导数与恒(能)成立问题+课件-2026届高三数学一轮复习

导数与恒(能)成立问题

【解析】B

【解析】D

【解析】D

【解析】

4．已知函数f(x)=ax＋e(a＞0)，g(x)=xex，若∀x2∈(－∞，1］，∃x1∈［－1，2］，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是_______________．分离参数处理恒(能)成立问题目标1

f(x)=xlnx，则f′(x)=lnx＋1，而f(e)=e，f′(e)=2，所以曲线y=f(x)在x=e处的切线方程为y=2x－e．【解答】1

(2025∙鹰潭二模)已知函数f(x)=xlnx．(1)求曲线y=f(x)在x=e处的切线方程；

【解答】1

(2025∙鹰潭二模)已知函数f(x)=xlnx．(2)若关于x的不等式f(x)≥ax－x－1恒成立，求实数a的取值范围．用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，此时只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min．

已知函数f(x)=ax2－lnx－x．(1)讨论f(x)的单调性；

【解答】变式1

已知函数f(x)=ax2－lnx－x．(2)若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

【解答】变式1

分类讨论处理恒(能)成立问题目标2由题意得f(1)=0，故切点为(1，0)，设切线斜率为k，而f′(x)=lnx＋1，定义域为(0，＋∞)，故k=f′(1)=1，则切线方程为y=x－1.综上，曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y=x－1.【解答】2

(2025∙六安期末)已知函数f(x)=xlnx．(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；若存在x≥1使得f(x)＜a(x－1)成立，则存在x≥1，使得xlnx－a(x－1)＜0成立．令A(x)=xlnx－a(x－1)，x≥1，而A(1)=0，A′(x)=lnx＋1－a．①当1－a≥0时，a≤1，此时A′(x)≥0，则A(x)在［1，＋∞)上单调递增．因为A(1)=0，所以A(x)≥0恒成立，不满足题意．②当1－a＜0时，a＞1，令A′(x)=0，解得x=ea－1，当x∈［1，ea－1)时，A′(x)＜0，此时A(x)单调递减，因为A(1)=0，所以x∈(1，ea－1)时，A(x)＜0，即f(x)＜a(x－1)，所以a＞1满足题意．综上，实数a的取值范围为(1，＋∞)．【解答】2

(2025∙六安期末)已知函数f(x)=xlnx．(2)若存在x≥1使得不等式f(x)＜a(x－1)成立，求实数a的取值范围．在恒成立问题中的函数结构并不是很复杂时，可直接使用分类讨论法：先直接求导得到极值点，再对极值点进行讨论，从而求得参数的取值情况．常用的手段是利用因式分解、求根公式以及观察法．当无法求得极值时，常可利用零点存在定理，确定零点的范围后再进行讨论．同构变形处理恒(能)成立问题目标3

【解析】3

(1)已知函数f(x)=aeax－lnx≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范

围是____________．

【解析】

【答案】B

(2025∙烟台三模)若不等式xex－x－lnx－a≥0恒成立，则实数a的取值范围为

(

)A．(0，1］ B．(0，e－1］C．(－∞，1］ D．(－∞，e－1］因为xex－x－lnx－a≥0，所以eln

x＋x－(lnx＋x)－a≥0，令t=lnx＋x，t∈R，则et－t－a≥0恒成立，则a≤et－t恒成立．令φ(t)=et－t，则φ′(t)=et－1.当t∈(－∞，0)时，φ′(t)＜0；当t∈(0，＋∞)时，φ′(t)＞0.所以φ(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以φ(t)min=φ(0)=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1］．【解析】变式3

C

【解析】A组固法热练A

【解析】B

由f(x)＜－x2，得k＜xlnx－x在x∈(1，＋∞)上恒成立．令g(x)=xlnx－x(x＞1)，则g′(x)=lnx＋1－1=lnx＞0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)＞g(1)=－1，即k≤－1.【解析】D3.(2025∙吕梁期末)已知函数f(x)=kx－x2lnx，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＜－x2恒成立，则实数k的取值范围为

(

)A．(－∞，0)

B．(－∞，0］C．(－∞，－1)

D．(－∞，－1］

【解析】C

5.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=e－x(x－1)，则下列结论正确的有

(

)A．当x＜0时，f(x)=ex(x＋1) B．函数f(x)有且仅有2个零点C．若m≤e－2，则方程f(x)=m在x＞0时有解

D．∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜2恒成立【解析】当x＞0时，f(x)=e－x(x－1)，f′(x)=－e－x(x－1)＋e－x=e－x(2－x)，可得当0＜x＜2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x=2处取得极大值e－2，当x→＋∞时，f(x)→0.先画出y=f(x)在x＞0时的图象，由奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)在x＜0的图象，又f(0)=0，所以y=f(x)在R上的图象如图所示．当x＜0时，－x＞0，f(x)=－f(－x)=－ex(－x－1)=ex(x＋1)，故A正确．由图象可得f(x)有3个零点，故B错误．当x＞0时，f(x)∈(－1，e－2］，若方程f(x)=m在x＞0时有解，则－1＜m≤e－2，故C错误．由图象可知，f(x)∈(－1，1)，则∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜1－(－1)=2，故D正确．【答案】AD

【解析】

【解析】(0，e2］7.(选做)(2025∙安庆三模)已知函数f(x)=ex－aln(ax－a)＋a(a＞0)，对于任意的x＞1，不等式f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

【解答】

【解答】

【解答】9．(2025∙南京二模)已知函数f(x)=x2－2alnx＋1，a∈R．(1)当a=－1时，设曲线y=f(x)在x=1处的切线为l，求l与曲线y=f(x)的公共点个数；

【解答】9．(2025∙南京二模)已知函数f(x)=x2－2alnx＋1，a∈R．(2)当a＞0时，∀x1，x