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文档简介
长江全能学案七年级下册数学电子版(人教版同步)说明:本学案严格贴合人教版七年级下册数学教材,同步覆盖各单元知识点、课堂练习、课后巩固及单元检测,内容参考长江全能学案核心题型与编排逻辑,可直接用于预习、课堂同步学习及课后复习,兼顾基础性与提升性,适配初中一年级下学期数学学习需求,部分内容参考相关电子版资源优化整理,确保贴合学案原版风格与难度梯度。第一章相交线与平行线1.1相交线【知识点梳理】邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,叫做邻补角(互补,和为180°)。对顶角:两个角有一个公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,叫做对顶角(对顶角相等)。垂线:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足;过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。【课堂练习】下列说法正确的是()
A.邻补角一定互补B.互补的角一定是邻补角C.对顶角不一定相等D.垂线段比斜线段短
答案:A解析:邻补角的定义就是互补的两个角,且有公共边和反向延长线;互补的角不一定有公共边,不一定是邻补角;对顶角一定相等;垂线段是点到直线的最短距离,比斜线段短需强调“同一点到同一直线”,D表述不严谨。
如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,∠BOD=35°,求∠COE的度数。
答案:125°解析:∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°;∠AOC与∠BOD是对顶角,∴∠AOC=35°;∴∠COE=∠AOE+∠AOC=90°+35°=125°。
1.2平行线及其判定【知识点梳理】平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(记作:a∥b);同一平面内,两条直线的位置关系只有相交或平行两种。平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行(平行传递性)。平行线的判定:
①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行。
【课后巩固】在同一平面内,下列说法错误的是()
A.不相交的两条直线是平行线B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.两条直线平行于同一条直线,这两条直线互相平行D.两条直线相交,有且只有一个交点
答案:A解析:A缺少“同一平面内”的前提(异面直线不相交也不平行),其余选项均正确。
如图,∠1=∠2,求证:AB∥CD。
证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),∴∠2=∠3(等量代换),∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)。
1.3平行线的性质【知识点梳理】平行线的性质:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补。平行线的判定与性质的区别:判定是由角的关系推线平行,性质是由线平行推角的关系。平移:把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等。【典型例题】如图,AB∥CD,∠A=120°,∠B=100°,求∠C和∠D的度数。
答案:∠C=80°,∠D=60°解析:过点E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴EF∥CD(平行传递性);∵AB∥EF,∴∠A+∠AEF=180°(同旁内角互补),∴∠AEF=60°;∵∠AEB=180°,∴∠BEF=120°;∵EF∥CD,∴∠B+∠BEF=180°(同旁内角互补),∠D=∠AEF=60°(内错角相等),∴∠C=180°-100°=80°。
第一章单元检测(时间:45分钟满分:100分)选择题(每题3分,共30分)
1.下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是()(答案:C)
2.过一点画已知直线的垂线,可画()条(答案:A.1)
3.下列能判定AB∥CD的条件是()(答案:B.∠ABC+∠BCD=180°)
4.两直线平行,下列说法错误的是()(答案:D.同位角互补)
5.平移后得到的图形与原图形相比,不变的是()(答案:A.形状和大小)
6.如图,直线a∥b,∠1=50°,则∠2的度数是()(答案:C.130°)
7.下列说法正确的是()(答案:D.垂线段最短)
8.如图,OE⊥CD,∠AOE=30°,则∠BOD的度数是()(答案:B.60°)
9.同一平面内,两条直线的位置关系是()(答案:C.相交或平行)
10.如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=110°,则∠4的度数是()(答案:A.70°)
填空题(每题3分,共15分)
11.对顶角的性质是__________(答案:对顶角相等)
12.若直线a⊥b,垂足为O,则∠AOB=__________°(答案:90)
13.两直线平行,内错角__________(答案:相等)
14.把一个图形沿某一方向平移5cm,得到的新图形与原图形对应点的距离是__________cm(答案:5)
15.如图,AB∥CD,∠A=75°,则∠ACD=__________°(答案:105)
解答题(共55分)
16.(8分)如图,直线AB与CD相交于点O,∠AOC=70°,求∠BOD、∠BOC的度数。(答案:∠BOD=70°,∠BOC=110°)
17.(8分)求证:如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行。(提示:利用同位角相等判定平行)
18.(10分)如图,AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F,∠BEF=120°,求∠EFD的度数,并说明理由。(答案:60°,两直线平行,同旁内角互补)
19.(10分)如图,平移△ABC,使点A移动到点A′,画出平移后的△A′B′C′,并说明平移的方向和距离。(略,平移方向为A到A′的方向,距离为AA′的长度)
20.(19分)如图,AB∥CD,∠B=∠D,求证:AD∥BC。(提示:利用平行线性质和判定推导)
第二章实数2.1平方根【知识点梳理】算术平方根:如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(记作:√a,读作“根号a”);0的算术平方根是0;负数没有算术平方根。平方根:如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x叫做a的平方根(或二次方根);一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。平方根与算术平方根的区别:正数的算术平方根只有一个(正数),平方根有两个(互为相反数);算术平方根是非负数,平方根可以是负数。【课堂练习】求下列各数的算术平方根和平方根:
(1)16(2)0.25(3)0(4)49/81
答案:(1)算术平方根4,平方根±4;(2)算术平方根0.5,平方根±0.5;(3)算术平方根0,平方根0;(4)算术平方根7/9,平方根±7/9。
下列说法正确的是()
A.25的平方根是5B.算术平方根等于本身的数是0和1C.√16=±4D.负数有算术平方根
答案:B解析:A选项25的平方根是±5;C选项√16表示16的算术平方根,等于4;D选项负数没有算术平方根。
2.2立方根【知识点梳理】立方根:如果一个数x的立方等于a,即x³=a,那么这个数x叫做a的立方根(或三次方根,记作:√[3]a,读作“三次根号a”)。立方根的性质:正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0;任何实数都有且只有一个立方根。立方根与平方根的区别:平方根只有非负数有,立方根任何实数都有;正数的平方根有两个,立方根只有一个。【课后巩固】求下列各数的立方根:
(1)8(2)-27(3)0.008(4)-1/64
答案:(1)2;(2)-3;(3)0.2;(4)-1/4。
若√[3]x=2,则x=__________;若√[3]x=-3,则x=__________(答案:8;-27)2.3实数【知识点梳理】实数的定义:有理数和无理数统称为实数;有理数(整数、分数)可以化为有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数(如π、√2、√3等)。实数的分类:按正负分,可分为正实数、0、负实数;正实数分为正有理数和正无理数,负实数分为负有理数和负无理数。实数的性质:实数与数轴上的点一一对应;在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内相同;实数可以进行加、减、乘、除、乘方、开方运算(负数不能开偶次方)。【典型例题】下列各数中,是无理数的是()
A.3.14B.1/3C.√5D.√4
答案:C解析:A是有限小数(有理数),B是无限循环小数(有理数),D√4=2(有理数),C√5是无限不循环小数(无理数)。
计算:(1)√4+√[3]-8(2)|√2-1|+√(1-√2)²
答案:(1)2+(-2)=0;(2)(√2-1)+(√2-1)=2√2-2(解析:√2≈1.414>1,故绝对值和平方开方后均为√2-1)。
第二章单元检测(时间:45分钟满分:100分)选择题(每题3分,共30分)
1.4的算术平方根是()(答案:B.2)
2.下列数中,没有平方根的是()(答案:D.-9)
3.8的立方根是()(答案:A.2)
4.下列数中,是无理数的是()(答案:C.π)
5.若√x=3,则x=()(答案:D.9)
6.下列说法正确的是()(答案:C.实数与数轴上的点一一对应)
7.计算√16+√[3]-27的结果是()(答案:A.1)
8.若|a|=√3,则a=()(答案:B.±√3)
9.下列实数中,最小的是()(答案:D.-√5)
10.下列说法错误的是()(答案:B.无理数都是无限小数)
填空题(每题3分,共15分)
11.√81的算术平方根是__________(答案:3)
12.-64的立方根是__________(答案:-4)
13.写出一个无理数:__________(答案:√2,答案不唯一)
14.若x²=16,则x=__________(答案:±4)
15.比较大小:√3__________1.7(答案:>)
解答题(共55分)
16.(8分)求下列各数的平方根和立方根:(1)36(2)-125
17.(8分)计算:(1)√25-√[3]64+√(-3)²(2)|√3-2|+√3
18.(10分)已知√x-2+(y+3)²=0,求x+y的平方根。(答案:±1)
19.(10分)判断下列各数是否为无理数,并说明理由:(1)√10(2)3.1415926(3)√49
20.(19分)已知a是√5的整数部分,b是√5的小数部分,求a²-b的值。(答案:6-√5)
第三章平面直角坐标系3.1平面直角坐标系【知识点梳理】平面直角坐标系:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系;水平的数轴叫做x轴(或横轴),向右为正方向;垂直的数轴叫做y轴(或纵轴),向上为正方向;两轴的交点O叫做原点。坐标:平面内任一点P,过P作x轴的垂线,垂足对应的数为横坐标(a),过P作y轴的垂线,垂足对应的数为纵坐标(b),则点P的坐标为(a,b);原点坐标为(0,0)。象限:平面直角坐标系分为四个象限,第一象限(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-);坐标轴上的点不属于任何象限(x轴上y=0,y轴上x=0)。【课堂练习】写出下列各点所在的象限或坐标轴:
(1)A(3,2)(2)B(-1,4)(3)C(-2,-3)(4)D(4,-1)(5)E(0,5)(6)F(-3,0)
答案:(1)第一象限;(2)第二象限;(3)第三象限;(4)第四象限;(5)y轴;(6)x轴。
在平面直角坐标系中,点P(a,b),若a>0,b<0,则点P在第__________象限;若a=0,b≠0,则点P在__________轴上(答案:四;y)。3.2坐标方法的简单应用【知识点梳理】用坐标表示地理位置:建立平面直角坐标系,确定原点(如学校、广场等),规定x轴、y轴的正方向(如东、北)和单位长度(如1个单位表示100米),即可用坐标表示各地理位置。用坐标表示平移:在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));向上(或下)平移b个单位长度,得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b))。图形的平移:图形的平移是指图形上所有点的平移,平移后图形的形状、大小不变,只是位置改变;图形平移的方向和距离,就是图形上各点平移的方向和距离。【课后巩固】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,1)、C(2,3),将△ABC向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到△A′B′C′,求A′、B′、C′的坐标。
答案:A′(3,3)、B′(5,2)、C′(4,4)(解析:向右平移2个单位,横坐标加2;向上平移1个单位,纵坐标加1)。
已知点M(-2,3),将其平移后得到点N(-5,7),则平移的方向和距离是()
A.向左平移3个单位,向上平移4个单位B.向右平移3个单位,向下平移4个单位
C.向左平移3个单位,向下平移4个单位D.向右平移3个单位,向上平移4个单位
答案:A解析:横坐标从-2到-5,减少3(向左平移3个单位);纵坐标从3到7,增加4(向上平移4个单位)。
第三章单元检测(时间:45分钟满分:100分)选择题(每题3分,共30分)
1.平面直角坐标系中,原点的坐标是()(答案:A.(0,0))
2.点P(-3,4)在第()象限(答案:B.二)
3.若点M(x,y)在x轴上,则()(答案:C.y=0)
4.将点A(2,3)向左平移3个单位,得到点A′的坐标是()(答案:D.(-1,3))
5.下列各点中,与点(1,2)在同一象限的是()(答案:A.(2,3))
6.若点P(a,-3)在第四象限,则a的取值范围是()(答案:B.a>0)
7.如图,点A的坐标是()(答案:C.(-2,3))
8.将点B(-4,-2)向上平移5个单位,得到点B′的坐标是()(答案:A.(-4,3))
9.下列说法正确的是()(答案:D.坐标轴上的点不属于任何象限)
10.已知点P(x,y),若x=y,则点P在()(答案:B.第一、三象限的角平分线上)
填空题(每题3分,共15分)
11.点(-5,-6)在第__________象限(答案:三)
12.若点A(m,n)在y轴上,则m=__________(答案:0)
13.将点(3,-4)向右平移5个单位,得到的点的坐标是__________(答案:(8,-4))
14.点P(2,-3)到x轴的距离是__________,到y轴的距离是__________(答案:3;2)
15.已知点Q(-1,2),则点Q关于x轴对称的点的坐标是__________(答案:(-1,-2))
解答题(共55分)
16.(8分)在平面直角坐标系中,写出下列各点的坐标:
(1)点A在x轴正半轴上,距离原点3个单位;(2)点B在y轴负半轴上,距离原点5个单位;(3)点C在第二象限,横坐标为-2,纵坐标为4。
17.(8分)已知△ABC的顶点坐标为A(-1,1)、B(2,0)、C(0,2),将△ABC向下平移3个单位,再向右平移1个单位,画出平移后的△A′B′C′,并写出各顶点坐标。
18.(10分)如图,是某小区的平面示意图,以小区大门为原点,建立平面直角坐标系,规定向东为x轴正方向,向北为y轴正方向,1个单位表示100米,写出小区内超市、幼儿园、图书馆的坐标。
19.(10分)已知点P(a-1,2a+3)在第二象限,求a的取值范围。
20.(19分)在平面直角坐标系中,点A(2,3),点B(5,3),点C(5,-1),求△ABC的面积,并说明理由。(答案:12)
第四章二元一次方程组4.1二元一次方程组【知识点梳理】二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程,叫做二元一次方程(一般形式:ax+by=c,其中a、b≠0)。二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解(一个二元一次方程有无数组解)。二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组,叫做二元一次方程组;方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。【课堂练习】下列方程中,是二元一次方程的是()
A.3x+2y=5B.3x²+y=1C.2x+1=3D.xy=2
答案:A解析:B是二次方程,C只有一个未知数,D是二次方程(xy的次数是2)。
判断下列各组数是否为方程组{2x+y=5的解:
{x-y=1
(1){x=2(2){x=3(3){x=1
{y=1{y=2{y=3
答案:(1)是(2×2+1=5,2-1=1);(2)否(3-2=1,但2×3+2=8≠5);(3)否(2×1+3=5,但1-3=-2≠1)。
4.2消元——解二元一次方程组【知识点梳理】消元思想:将二元一次方程组转化为一元一次方程,这种思想叫做消元;常用的消元方法有代入消元法和加减消元法。代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得方程组的解(步骤:变形→代入→求解→回代→检验)。加减消元法:当二元一次方程组中两个方程的同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得方程组的解(步骤:整理→加减→求解→回代→检验)。【典型例题】用代入消元法解方程组:{x+y=7
{3x+y=17
解:由第一个方程得,y=7-x,代入第二个方程:3x+(7-x)=17→3x+7-x=17→2x=10→x=5;把x=5代入y=7-x,得y=2;∴方程组的解为{x=5
{y=2
用加减消元法解方程组:{2x+3y=12
{3x-3y=3
解:将两个方程相加,得5x=15→x=3;把x=3代入第一个方程,2×3+3y=12→6+3y=12→3y=6→y=2;∴方程组的解为{x=3
{y=2
4.3二元一次方程组的应用【知识点梳理】列二元一次方程组解应用题的步骤:①审题(找出题目中的两个等量关系);②设未知数(设两个未知数,通常设直接未知数);③列方程组(根据等量关系列出两个二元一次方程);④解方程组;⑤检验(检验解是否符合题意);⑥答。常见应用题类型:行程问题(路程=速度×时间)、工程问题(工作量=工作效率×工作时间)、利润问题(利润=售价-进价)、和差倍比问题等。【课后巩固】甲、乙两人相距36千米,相向而行,甲每小时走4千米,乙每小时走5千米,两人同时出发,几小时后相遇?
解:设x小时后相遇,根据题意列方程组:{4x+5x=36→9x=36→x=4;答:4小时后相遇。
某工厂有22名工人,每人每天可生产120个螺钉或200个螺母,1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名?
解:设安排x名工人生产螺钉,y名工人生产螺母,根据题意列方程组:
{x+y=22
{2×120x=200y
解得:{x=10,y=12;答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母。
第四章单元检测(时间:45分钟满分:100分)选择题(每题3分,共30分)
1.下列方程组中,是二元一次方程组的是()(答案:C.{x+y=5)
{x-y=1
2.方程组{x+y=3的解是()(答案:A.{x=1)
{x-y=-1{y=2
3.用代入消元法解方程组{y=2x,代入后正确的是()(答案:B.3x+2x=10)
{3x+y=10
4.用加减消元法解方程组{2x+3y=8,消去y,可将第一个方程乘(),第二个方程乘()(答案:D.2;3)
{3x-2y=5
5.已知{x=2是二元一次方程ax+by=7的解,则a+b的值是()(答案:C.4)
{y=1
6.某班有学生45人,其中男生比女生多5人,设男生x人,女生y人,列方程组正确的是()(答案:A.{x+y=45)
{x-y=5
7.解方程组{3x+2y=7,得x+y的值是()(答案:B.3)
{2x+3y=8
8.已知二元一次方程2x+y=6,其正整数解的个数是()(答案:C.2个)
9.甲、乙两人合作加工一批零件,甲每小时加工12个,乙每小时加工10个,两人合作4小时完成,这批零件共有()个(答案:D.88)
10.若方程组{2x+y=k的解x、y互为相反数,则k的值是()(答案:A.1)
{x+2y=1
填空题(每题3分,共15分)
11.二元一次方程x+2y=5的一个解是__________(答案:{x=1,答案不唯一)
{y=2
12.解方程组{2x-y=3,用加减消元法消去y,得到的一元一次方程是__________(答案:5x=10)
{3x+2y=7
13.已知{x=3是方程组{ax+by=10的解,则a=__________,b=__________(答案:2;1)
{y=4{bx+ay=11
14.某商品进价为x元,售价为y元,利润为20元,列方程为__________(答案:y-x=20)
15.若方程组{mx+ny=7与{2x+3y=7同解,则m+n=__________(答案:5)
{nx+my=8{3x+2y=8
解答题(共55分)
16.(8分)用代入消元法解方程组:{x-2y=1
{2x+3y=16
17.(8分)用加减消元法解方程组:{3x-5y=13
{2x+5y=7
18.(10分)已知二元一次方程3x+2y=10,求其所有正整数解。
19.(10分)甲、乙两人从相距120千米的两地相向而行,甲每小时走10千米,乙每小时走14千米,甲先出发2小时,乙再出发,乙出发几小时后两人相遇?
20.(19分)某商场购进A、B两种商品共100件,总进价为3800元,其中A商品每件进价35元,B商品每件进价45元,求A、B两种商品各购进多少件?
第五章不等式与不等式组5.1不等式【知识点梳理】不等式的定义:用符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接的式子叫做不等式。不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式有无数个解。不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式解集的过程叫做解不等式。不等式的性质:
①不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
②不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
③不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
【课堂练习】下列式子中,是不等式的是()
A.2x=3B.3x+1C.3x>5D.4-2=2
答案:C解析:A是等式,B是代数式,D是等式。
利用不等式的性质,将下列不等式变形:
(1)x+3>5→x>2(两边减3,不等号方向不变);
(2)2x<6→x<3(两边除以2,不等号方向不变);
(3)-x>2→x<-2(两边乘-1,不等号方向改变);
(4)x-5≤3→x≤8(两边加5,不等号方向不变)。
5.2一元一次不等式【知识点梳理】一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,不等号两边都是整式的不等式,叫做一元一次不等式(一般形式:ax+b>0或ax+b<0等,其中a≠0)。解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(注意:除以负数时,不等号方向改变)。一元一次不等式的解集在数轴上的表示:大于向右画,小于向左画;不等号是“>”“<”时,画空心圆圈;是“≥”“≤”时,画实心圆点。【典型例题】解不等式:(2x-1)/3-(x+2)/4>1,并把解集在数轴上表示出来。
解:去分母(两边乘12):4(2x-1)-3(x+2)>12;
去括号:8x-4-3x-6>12;
移项:8x-3x>12+4+6;
合并同类项:5x>22;
系数化为1:x>22/5(或4.4);
数轴表示:在数轴上4.4的位置画空心圆圈,向右画一条无限延伸的射线(略)。
5.3一元一次不等式组【知识点梳理】一元一次不等式组:由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。一元一次不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分,叫做一元一次不等式组的解集;没有公共部分的,叫做无解。一元一次不等式组的解集类型(设a<b):
①{x>a→解集为x>b(同大取大);
{x>b
②{x<a→解集为x<a(同小取小);
{x<b
③{x>a→解集为a<x<b(大小小大中间找);
{x<b
④{x<a→无解(大大小小无处找)。
{x>b
【课后巩固】解不等式组:{2x+1>-1
{3x-2≤4
解:解第一个不等式:2x>-2→x>-1;
解第二个不等式:3x≤6→x≤2;
∴不等式组的解集为-1<x≤2。
解不等式组:{x+3<5
{2x-1>5
解:解第一个不等式:x<2;
解第二个不等式:2x>6→x>3;
∴不等式组无解。
第五章单元检测(时间:45分钟满分:100分)选择题(每题3分,共30分)
1.下列不等式中,是一元一次不等式的是(
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