山西大学附中高三年级数学开学诊断测试（含解析）

/山西大学附中2025～2026学年第二学期高三2月模块诊断数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】由命题的否定求解即可.【详解】命题“”的否定是“”.故选：B.2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正确答案】A【分析】利用复数除法法则得到，对应的点为，位于第一象限.【详解】因为，所以，对应的点为，位于第一象限.故选：A3．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】由投影向量的计算公式可得.【详解】由题意可得在上的投影向量为.故选：D4．若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】由诱导公式及二倍角公式进行求解．【详解】．故选：B5．下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】先根据偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性，判断函数在区间上是否有最小值.【详解】对于函数，其定义域为，关于原点对称，令，则是偶函数.当时，，在区间上单调递减，所以在区间上无最小值，故选项A错误；对于函数，其定义域为，关于原点对称，令，则，所以是偶函数，当时，，令，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.根据复合函数的单调性可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为，故选项B正确；对于，其定义域为，关于原点对称，令，则，所以是奇函数，不符合题意，故选项C错误；对于，其定义域为，关于原点对称，令，则，所以函数为偶函数.由，得，因为在区间上，所以，所以在区间上单调递增，当时，，但始终大于1，所以该函数在区间上没有最小值，故选项D错误.故选：B6．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（

）A．26种 B．36种 C．38种 D．50种【正确答案】D【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可.【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室，且每个实验室至少1人，分配方案有种；当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法，再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法，故共有种；当1号实验室有3人时，分配方案有种；可得不同的分配方案共有种．故507．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（

）

A． B． C． D．【正确答案】B【分析】作出图形，取的中点，找到的外心，然后平面，根据二面角的平面角为找到球心，然后计算长度求出，最后根据球的体积公式计算即可.【详解】如图，取的中点，连接，

设为正的外心，则点在上，且．设为四面体的外接球球心，则平面．，则为的外心，平面．二面角的大小为，则直线与平面成角，．是边长为3的正三角形，则，．在中，．在中，，则，四面体的外接球半径，.故选：B．8．若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”.知函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据题意得有解，即有解，利用换元法讨论二次函数在给定区间有解即可.【详解】根据“局部奇函数”定义知：有解，即方程有解，则即有解；设，则（当且仅当时取等号），方程等价于在时有解，在时有解；在上单调递增，，即实数的取值范围为.故选D.二、多选题9．已知一组样本数据：、、、、、、、、，下列说法正确的是（

）A．这组数据的平均数为 B．这组数据的分位数为C．去掉一个样本数据后方差变小 D．每个样本数据都减后方差变小【正确答案】AC【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.【详解】对于A选项，这组数据的平均数为，A对；对于B选项，将这组数据由小到大排列依次为：、、、、、、、、，共个数据，因为，故这组数据的分位数为，B错；去掉一个样本数据后，平均数为，方差为，，所以，去掉一个样本数据后方差变小，C对；对于D选项，将这九个数据分别记为、、、、，将每个样本数据都减后，新数据为、、、、，由方差的性质可知，方差不变，D错.故选：AC.10．已知数列满足，是的前项和，则下列说法一定正确的是（

）A．B．C．是等比数列D．若，当为奇数时，满足的的最大值为43【正确答案】AD【分析】对于A，利用与原式作差即可求解；对于B，利用，结合等差数列的求和公式求解即可；对于C，利用可能为0，即可判断；对于D，根据求解即可.【详解】由可得，两式相减得，故A正确；因为，故B不正确；因为可能为0，故不一定为等比数列，C不正确；当为奇数时，不妨设，则则有；因为，故，即，时，，故D正确；（也可直接验证，得出D正确），故选：AD11．已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（

）A．直线的斜率为 B．为的平分线C．的面积为 D．H，M，P三点共线【正确答案】ABD【分析】先根据及抛物线的性质求出P点的坐标，对于A，可根据P点坐标直接求出PF的斜率；对于B，求出FQ的斜率，并结合PF的斜率分别求出、，据此可判断为的平分线；对于C，联立直线QF和抛物线C的方程，求出M的坐标，再结合点到直线的距离即可求解的面积；对于D，比较HM、HP的斜率即可判断是否三点共线．【详解】如图所示，抛物线的焦点为，准线为，已知，所以的横坐标为，解得，所以，解得，因此，对于A，直线PF的斜率，故A正确；对于B，是到准线的垂足，所以，又，，所以FQ的斜率，故，由得，所以，所以为的平分线，故B正确；对于C，QF的方程为，联立抛物线，得，解得或（舍去），所以，PF的方程为，点到直线PF的距离,面积，故C错误；对于D，，，，则，，斜率相等，所以H，M，P三点共线，故D正确．故选：ABD．三、填空题12．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则.【详解】若，则由得（舍去）；若，则由得．13．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为．【正确答案】60【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解.【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等，，，则的展开式中的通项为：，令，解得，故该展开式中的系数为故6014．中，，则的最大值为.【正确答案】【分析】由正弦定理将转化为，利用余弦定理得.根据不等式求得其最小值，从而得到的最大值.【详解】由正弦定理，，得，即.所以.由余弦定理，得.因为，当且仅当时，等号成立.所以，.所以当且仅当时，取得最小值，最小值为.因为，且在上单调递减，所以的最大值为.故答案为.四、解答题15．已知的内角的对边分别为，且，(1)求的大小；(2)若，求的面积．【正确答案】【小题1】【小题2】【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小；（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积.【详解】（1），可得又（2）由正弦定理得，，由余弦定理，,可得，，联立方程组整理得，，所以或（舍）．16．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程；（2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解.【详解】（1）由已知可得，化简可得，，则椭圆方程为；（2）设，，由已知可得直线，即，联立直线与椭圆，消去可得，则，，则，又点到直线的距离，所以；17．如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点.(1)证明：平面平面；(2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过，，得到平面，进而可求证；（2）由面面角的概念为平面与平面所成角，再结合求解即可.【详解】（1）证明：因为平面平面所以，又因为，都在平面内，所以平面，又因为平面所以平面平面（2）解：在三棱台中，分别是棱的中点，所以且相等，且相等，所以四点共面由（1）知平面，平面，，在平面内，得：所以为平面与平面所成角，设，点到平面的距离为由可得：所以所以或又因为所以，所以所以在中，所以平面与平面所成角的余弦值为.18．近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，和对阵，和对阵.双败赛制规则如下图所示：(1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是和的概率；(2)若，在单败淘汰赛赛制下，获得冠军的概率是多少？(3)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此证明双败赛制对强队更有利.【正确答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】小问1列举出全部结果，观察即可得出答案；小问2通过分类计算原理，分析单败淘汰赛制下获得冠军的两种情况下对应的概率，然后求和即可；小问3计算在单败淘汰赛赛制下和在双败赛赛制下A获胜的概率，然后比较大小即可。【详解】（1）从4支队伍中随机选出2支，总共有6种可能：AB、AC、AD、BC、BD、CD，其中选出的两支队伍恰好是A和B只有1种情况，因此，选出的两支队伍恰好是A和B的概率为.（2）设事件“A对阵B或C或D时，A赢”，，；设事件“B对阵C或D时，B赢”，设事件“C对阵B或D时，C赢”，设事件“D对阵B或C时，D赢”，则，事件M，B，C，D之间相互独立.设事件“单败淘汰赛制下，B获得冠军”，则事件N包含两种情况：①A、C对阵时A赢，B、D对阵时B赢，最后A、B对阵时B赢，即事件：，.②A、C对阵时C赢，B、D对阵时B赢，最后C、B对阵时B赢，即事件：，.因为事件与事件互斥，且事件，因此，，所以在单败淘汰赛赛制下，获得冠军的概率是.（3）在单败淘汰赛赛制下，A要想获得冠军，有两种情况：①A、C对阵时A赢，B、D对阵时B赢，A再与B对阵时A赢，即事件，，②A、C对阵时A赢，B、D对阵时D赢，A再与D对阵时A赢；即事件，，因为事件与事件互斥，所以A获得冠军的概率为：，在双败赛赛制下，A要想获得冠军，从每场A参与的比赛中A的输赢角度出发，有三种情况：①A、C对阵时A赢，A与B、D对阵中的胜者比赛时A赢，最后一场决赛A赢，即事件，②A、C对阵时A赢，A与B、D对阵中的胜者比赛时A输，B、D对阵中负者与C对阵时胜者与A对阵时A赢，最后一场决赛A赢，即事件，，③A、C对阵时A输，A与B、D对阵中的负者比赛时A赢，B、D对阵中的胜者与C对阵时负者与A对阵时A赢，最后一场决赛A赢，即事件，，所以获得冠军概率为：，因为，当时，有.因此，双败赛制对强队更有利.19．已知函数，设为的导函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，有且仅有一个极值点；(3)判断当时，的所有零点之和与的大小关系，并说明理由.【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)函数的所有零点之和大于，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）要确定函数的极值点情况，则需要判断其导函数的单调性，设，对进行变形处理，即，即判断函数的取值情况，即可得的取值情况，从而确定函数的极值点取值个数；（3）结合的单调性，确定其零点，从而得函数的极值点分布.根据函数的单调性，结合零点存在定理即可确定函数的零点个数及范围，利用三角函数与指数函数的单调性即可判断的所有零点之和与的大小关系.【详解】（1）因为，所以，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，，所以，设，，则，其中恒成立，设，，则，因为，所以，所以当，即时，，函数单调递减；当，即时，，函数单调递增；当，即时，，函数单调递减，又，，，，，所以，使得，即，所以对于，有，当时，，，函数单