2025-2026学年福建省厦门市第一中学高二下期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省厦门市第一中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知函数f（x）=（x-1）2，则=（）A.0 B.1 C.2 D.32.已知数列{an}是等差数列，且a1+a2+a3=-3，a3+a4+a5=9，则S5=（）A.1 B.2 C.3 D.53.设随机变量的分布列如表所示，且E（ξ）=1.6，则ab=（）ξ0123P0.1ab0.1A.0.2 B.0.1 C.0.15 D.0.44.（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A.5 B.10 C.20 D.305.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则g（-2023）+g（-2024）+g（2025）+g（2026）=（）A.0 B.2 C.4 D.66.无重复数字的三位偶数的个数为（）A.136 B.328 C.360 D.7207.已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，y=kx与双曲线C交于M（M在第一象限），N两点，3|MF|=|NF|，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为；若他前1天选择了B套餐，则第2天选择了A套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为，在该同学第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.记圆M：（x-1）2+y2=a2，圆N：（x-2）2+（y-1）2=4a2，则（）A.

B.若坐标原点在圆M上，则点（0，1）在圆N上

C.若圆M与圆N内切，则

D.当a=1时，圆M与圆N的相交弦方程为2x+2y-1=010.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的是（）

A.第6行从左到右第4个数是15

B.第2026行的第1014个数最大

C.

D.记第n行的第i个数为ai，则11.已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点，动点F满足，其中λ，μ∈R，，则下列结论正确的是（）A.若λ+μ=1，则CF⊥AB1

B.若λ+4μ=1，λ≠0，则点A到平面A1FG的距离为

C.若，则直线EF与直线BC所成角的最小值为

D.若A1F与A1A夹角为，则|EF|+|GF|的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，且l∥α，则t=

.13.城区某中学安排5位老师到A，B，C三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排1位老师，每位老师只能去1个中学支教，则不同的安排方式有

种.14.已知f（x）=ex-2x,g（x）=lnx-ax,若对任意x1∈（0，+∞），都存在x2∈（0，+∞），使得，则实数a的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an-2.

（1）求该数列的通项an；

（2）若bn=log2an，求数列的前n项和Tn.16.(本小题15分)

已知函数在x=1处取得极值.

（1）求a,b；

（2）证明：t＞0时，.17.(本小题15分)

平面直角坐标系中，动点P到点M（2，0）的距离与它到直线x=8的距离之比为.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点N（-2，0），△AMN与△BMN的面积之比为，求△ABN的内切圆半径.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=ax2-lnx（a∈R）.

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）在（1，+∞）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；

（3）当时，证明：函数有且仅有两个零点.19.(本小题17分)

1907年物理学家Tatiana和PaulEhrenfest为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模型，编号为A和B的两个容器相互连通，当中仅用薄膜分割（允许分子在两容器间穿梭），当一个分子从一个容器转移到另一个容器，则称发生一次转移.发生n次转移后，容器A中的分子数记为Xn，容器A的分子数从Xn=i到Xn+1=j的概率记为Pi,j，即Pi,j=P（Xn+1=j|Xn=i）.初始状态时，容器A内有2个分子，容器B内有8个分子.假设每个分子发生转移的可能性相同，均为.

（1）求P2，1，P2，3；

（2）求2次转移后，容器A中的分子数X2的分布列与期望；

（3）求出E（Xn）与E（Xn-1）的关系式，并解释当n→+∞时E（Xn）的含义.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】1

13.【答案】150

14.【答案】

15.【答案】解：（1）Sn=2an-2，

当n=1时，S1=a1=2a1-2，a1=2；

当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，所以Sn-Sn-1=2an-2an-1，

得an=2an-1，n≥2，

所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

故；

（2）由（1）知，，得bn=log2an=n,

所以，

可得

=．

16.【答案】a=1，b=0

当t＞0时，，

令，t＞0，

求导得，

由g′（t）＜0，得t＞2．由g′（t）＞0，得0＜t＜2；所以g（t）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，

则，所以在（0，+∞）上恒成立．

所以t＞0时，

17.【答案】

18.【答案】y=3x-1

（-∞，）

证明：由题意得，则，

令g（x）=x3-2x2-x-1，x＞0，则g′（x）=3x2-4x-1，

令g'（x）=0可得，（舍）或，

当时，g′（x）＜0，则g（x）在上单调递减，

当时，g′（x）＞0，则g（x）在上单调递增，

又g（0）=-1，g（2）=-3＜0，g（3）=5＞0，

所以存在x0∈（2，3），使得g（x0）=0，即H′（x0）=0，

所以当x∈（0，x0）时，H′（x）＜0，则H（x）在（0，x0）上单调递减，

当x∈（x0，+∞）时，H′（x）＞0，则H（x）在（