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文档简介

第3章函数函数概念及表示方法3.1函数的表示法3.2函数的性质3.3函数的应用举例3.4

本章将在初中所学函数知识的基础上,利用集合的知识重新定义函数,让函数更全面更具体地帮助我们解决问题。3.3函数的性质3.3.1函数单调性

图３-５ 1.函数的单调性

一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果对于定义域I

内的某个区间D

内的任意两个自变量x１和x２,当x１＜x２时,都有f(x１)＜f(x２),那么就说f(x)在区间D

上是增函数(Increas-ingFunction)．

一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果对于定义域I

内的某个区间D

内的任意两个自变量x１和x２,当x１＜x２时,都有f(x１)＞f(x２),那么就说f(x)在区间D上是减函数(Decrea-singFunction)。

如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D

叫做y＝f(x)的单调区间。 2.利用定义判断函数f(x)在给定的区间D

上的单调性的一般步骤。

例３-６如图３-７是定义在闭区间[－５,５]上的函数y＝f(x)的图像,根据图像说出y＝f(x)的单调区间,及在每一单调区间上,y＝f(x)是增函数还是减函数。图３-７

解:函数y＝f(x)的单调区间有[－５,－２),[－２,１),[１,３),[３,５],其中y＝f(x)在区间[－５,２), [１,３)上是减函数,在区间[－２,１),[３,５]上是增函数。注意: (１)单调区间的书写; (２)各单调区间之间的关系。

以上是通过观察图像的方法来说明函数在某一区间的单调性。3.3.2函数奇偶性

观察图３-９中各个函数的图像,可以发现第一个函数图像关于原点对称,第三个函数图像关于y轴对称。图３-９

一般的,如果是奇函数,那么它的函数图像关于原点对称;如果是偶函数,那么它的函数图像关于y轴对称。

偶函数图像上关于y轴对称的点,横坐标互为相反数,纵坐标相等,如图３-１０(a)所示;奇函数图像上的点关于原点对称的点,横坐标、纵坐标都互为相反数,如图３-１０(b)所示。图３-１０

设函数y＝f(x)的定义域为数集D,对任意的x∈D,都有－x∈D(即定义域关于坐标原点对称),且 (１)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于y

轴对称,此时称函数y＝f(x)为偶函数; (２)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于坐标原点对称,此时

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