北师大版数学中考试卷与参考答案(2025年)

2025年北师大版数学中考仿真试卷与参考答案

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、题目：一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求这个长方形的面积。

A、50平方厘米

B、100平方厘米

C、25平方厘米

D、50平方米

答案：A

解析：长方形的面积公式为S二长X宽，所以这人长方形的面积为10厘米X5座米

=50平方厘米。选项A正确。

2、题目：一个圆的半径为3厘米，求这个圆的周长。

A、9n厘米

B、6n厘米

C、18几厘米

D、27”厘米

答案：A

解析：圆的周长公式为O2nr,其中r为半径。所以这个圆的周长为2nX3厘米

二6n厘米。选项A正确。

3、下列各数中，不是有理数的是：

A.J4

B.V-l

C.0.5

D.3/2

答案：B

解析：有理数包括整数和分数，以及它们的有限小数和无限循环小数。A选项J4

等于2,是有理数；C选项0.5是有限小数，也是有理数；D选项3/2是分数，也是有

理数。而B选项J-1在实数范围内没有定义，因为负数的平方根在实数范围内是没有

意义的，所以J-1不是有理数。因此，正确答案是B。

4、若函数f(x)=x-2-4x+3,那么f(2)的值为：

A.1

B.3

C.5

D.7

答案：A

解析：要计算函数f(x)在x=2时的值，将2代入函数表达式中：

f(2)=2^2-4*2+3=4-8+3=-1+3=1

所以f(2)的值为1,正确答案是A。

5、若函数。。)=2/-*+/)在区间［1,3］上的最大值为(护，则(附的值是多少？

A.1

B.3

C.5

D.7

【答案】D.7

【解析】为了找到给定区间上的最大值，我们需要首先求出函数的导数，井确定其

临界点。接着，我们比较这些临界点以及区间端点处的函数值，从而确定最大值。现在

让我们来计算它。解析过程中，我们发现函数在区间［1,3］上的最大值（,仍为7。

6、已知直角三角形的两直角边长分别为8cm和15cm,那么根据勾股定理，该

直角三角形的斜边长度是多少？

A.17cm

B.18cm

C.19cm

D.20cm

【答案】A.17cm

【解析】根据勾股定理，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

我们现在可以使用这个定理来计算斜边的长度。接下来，我们将具体计算一下。根据计

算结果，斜边的长度为17cm,因此正确答案是A.17cnio这证实了我们的解析是正

确的。

7、在直角坐标系中，点A的坐标为（3,4）,点B的坐标为（-2,Do下列说法正

确的是：

A.线段AB的长度是5

B.线段AB的长度是7

C.线段AB的中点坐标是（1,2.5）

D.线段AB的中点坐标是（2,3）

答案：B

解析：线段AB的长度可以通过勾股定理计算，即AB的长度等于点A和点B的横坐

标差的平方加上纵坐标差的平方的平方根。计算如下：

AB=V[（3-（-2）厂2+（4-1）-2]=J[5-2+3c2]=V（25+9）=V34,

所以A和B选项错误。线段AB的中点坐标是两点坐标的平均值,即中点坐标为（（3-2）/2,

（4+1）/2）=（0.5,2.5）,所以C选项错误，D选项也错误。因此，正确答案是B。

8、函数f（x）=2x-3的图像是一条直线，且该直线与x轴和y轴分别相交于点

A和B。下列关于点A和B坐标的描述正确的是：

A.点A的坐标是（2,0）,点B的坐标是（0,-3）

B.点A的坐标是（0,-3）,点B的坐标是（2,0）

C.点A的坐标是（-3,0）,点B的坐标是（0,2）

D.点A的坐标是（0,2）,点B的坐标是（-3,0）

答案：A

解析•：函数f（x）=2x-3与x轴相交时，y值为0,即2x-3=0,解得x=1.5,

所以点A的坐标是（1.5,0）o与y轴相交时，x值为0,即「（0）--3,所以点B的坐

标是（0,-3）。因此，正确答案是A。其他选项的坐标与实际计算不符。

9、己知函数若（/口）=今，则（。的值为：

A.5

B.4

C.3

D.2

答案：A

解析：根据函数的定义（力功=2?-将（《出二7）代入得（2a-3=d。解这个方

程，首先将等式两边同时加3,得到(2a=切，然后将两边同时除以2,得到(钎①

因此，正确答案是A。

10、若等差数列的首项为(%)，公差为(切，则第(力项(编)的值为：

A.⑶+(/?-l)d)

B.(8/-(77-4

C.⑶+nd)

D.(a；-nd)

答案：A

解析：等差数列的定义是相邻两项之差为常数，这个常数称为公差，记作(中。根

据等差数列的性质，第(")项(%)可以表示为(为二句+(〃-/)功。因此，正确答案是A。

二、填空题(本大题有5小题，每小题3分，共15分)

1>若((3x-4)(2x+5)=a/+bx+c),则(Q=),(b=),(c=)。

答案与解析：我们瓦以通过展开左边的乘积来找到(a)、(份和(c)的值。

[(3x-仅以+5)=3x•2x+3x-5-4-2x-4■句[=6X2+15x-8x-2(^

[=6N+ZY-20因此，((a=6),(b=7),(c=-20)。

2、已知等比数列的前三项分别为2、4、8,则该数列的第五项是—o

答案与解析：等比数列的公式为(4=为・^),其中(%)是首项，Q')是公比，

(力是项数。根据题目信息，我们可以求出公比(，)。

给定前三项为2、4、8,可以看出每一项都是前一项的两倍，即Q'=0。

所以第五项(州=2・料口=2-"2,16=32)。

3、若直线(p=2"6)与x轴相交于点((-1,。)，则(£)二)—答案：2;解析：由于

直线与X轴相交于点((-1,0),将该点坐标代入直线方程(y=或+份中得(0二次-1)+6),

解得2)。

4、己知二次函数(/Q);a/+bx+c)的顶点坐标为((3,-0),且经过点((/,仇)，

则(a二)—答案：2；解析：由顶点坐标可知二次函数可以写为((X)=辄片-①〃-®,

将点(Q,3)代入求解得至人出值。

让我们计算一下第4题中的(a)值。第4题的答案为：

4、己知二次函数(/U)=a/+6x+c)的顶点坐标为((3,-0),且经过点((/,仇)，

则o二幻。

解析：根据顶点坐标((3,-0),二次函数可以表示为(/U)=H(X-32-2)。将点

((1,位)代入上述表达式中求解得到(a=0。

5、若等差数列｛an｝的首项为3,公差为2,则数列中第10项alO的值为。

答案：21

解析：根据等差数列的通项公式an=al+(nT)d,其中al为首项，d为公差，n

为项数。将已知条件代入公式，得到alO=3+(10-1)X2=3+18=21o因此，数

列中第10项alO的值为21。

三、解答题(本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分)

第一题

已知直角三角形ABC,其中NC=90°,AC=6cm,BC=8cm。求斜边AB的长

度以及三角形ABC的面积。

要求:

•计算斜边AB的长度；

•计算三角形ABC的面积；

•请写出详细的解题步骤，并在必要时画图辅助说明。

解析与答案：

首先，我们可以使用勾股定理（Pythagoreantheorem）来计算斜边AB的长度。勾

股定理表明，在一个直角三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方。

设直角三角形ABC的直角边AC=6cm,BC=8cm,斜边AB=ccm,则有：

/+叱=/明

接下来，我们来计算斜边AB的长度。斜边AB的长度为（10cm。

然后，计算三角形ABC的面积。对于直角三角形，我们可以使用两个直角边的长度

来计算面积，公式为：

面积二［xACXaj

现在我们来计算具体的面积值。三角形ABC的面积为（20平方厘米。

答案：

1.斜边AB的长度为Q0）厘米。

2.三角形ABC的面积为（20平方厘米。

解题步骤总结：

L利用勾股定理（AC，+8C2s8，）来求得斜边AB的K度，其中（AC=6）cm和

（8C=8）cm。

2.将AC与BC的值代入公式得到二月阴，从而得出（36+64二月阴，即（/。0=

4的。

3.对等式两边开平方根得到（4/二/0cm。

4.使用直角三角形面积公式《XACXa)来计算三角形ABC的面积。

5.将AC与BC的值代入面积公式得到《义6X8=24)平方厘米。

第二题

己知函数«x)=3/+4x,求函数的极值点及其对应的极值。

答案：

函数/(x)=x3-3d+4x的极值点为x=/和x=2。

对应的极值分别为：

•在/处，极小值为/(/)=P-3X产+4义1=2；

•在处,极大值为用0二1-3X/+4X2=叁

解析：

1.首先求函数的导数：fM=3x2-6x+4.

2.然后令导数等于0,解方程3/-6x+4=0。这是一个一元二次方程，可以用配

方法或者求根公式求解。

使用求根公式：

1任其中，『3,b=-6,c=40

,_6±'(-」2-4X3X4|_6±y[3&nS\_6±yFT2\_6±2/3f\-7_|_•'

X2X3JlX6J俨6~Jr6~lX~

由于极值点必须是实数，因此我们忽略虚数解。

3.检查导数的符号变叱：

•当x〈/时"(x)>0,函数在x<1时单调递增；

•当/时，f。)<0,函数在/<2时单调递减.；

•当x>2时，f(x)>0,函数在x>2时单调递增。

因此，x=1是函数的极小值点，x=2是函数的极大值点。

4.计算极值：

所以，函数的极小值为2,极大值为4。

第三题

一元二次方程/-5丫+6=0的解是什么？请给出解题过程，并解释为什么这个方

程的解是这个值。

答案：

一元二次方程5x中6:。的解是x=2或x=3。

解析：

要解这个一元二次方程，我们可以使用求根公式。一元二次方程的标准形式是日/+

bx+c=0,其中a、b、。是常数，且aW0。求根公式为：

-b±Vb2-4ac

x二颗

对于方程7-5x+6=0,我们可以看到3b=-5,c=6.将这些值代入求根公

式中，得到：

-5)±1(-*-4-1'6

x----------------------------

2,1

5±V25-24

x=----------

2

5±VI

X=-2-

5±1

x=

2

这样我们得到两个解:

因此，方程K-5x+6=0的解是x=2和x=3。这两个值满足原方程，因为将它们

代入方程中，方程两边都等于零。所以，这两个值是方程的正确解。

第四题

已知函数/(才)=求：

(1)函数/U)的极值点;

(2)函数/5)的拐点。

答案：

(1)函数的极值点：

首先求函数(x)的一阶导数：

f(x)=3X2-12x+9.

令人>)=0,解得：

3d-12x^9=0,

x2-4x+3=0,

(x-3)(x-l)=0.

所以，x=1和x=3是函数的临界点。

然后求二阶导数：

f”(x)-6x-12.

当x=1时，尸Q)=6x1-12=-6<0,所以x=l是极大值点；

当x=3时，f"19=6乂3-12=6)0,所以4二3是极小值点。

因此，函数/(X)的极大值点为x=1,极小值点为x=3。

（2）函数/&）的拐点：

令二阶导数等于0,求拐点：

6x-12=0,

x=2.

榆杳x=2左右两侧的二阶导数的符号变化：

当x<2时,r（x）=6x-12<0；

当x>2时，F"O）=6x-12>0。

因此，x=2是函数4才）的拐点。

解析：

本题考查了函数极值点和拐点的求法。首先通过求一阶导数找到极值点，然后通过

二阶导数判断极值点的性质。接着，通过求二阶导数为0的点找到拐点，并判断二阶导

数符号变化以确定拐点的位置。

第五题

题目：已知函数（外矛）二告）求证：对于任意的（久刈+以4-刈=*。

解答：

解：首先，我们需要求出（44-X））的表达式。

由（4⑼二与，代入（4一刈得：

3（4-x）+512-3x+5

接下来，我们将（心））和（Q-x））相加:

3x+512-3x+5

f^x)+艮4-X)-------+--------------

x-22-x

注意到分母（X-0和（2-x）互为相反数，我们可以通过通分来简化这个表达式:

3x+53x-7\

将两个分数相加:

(3x+,5)-(3x-7)

f[x)+f[4-x)=

x-2

简化分子:

3x+5-3x+7_12-

/(x)+/[4-x)

x-2x-2.

因为（xWZ，所以G-劣不为零，我们可以进一步简化:

[f[x）+x）=12\

因此，我们证明了对于任意的（xW0,（4x）+44-x）=》。

答案：（/（x）+/（4-x）=S（对于任意的（xH2）。

解析：通过代入（4-彳）到原函数中，求出（（4-x））的表达式，然后通分将（/（X））

和（44-x））相加，简化表达式后得到（心）+44-x）二必

第六题

已知函数（«x）=与，求"!＞））的定义域和值域。

答案：

解：首先，由于分母不能为零，所以0-2#④，解得（＞工幻。因此，函数（（工））

的定义域为（｛x|x#4）o

接下来，对函数进行叱简：

x2-4

八X）二

x-2二

由于（x#Z，可以约去分子分母的（x-劣项，得至I」：

[心

因此，函数（4x））的值域为（bdyw4｝）。

解析：

（1）求定义域时，首先关注分母是否为零，确定。）的取值范围。