(1)当点落在对角线上时，求线段的长；(2)将沿直线折叠，得到，点的对应点为点，连接，，当、、三点共线时，请判断四边形的形状，并证明：(3)连接，，在点的运动过程中，请直接写出的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】解：的相反数是．2．C【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图（注意所有的看到的棱都应表现在左视图中）．【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条竖直的虚线．故选：C．3．D【分析】绝对值小于1的数的科学记数法表示，一般形式为，其中，将0.000023的小数点向右移动5位得到2.3，因为，所以得．【详解】解：将0.000023的小数点向右移动5位得到2.3，∴．4．C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一分析判断各个图形即可．【详解】A项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，但不能沿着某条直线翻折后与另一半重合，所以是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误；B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，但能沿着某条直线翻折后与另一半重合，所以不是中心对称图形，而是轴对称图形，故B错误；C项：该图形既能绕着某点旋转后与原图形重合，也能沿着某条直线翻折后与另一半重合，所以既是中心对称图形，又是轴对称图形，故C正确；D项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，但能沿着某条直线翻折后与另一半重合，所以不是中心对称图形，而是轴对称图形，故D错误．5．A【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可．【详解】解：∵P为的黄金分割点，∴，即，∴，∴．（负值不合题意已经舍去）6．C【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可．【详解】解：对于A，∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，∴，A判断正确．对于B，∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，B判断正确．对于C，题目未说明的取值范围，当时，不等式两边乘后不等号方向改变，可得，当时，可得，因此不一定成立，C判断错误．对于D，∵，且，可得，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，D判断正确．综上，不正确的是C．7．B【分析】先将已知根代入方程求出的值，再解一元二次方程得到另一个根．【详解】解：∵是一元二次方程的根，∴，解得，∴原方程为，解得，∴方程的另一个根为．8．A【分析】先求出所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可．【详解】∵每名学生从3个运动项目中选一个，各有3种等可能的选择，小明和小亮的选择相互独立，∴两人选择项目的所有等可能结果总数为，∵两名同学都选择篮球项目的结果只有1种，∴所求概率为．9．C【分析】由作图可得，，平分，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，结合，得，则，再证明，得出，再证明，得出，然后根据线段和差列方程求解．【详解】解：由作图可得，，平分；∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴四边形是菱形；∵，∴，则，∵四边形是菱形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴解得．10．B【分析】根据时，可判断①；利用勾股定理解可判断②；由直角三角形斜边中线的性质可得，由勾股定理列出y关于t的二次函数关系式，可得取最小值，进而可判断③；当与相似时，或，可判断④．【详解】解：由图2知，当时，，时，，故①错误；时，，，，在中，，，，，故②正确；如图，连接，，点为中点，，，，当时，取最小值，最小值为8，的最小值为，有最小值为，故③正确；当与相似时，，或，或，解得或，故④错误；综上可知，正确结论的个数是2．11．【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角公式，通过内角求出外角，利用多边形外角和度，用除以外角度数即可求出这个正多边形的边数即可解答．【详解】解：正多边形的每个内角都相等，且为，其一个外角度数为，则这个正多边形的边数为，故答案为：．12．【分析】设地砖的边长为1，根据勾股定理求出阴影区域的边长，求出总面积及阴影区域的面积，进而根据概率公式计算即可．【详解】解：设地砖的边长为1，则阴影区域的边长为，∴总面积，阴影区域的面积，∴小球停留在阴影区域的概率是．13．【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对各多项式因式分解，约分后即可得到化简结果.【详解】解：．14．【分析】分别求出甲、乙的速度，再由两车相遇时，距离A城的距离相等建立方程求解即可．【详解】解：由题意得，，，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴乙追上甲时，乙行驶了．15．##【分析】先证明，，可得三点共线，，进一步可得答案．【详解】解：∵正方形，正方形，∴，，，，∴，，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴三点共线，∴，∴．16．【分析】先计算乘方，绝对值，零次幂，特殊角的正弦值，化简二次根式，再合并即可．【详解】解：．17．，数轴表示见解析【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集是：，将解集在数轴上表示为：

18．见解析【分析】根据平行四边形的性质得，，然后根据证明即可证明结论成立．【详解】证明：四边形是平行四边形，，在和中，，，．19．(1)遮蔽宽度为；(2)点下降的高度约为．【分析】（1）由对称性可知，，根据正切的定义求出，即可得出答案；（2）过作于点，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解．【详解】（1）解：由对称性可知，，在中，，，∵，，．答：遮蔽宽度为；（2）解：如图，过点作于点．，，，，∴四边形是矩形，，在中，，当时，；当时，，．答：点下降的高度约为．20．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形等，能够灵活使用定理公式解三角形是解题的关键．（1）连接，由是的切线，是的直径可推得，即可证明结论；（2）先解直角三角形得，由题意可以证得，，从而得，计算得，，根据即可求出答案．【详解】（1）解：连接，是的切线，，，，是的直径，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，的半径为．21．(1)，，(2)126(3)320人【分析】（1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值；（2）用乘八年级优秀人数所占比例可得答案；（3）利用样本估计总体可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．【详解】（1）解：∵D组有8人，∴把七年级所有数据从小到大排列，排在中间的两个数是86，87，∴中位数，∵八年级成绩中88出现的次数最多，∴众数，∵，∴；（2）解：；（3）解：（人），答：该校七、八年级成绩优秀的学生共有320人．22．(1)第一次购进雪野鱼粉速食包10件，莱芜梆子文创钥匙扣90件(2)第二次购进雪野鱼粉速食包17件，购进莱芜梆子文创钥匙扣103件，最大利润为1381元【分析】（1）设该店第一次购进雪野鱼粉速食包件，莱芜梆子文创钥匙扣件，根据“花费2400元购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣共100件”及表格成本价列方程组求解即可；（2）设第二次购进雪野鱼粉速食包件，则购进莱芜梆子文创钥匙扣件，根据“此次进货预算不超过2600元”列不等式求出m的值，设总利润为元，求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可．【详解】（1）解：设该店第一次购进雪野鱼粉速食包件，莱芜梆子文创钥匙扣件，根据题意得：解得：答：第一次购进雪野鱼粉速食包10件，莱芜梆子文创钥匙扣90件；（2）解：设第二次购进雪野鱼粉速食包件，则购进莱芜梆子文创钥匙扣件，由题意得：，设总利润为元，则，，随的增大而减小，又取整数，当时，，莱芜梆子文创钥匙扣件数是，答：第二次购进雪野鱼粉速食包17件，购进莱芜梆子文创钥匙扣103件，最大利润为1381元．23．(1)，(2)或(3)存在，或【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入,可求一次函数解析式；（2）连接，由O是AC的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标；（3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解．【详解】（1）解：将点代入，得，，将代入，得，，，将点、代入，得，解得，；（2）解：连接，过作轴的平行线交直线于点直线与反比例函数交于点，、关于原点对称，，是的中点，的面积为6，的面积为3，，，直线的表达式为：，设，则，，，，当时，解得：（舍去）或，，当时解得：（舍去）或，，综上所述：点的坐标为或；（3）解：存在点，理由如下：设，，当为对角线时，解得，；当为对角线时，，解得，；综上所述：点坐标为：或．24．(1)，(2)或或或(3)【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令，求出x的值，从而求得点B的坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，设，由勾股定理和两点间距离公式得出的长度，和的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当N