2025-2026学年上海市青浦区朱家角中学高一下期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市青浦区朱家角中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。1.下列命题中正确的是sin2β=（）A.终边相同的角一定相等

B.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角

C.sin4＞0

D.锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角2.已知复数z,则“”是“复数z为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A.振幅为1，值域为[-1，1]，在区间上是单调减函数

B.振幅为，值域为[-1，1]，在区间上是单调减函数

C.振幅为1，值域为[0，1]，在区间上是单调增函数

D.振幅为，值域为[0，1]，在区间上是单调增函数4.已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（1≤i≤k），且对任意的m,n∈N*，当1≤m＜n≤k时，都有，则正整数k的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。5.函数y=sin2x的最小正周期是______．6.已知复数，i是虚数单位，则z的虚部为______．7.已知扇形的弧所对的圆心角为30°，半径r=10cm,则扇形的弧长为

cm.8.角α为第一象限角，，则tanα=

9.化简：=

.10.方程，，则x=

.（用反三角函数表示）11.已知向量与不平行，与平行，则实数k=

.12.已知向量，，则在的方向上的投影向量的坐标为

.13.已知向量与的夹角是120°，||=3，|+|=，则||=

．14.已知复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=2，，则|z1+z2|的值为

.15.定义，若函数，

给出下列四个命题：

①该函数是周期函数，且最小正周期是π；

②该函数的值域是[-1，1]；

③该函数是偶函数；

④对任意x∈R，f2（2π+x）+f2（π+x）=1恒成立.

上述命题中错误的序号是

.16.在△ABC中，若，则tanA的最大值是

.三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知α，β都是锐角，且tanα=3，cosβ=.

（1）求tan2α的值；

（2）求α+β的值.18.(本小题10分)

已知△ABC的周长为4（），且sinB+sinC=．

（1）求边长a的值；

（2）若S△ABC=3sinA，求cosA的值．19.(本小题12分)

已知复数z满足，且z2的虚部为2.

（1）求复数z；

（2）当复数z的虚部大于零，设复数z、z2、z-z2在复平面上对应的点分别为A、B、C，求的值.20.(本小题12分)

设向量，，函数.

（1）求y=f（x）的单调减区间；

（2）在△ABC中，若角A满足，且边，求△ABC周长的取值范围.21.(本小题12分)

已知函数y=f（x）的定义域为D，若存在一个向量，对于任意x∈D，均有f（a+x）=bf（a-x）成立，则称向量为函数y=f（x）的“伴随向量”.

（1）判断是否是函数f（x）=tanx的伴随向量，并说明理由；

（2）判断函数f（x）=sinx是否存在伴随向量.若存在，求出函数f（x）=sinx的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由；

（3）若、都是函数y=f（x）的“伴随向量”.当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0.求当2021≤x≤2025时，函数y=f（x）的解析式和零点.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】π

6.【答案】-1

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】-cosα

10.【答案】

11.【答案】-

12.【答案】（1，1）

13.【答案】4

14.【答案】

15.【答案】①②

16.【答案】

17.【答案】-；

．

18.【答案】解：（1）根据正弦定理，sinB+sinC=，可化为b+c=．

2分

联立方程组，解得a=4．

5分

（2）∵S△ABC=3sinA，

∴bcsinA=3sinA，可得：bc=6．

7分

又由（1）可知，b+c=4，

∴由余弦定理得cosA===．

10分

19.【答案】解：（1）设z=x+yi,

由复数z满足，z2的虚部为2．

可得，解得x=y=1或x=y=-1，

故z=1+i,z=-1-i；

（2）复数z的虚部大于零，

则z=1+i,z2=2i,z-z2=1-i,

所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1），

所以=（1，3）