浙江省杭州市富阳区2026届高三数学下学期题库试题

浙江杭州市富阳区届高三下学期题库数学试题考生须知：本试卷共4页，满分分，考试时间分钟.答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分85分在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法及复数的几何意义即可求解.【详解】由题意得，则z在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.2.已知全集为，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】由集合利用对数运算得出集合，然后利用集合交并补运算即可.第1页/共20页

【详解】因为，所以，所以，故，故选：C.3.已知为曲线（）上的点，则的最小值为（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】由题可得，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由题，且，即.所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：D.4.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出平移变换后函数的解析式，然后计算即可.【详解】函数的图象向左平移个单位得到：第2页/共20页

，所以，故选：A.5..书架的某一层上有4本不同4本书的53本相邻，则不同的插法共有（）A.120种B.240种C.480种D.600种【答案】D【解析】【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案.【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法；4本相邻时共有种插法，所以不同的插法共有600种，故选：D.6.已知函数的定义域为，对，与均恒成立，则（）A.B.0C.D.1【答案】B【解析】【分析】先根据题意求出函数的周期，并求出，再根据周期求得的值.【详解】由，，令得，，所以，故，即是周期为4的周期函数.第3页/共20页

所以.故选：B.7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，若直线OA截以AB为直径的圆所得的弦长为1，则实数（）A.B.C.1或D.或【答案】D【解析】过点到直线的距离公式求解即可.【详解】根据题意，以为直径的圆，圆心为的中点，半径.又直线截圆所得弦长为，则弦心距满足.而弦心距等于点到直线的距离，直线的方程为，所以.因此，整理得，解得故选：D.8.已知数列的前n项和为，则对“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用累加法，结合题意可得，由能推出；举出反例，可得第4页/共20页

“”推不出“”.由充分、必要条件的定义得出答案.【详解】由得：，，，，，，消去两边相同的项得，，所以；取数列满足，，，且对且有.满足，，但.不满足.即“”推不出“”.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.36分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知随机变量，且，（）A.B.C.D.（）【答案】BC【解析】【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可.【详解】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，因为，则，则，即，故B正确；对于C，因为，而，故，故C正确；第5页/共20页

对于D，因为，所以，又，所以，故D错误.故选：BC.10.如图，在正四棱锥中，，，，，分别为侧棱PAPBPCPD的中点，若多面体的体积为，则（）A.平面B.四棱锥的外接球半径为2C.直线与底面ABCD所成角的余弦值为D.点B到平面PAD的距离为【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项，通过中位线构造线面平行，再由线线平行推导线面平行即可；对于B选项，先由棱台体积求出棱台高，进而得到四棱锥高，再通过勾股定理判断侧棱与对角线的垂直关系，确定外接球球心，再求得半径即可；对于C选项，取中点构造垂线，将线面角转化为直角三角形内角，再用余弦定义求解即可；对于D选项，利用等体积法，将点到平面的距离转化为体积问题求解即可.【详解】对于AACBD交于点O，连接，易知平面，，则平面，A正确；对于B为四棱台，h的体积，得，易知四棱锥的高，故，又，易知，，第6页/共20页

所以点O即为四棱锥P-ABCD的外接球球心，其半径，B错误；对于COC中点E，平面ABCD即为直线与底面ABCD所成的角，又，，，，C正确；对于D，由，得为正三角形，，又，则，设点B到平面PAD距离为d，则，解得，所以点B到平面PAD的距离为，D正确.故选：ACD.已知曲线E：，为曲线E上的动点，则下列结论正确的是（）A.曲线E关于直线对称B.点P不可能在直线上C.曲线E与圆有4个公共点D.记曲线E所围成的区域的面积为S，则【答案】BCD【解析】【分析】首先将互换，判断两个方程是否相等，判断A，直线方程与曲线方程联立，判断是否有实根，第7页/共20页

判断B，两个曲线方程联立，判断C，首先判断曲线的范围，判断D.【详解】将曲线E的方程中x，y互换得，与原方程不同，所以曲线E不关于直线对称，A错误；将代入曲线E的方程得，因为，所以方程无实数解，所以曲线E与直线无公共点，故点P不可能在直线上，B正确；由得，因为，所以，设（，，设，则，单调递增，由，得在上单调递减，在上单调递增，又，，，故，同理可得，，将代入曲线E的方程得，即，即，因为所以或，故或，当时，得，当时，得或，所以曲线E与圆有4个公共点，，，，C正确；，因为，且，所以，又，，所以，故，可得曲线E在圆和之间，第8页/共20页

所以，D正确.故选：BCD.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】用降幂公式将半角转化为整角，化简题干等式；通过移项推导得到与的倍数关系；代入解出，最后结合二倍角公式即可得解.【详解】因为，又，所以整理得，所以，又，所以，解得，因此.故答案为：.13.已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________.【答案】##【解析】线的切点，根据导数的几何意义求实数的值.【详解】，设直线l与曲线切于点，则，得，所以直线l的方程为，第9页/共20页

设直线l与曲线切于点，则，所以点在直线l上，故，得.故答案为：14.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线C的一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点.A，B分别为和的内心，若四边形的面积为，则直线l的斜率为__________.【答案】2或【解析】的横坐标均为.根据四边形的面积为.设直线l的倾斜角为（定义，用表示，从而解得.由二倍角的正切公式，求出，即直线l的斜率.【详解】因为双曲线C：（，）的一条渐近线的斜率为，所以.设双曲线C的焦距为2c，则，得.设点A在直线，，上的射影分别为，则，又，所以，故点M的横坐标为a，所以点A的横坐标为a.同理可得点B的横坐标也为a，所以三点共线，所以，故四边形的面积.因为四边形的面积为，所以，所以得.第10页/共20页

设直线l的倾斜角为（，且.所以，，所以，所以，解得或.所以或，故直线l的斜率为2或.故答案为：2或.四、解答题（本大题共5小题，共分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且.（1）试判断的形状；（2）若，求周长的最大值.【答案】（1）钝角三角形（2）【解析】1）根据余弦定理，可得C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形；第11页/共20页

（2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值.【小问1详解】因为，由余弦定理得，即.故，所以，故C为钝角，所以△ABC为钝角三角形.另解：因为，由正弦定理得，因为，所以，即，即，因为，所以，所以，故C为钝角，所以为钝角三角形.【小问2详解】的外接圆半径为.由题，由正弦定理，得，即.由（1）知C为钝角，所以.又.因为，所以，所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4.又，所以的周长的最大值为.第12页/共20页

16.如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，且，，为棱上的点.（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）利用面面垂直的判定定理可得答案；（2）建系，利用面面角的向量计算公式计算可得答案.【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，在四边形中，易知，因为，所以，又，故，所以，故，因为，平面，所以平面，又平面,第13页/共20页

所以平面平面.【小问2详解】由（1）知三条直线两两垂直.以为坐标原点、所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设（则：，，，，，设平面的一个法向量为，，即，令，得，，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，所以，，解得或（舍）.所以17.已知函数.第14页/共20页

（1）求函数的单调区间；（2）试判断曲线与直线在上公共点的个数；【答案】（1，，（2）2【解析】1）对函数求导，利用正弦函数的图象性质求解导函数不等式即得函数的单调区间；（2与零点存在定理求出函数的零点个数，即曲线与直线在上公共点的个数.【小问1详解】由题意，，因为，则由可得，即当，时，单调递增；由可得，即当，时，单调递减，的单调递增区间为，，.【小问2详解】令，则，设，则，所以当时，，则（即）在上单调递增；第15页/共20页

当时，，（即）在上单调递减，因为，，，所以存在唯一的，使得，故当时，，则在上单调递增；当时，，在上单调递减；又，，所以存在唯一的，使得，综上可得函数在上存在两个零点0和，所以曲线与直线在上公共点的个数为2.18.“村超”是乡村足球超级联赛的简称.信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入ABAB两组的球队分别进行组内比AB组的负者获得第4A组的负者和B负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为..且各场比赛之间互不影响.（1）求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率；（2）记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】1“甲第一轮获胜”和“乙获得第3名”的比赛路径，计算联合概率第16页/共20页

用条件概率公式求解即可.（2）先确定的所有可能取值，再逐一分析每种名次对应的比赛路径，计算概率，最后列出分布列并求期望即可.【小问1详解】设事件M：乙队获得第3名，事件N：第一轮比赛中甲队获胜，则，，所以，所以在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第三名的概率为.【小问2详解】随机变量的可能取值为1，2，3，4，；；；.所以的分布列为：1234P故的数学期望.19.已知抛物线（）的焦点为F，直线与抛物线交于PQ两点，，且（O为坐标原点）.（1）求抛物线E的方程；（2）A，B，C，D为抛物线E上的4个点，，且直线AC与BD交于点.第17页/共20页

（ⅰ）求直线