专题19 天体运动（教师版）

专题19万有引力定律及其应用（解析版）注：【分层调研·提分要点】所选的例题变式和练习都是最新的高考真题和2024年全国各地的模拟试题，【真题再现·洞悉高考】选自最近3年的全国个点的高考真题。【分层检测·能力拔高】选择2024年全国各地的模拟试题，题量适中，便于学生自测专用。页面页边距为适中，行距为1.2倍行距，格式图片调整合理、解析紧凑。不需要再调动格式，节约用纸，可直接打印使用。原卷含有pdf版，避免动版。部分公式显示乱码，下载后是正常的，请放心下载。目录TOC\o"1-3"\h\u310201思维导图·成竹在胸02知识梳理·复习重点知识点1：开普勒行星运动定律 2知识点2：万有引力定律 3知识点3：宇宙速度 303分成调研·提分要点考向1开普勒行星运动定律的理解和应用 3角度1：开普勒定律的理解 3角度2：开普勒定律的应用 4考向2万有引力定律的理解和应用 6角度1：万有引力的理解 6角度2：空壳及地表下的万有引力 7考向3天体质量和密度的估算 9角度1：计算中心天体的质量和密度 9角度2：已知近地表运行周期求密度 11角度3：根据已知量计算天体的质量 12考向4双星或多星模型 13角度1：双星模型及计算 1304真题再现·洞悉高考1755505分层检测·能力拔高【基础过关】 18【提升练习】 18

知识点1：开普勒行星运动定律1.两种学说（1）地心说：认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球及其他天体都绕地球运动（2）日心说：认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动2.开普勒行星运动定律内容图示说明开普勒第一定律（轨道定律）所有行星绕太阳运动的行星运动的轨道必有近日点和远日点开普勒第二定律（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积当行星离太阳较近时，运动的速度比较快，而离太阳较远时速度较慢开普勒第三定律（周期定律）所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即a2T同一中心天体k相同，不同的中心天体k一般不同知识点2：万有引力定律1．公式：F＝eq\f(Gm1m2,R2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量．2．适用条件：只适用于质点间的相互作用．3．理解（1）两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离．（2）一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用，其中r为质点到球心间的距离．知识点3：宇宙速度1．三个宇宙速度第一宇宙速度（环绕速度）v1＝7.9km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度第二宇宙速度（脱离速度）v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度（逃逸速度）v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．3．第一宇宙速度的计算方法（1）由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得：v＝eq\r(\f(GM,R)).（2）由mg＝meq\f(v2,R)，得：v＝eq\r(gR).考向1开普勒行星运动定律的理解和应用行星轨道处理方法（1）行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心.（2）对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)不变，即行星做匀速圆周运动.（3）所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.若r表示行星的轨道半径，T表示公转周期，则a2T角度1：开普勒定律的理解【典例1】（2024·浙江温州·三模）2024年3月20日，我国“鹊桥二号”卫星发射成功，多次调整后进入周期为24h的环月椭圆轨道运行，并与在月球上开展探测任务的“嫦娥四号”进行通讯测试。已知月球自转周期27.3天，下列说法正确的是（）A．月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的中心位置B．“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小相同C．“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度D．“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等【答案】C【详解】A．由开普勒第一定律可知，月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的一个焦点上，A错误；B．“鹊桥二号”在近月点距离月球最近，受到的万有引力最大，加速度最大；在远月点距离月球最远，受到的万有引力最小，加速度最小，故“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小不相同，B错误；C．“鹊桥二号”在远月点的速度小于轨道与远月点相切的卫星的线速度，轨道与远月点相切的卫星的线速度小于第一宇宙速度，故“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度，C正确；D．由开普勒第二定律可知，同一颗卫星与月球的连线在相同时间扫过的面积相等，但是“鹊桥二号”与“嫦娥四号”是两颗轨道不同的卫星，相同时间扫过的面积不相等，D错误。故选C。【变式1-1】（2024·江苏徐州·三模）战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道（）A．恒星都是静止不动的 B．行星绕太阳做圆周运动C．行星绕太阳运行的速率不变 D．各行星绕太阳运行的周期不同【答案】D【详解】A．恒星都是运动的。故A错误；B．根据开普勒第一定律可知行星绕太阳做椭圆运动。故B错误；C．根据开普勒第二定律可知行星绕太阳运行的速率与行星和太阳的距离有关。故C错误；D．根据开普勒第三定律可知，各行星绕太阳运行的周期不同。故D正确。故选D。【变式1-2】（2024·广东·一模）如图所示为太阳系主要天体的分布示意图，下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是（

）A．所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动B．地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等C．所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等D．地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点【答案】D【详解】A.八大行星均在椭圆轨道上运动，太阳处于椭圆其中一个焦点上，故A错误；B.同一行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等，故B错误；C.开普勒第三定律的内容为（为常量），故C错误；D.D项表达了开普勒第一定律（轨道定律）的内容，故D正确。故选D。角度2：开普勒定律的应用【典例2】（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（）A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度C．小行星甲与乙的运行周期之比D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比=【答案】D【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；B．根据，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比，故C错误；D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比≈，故D正确。故选D。【变式2-1】（2024·河南·模拟预测）如图所示，A、B、C分别表示太阳、水星和地球，假设水星和地球在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，水星公转半径为r，地球公转半径为R，此时AB与BC垂直．水星的公转周期为，地球的公转周期为，太阳质量为M，引力常量为G，所有天体均可视为质点，不考虑其他天体的影响，下列说法正确的是（）A．从地球上看，太阳和水星与眼睛连线所成角度的正弦值最大为B．年 C．水星与地球公转线速度之比为D．太阳的质量可表示为【答案】B【详解】A．从地球上看，太阳和水星与眼睛连线所成角度的正弦值最大为，故A错误；B．由开普勒第三定律可知，，又知年，联立解得，年，故B正确；C．由，得，则，故C错误；D．由，可得，故D错误。故选B。【变式2-2】（2024·山东青岛·三模）天宫空间站是我国独立建设的空间站系统。空间站沿图中椭圆轨道逆时针运行，图表是空间站现阶段的运行参数。已知、是椭圆轨道短轴的两个端点，月球的公转周期为27天。下列说法正确的是（）国籍中国轨道参数长度55m近心点高度350km加压空间体积远心点高度450km空载质量110吨轨道倾角42°载人上限6轨道周期90minA．空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积相等B．空间站从点运行到点的最短时间小于45分钟C．月球绕地球运行的轨道半长轴约为空间站绕地球运行轨道半长轴的18倍D．空间站在远心点的速度一定大于7.9km/s【答案】B【详解】A．空间站和月球不是同一物体，运行轨道不同，则空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积不相等，故A错误；B．根据开普勒第二定律，空间站距离地球越近，速度越大，所以空间站从点运行到点的时间小于半个周期，即小于45分钟，故B正确；C．根据，得，故C错误；D．7.9km/s是第一宇宙速度，是贴着地球表面做匀速圆周运动的速度，根据，轨道半径越大，线速度越小，空间站在远心点的速度一定小于7.9km/s，故D错误。故选B。考向2万有引力定律的理解和应用1．地球表面的重力与万有引力地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．（1）在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；（2）除两极外，物体的重力都比万有引力小；（3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq\f(GMm,R2)－mRωeq\o\al(2,自)2．星体表面上的重力加速度（1）在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）；mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2).（2）在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2).角度1：万有引力的理解【典例3】（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（）A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小【答案】A【详解】根据万有引力公式，可知图中a处单位质量的海水收到月球的引力最大；故选A。【变式3-1】（2024·江苏·模拟预测）潮汐是发生在沿海地区海水周期性涨落的一种自然现象，主要是受月球对海水的引力而形成，导致地球自转持续减速，同时月球也会逐渐远离地球。如图所示，已知地球和月球的球心分别为O和OꞋ，A和B是地球上的两个海区，多年后，下列说法正确的是（）A．海区A的角速度小于海区B的角速度 B．地球赤道上的重力加速度会增大C．月球绕地球做圆周运动的加速度会增大 D．地球的同步卫星距离地面的高度会减小【答案】B【详解】A．根据题意可知，A和B是地球上的两个海区，角速度与地球自转角速度相同，则海区A的角速度等于海区B的角速度，故A错误；B．根据题意，对地球赤道上的物体有，地球自转持续减速，周期变大，可得，地球赤道上的重力加速度会增大，故B正确；C．由万有引力提供向心力有，由于月球逐浙远离地球，增大，则月球绕地球做圆周运动的加速度会减小，故C错误；D．，解得，由于地球自转周期变大，则地球的同步卫星距离地面的高度会增大，故D错误。故选B。【变式3-2】（2024·四川绵阳·一模）1994年发生了苏梅克-列维9号彗星与木星相撞事件，由于强大的引力潮汐效应，相撞前彗星被撕裂为二十几块。如图所示的简化模型能解释引力潮汐效应。质量分布均匀的球状行星半径为R、密度为ρ，两质量均为m的球体可视为质点，固定在长为L的轻质细杆两端。两球体在行星引力作用下自由下落，杆一直沿竖直方向，某时刻下端球体与行星表面间距离为h，忽略两球间的万有引力。关于杆上张力F随上述中的一个物理量变化的情况，下列说法正确的是（）A．L越大，F越小B．ρ越大，F越小 C．m越大，F越小 D．h越大，F越小【答案】D【详解】设行星质量为，有，对杆下端的球体有对杆上端的球体有，得可知L越大，F越大，A错误；ρ越大，越大，F越大，B错误；m越大，F越大，C错误；h越大，F越小，D正确。故选D。角度2：空壳及地表下的万有引力【典例4】（23-24高三下·山东·开学考试）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一质量分布均匀的球体，半径为R。若在地球内部修一条距离地心O点半径为r的圆管形轨道，轨道的内径远小于r。可视为质点的物体以速率v在轨道内做匀速圆周运动，且与轨道无相互作用，已知地球表面的重力加速度为g，则物体的速率为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设地球的密度为，在地球表面处有，其中物体以速率v在轨道内做匀速圆周运动，且与轨道无相互作用，则有，其中联立解得物体的速率为，故选A。万有引力的“两点理解”和“两个推论”1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．3．万有引力的两个有用推论（1）推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝0.（2）推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).【变式4-1】（2022·新疆·一模）上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（）A． B． C． D．【答案】B【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得，，所以解得，F的大小为，B正确，ACD错误。故选B。【变式4-2】（2023·贵州·模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正确的是（）A．B．C． D．【答案】A【详解】当，设地球的密度为，距地球球心处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为，可得当，设地球的密度为，地球半径为，距地球球心处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为，可得故选A。考向3天体质量和密度的估算1.自力更生法利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R由eq\f(GMm,R2)=mg得天体的质量M＝eq\f(gR2,G)天体密度黄金带换算：2.借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)若已知天体的半径R，则天体的密度若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心体的密度。角度1：计算中心天体的质量和密度【典例5】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力月球的体积，月球的平均密度，联立可得，故选D。计算中心天体的质量、密度时的两点区别利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量时，并非环绕天体的质量。区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天休表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体体密度时，中的R只能是中心天体的半径。卫星绕天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有开，理论上已知其中的两个量(如:v和r、和r、T和r)都可求出天体质量，只是周期比较容易获得，故用周期求天体质量最常用【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）如图所示为NASA“露西号”（Lucy）飞船探访的一颗名为Dinkinesh小行星的照片。这张照片给科学家们带来一个惊喜：他们发现，这颗Dinkinesh小行星的平均半径R只有大约800米，是名副其实的小行星，就是这样小的行星竟然还有一个小不点跟班：一颗微小的卫星。该微卫星的平均半径r只有大约200米，几乎紧挨着Dinkinesh小行星表面做圆周运动，观测到微卫星的环绕周期为T，小行星没有自转，把小行星和它的卫星均看成是密度均匀的球体，已知引力常量为G，则小行星的平均密度约为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由万有引力定律及牛顿第二定律得，解得行星的质量，，则行星的密度，故选C。【变式5-2】（多选）（2024·山西朔州·模拟预测）根据我国载人登月工程规划，我国有可能在近几年内实现航天员登月。若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（）A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量C．月球的平均密度 D．月球的第一宇宙速度【答案】ABC【详解】A．根据平抛运动规律有，，解得，故A正确；B．在月球表面，万有引力等于重力，则有，又，解得，故B正确；C．根据上述解析及物体密度公式可得，，故C正确；D．根据万有引力提供向心力，则有，解得，故D错误。故选ABC。角度2：已知近地表运行周期求密度【典例6】（23-24高三上·辽宁沈阳·期中）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式错误的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（）火星-Mars火星的小档案直径d=6779km质量M=6.4171×1023kg表面的重力加速度g0=3.7m/s2近地卫星的周期T=3.4hA． B． C． D．【答案】B【详解】设近地卫星的质量为，火星的质量为，对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有，可得可得火星的密度为，将，代入上式可得又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有，解得因此火星的密度为，故ACD正确，B错误。此题选择错误选项，故选Ｂ。【变式6-1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）中子星是一种密度很大的特殊天体。若某中子星恰好能维持不解体，其自转的周期为T，已知引力常量为G，则中子星的平均密度为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】当中子星恰好能维持自转不解体时，万有引力充当向心力，又，解得，故选B。【变式6-2】若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知引力常量为G，太阳光可看作平行光，则地球的平均密度为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设地球质量为M，飞船运动半径为r，对飞船研究可知，，解得由几何关系可知，，则地球密度，，解得，故选C。角度3：根据已知量计算天体的质量【典例7】（2023·安徽·模拟预测）有一部关于星际大战的电影，里面有一个片段，位于与地球类似的星球的“赤道”的实验室里，有一个固定的竖直光滑圆轨道，内侧有一个小球恰能做完整的圆周运动，一侧的仪器数据显示：该运动的轨道半径为r，最高点的速度为v。若真存在这样的星球，而且该星球的半径为R，自转可忽略，万有引力常量为G，则以下说法正确的是（）A．该星球的质量为 B．该星球的质量为C．该星球的第一宇宙速度为 D．该星球的近地卫星速度为【答案】A【详解】AB．在该运动的轨道的最高点，该星球上的重力提供向心力有，在该星球表面，万有引力等于重力，则有，联立可得，该星球的质量为，故A正确，B错误；CD．在该星球表面，万有引力提供向心力有，则该星球的第一宇宙速度为，故CD错误。故选A。【变式7-1】（2023·河北保定·三模）假定在未来太空探测过程中，宇航员乘飞船来到了星球，飞船在绕星球做半径为的圆周运动时，飞船与星球中心的连线在单位时间内扫过的面积为。若已知一颗绕地球做半径为的圆周运动的卫星，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为，则星球与地球的质量之比为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，，联立解得，则X星球与地球质量之比为故选A。【变式7-2】（2023·陕西商洛·一模）过去几千年中，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51Pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51Pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，已知太阳的质量约为，则该中心恒星的质量约为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据万有引力提供向心力可得，可得故所求中心恒星与太阳的质量之比为所以该中心恒星的质量，故选A。考向4双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1).2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．角度1：双星模型及计算【典例8】（多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r<<R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（

）[可能用到的近似]A． B．C． D．【答案】BD【详解】AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有，，r1＋r2=R，联立解得，故A错误、故B正确；CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有再根据选项AB分析可知，Mr1=mr2，r1＋r2=R，，联立解得，故C错误、故D正确。故选BD。【变式8-1】（2023·江西赣州·二模）一个由恒星A和B组成的双星系统，现在它们间的距离为L，并以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，运动周期为T。已知恒星A的质量小于恒星B的，引力常量为G，则（）A．A的质量为 B．A做圆周运动的半径比B的小C．A做圆周运动的线速度比B的大 D．若恒星A、B间的距离缓慢减小，则它们转动周期缓慢变大【答案】C【详解】AB．设恒星A的质量为，恒星B的质量为，恒星A做匀速圆周运动的半径为，恒星B做匀速圆周运动的半径为，根据万有引力提供向心力可得，，联立可得，由于恒星A的质量小于恒星B的，则有，故AB错误；C．根据，由于，可得，故C正确；D．根据，若恒星A、B间的距离缓慢减小，则它们转动周期缓慢变小，故D错误。故选C。【变式8-2】（2024·广西柳州·三模）我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统。如图所示，由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点各自做匀速圆周运动，经观测可知恒星A与B的距离为L，恒星B的运行周期为T，引力常量为G，则恒星A与B的总质量为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】恒星A与恒星B组成的双星系统具有相同的周期，根据万有引力提供向心力有，，，联立解得故选A。角度2：三星模型及计算【典例9】（多选）（2023·云南昆明·模拟预测）如图所示，有三颗质量都为的恒星在一条直线上，其中两颗恒星绕恒星在同一半径为的轨道上做匀速圆周运动，忽略其他星体对这三颗恒星的影响，则（万有引力常量为）（

）

A．恒星和恒星做圆周运动的向心加速度相同 B．恒星和恒星做圆周运动的周期相同C．恒星所受合外力为 D．恒星所受合外力为【答案】BC【详解】A．恒星和恒星做圆周运动的向心加速度方向不相同，故A错误；B．有三颗质量都为的恒星在一条直线上，其中两颗恒星绕恒星在同一半径为的轨道上做匀速圆周运动，所以恒星和恒星做圆周运动的周期相同，故B正确；CD．恒星所受合外力为，故C正确D错误。故选C。【变式9-1】据中国新闻网报道，2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示。如果两颗小星间的万有引力大小为F，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，则下列说法中正确的是（）A．母星受到的合力大小为（）F B．每颗小星受到的合力大小为（）FC．母星的质量是每颗小星质量的倍 D．母星的质量是每颗小星质量的2倍【答案】D【详解】A．母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，母星受到的三个力大小相等，夹角均为120°，故根据合成可知，母星受到的合力为零，故A错误；B．根据受力分析可知，每颗小星受到其余两颗小星和一颗母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每颗小星受到的万有引力为，故B错误；CD．假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，等边三角形的边长为a，则小星绕母星运动轨道半径为根据万有引力定律，两颗小星间的万有引力为，母星与任意一颗小星间的万有引力为，解得母星的质量是每颗小星质量的2倍。故D正确C错误。故选D。【变式9-2】（2024·广西·模拟预测）宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（）A．每颗星体做圆周运动的线速度为B．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关C．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的4倍D．若距离L和每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变【答案】D【详解】A．任意两颗星体之间的万有引力，每一颗星体受到的合力为由几何关系知：它们的轨道半径为，合力提供它们的向心力，联立解得，故A错误；B．根据，得，故加速度与它们的质量有关，故B错误；C．根据，解得，若距离和每颗星体的质量都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故错误；D．根据，可知，若距离和每颗星体的质量都变为原来的2倍，则线速度不变，故D正确。故选D。1．（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以，联立可得故选D。2．（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（）A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍【答案】B【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有，，联立可得由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得故选B。3．（2024·全国·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（）A．在环月飞行时，样品所受合力为零B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小【答案】D【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误；BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确；C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。故选D。4．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（）

A． B． C． D．【答案】D【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据可得，其中，，联立可得故选D。5．（2023·山东·高考真题）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有月球绕地球公转有，r=60R，联立有故选C。6．（2023·全国·高考真题）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资（）A．质量比静止在地面上时小 B．所受合力比静止在地面上时小C．所受地球引力比静止在地面上时大 D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大【答案】D【详解】A．物体在低速（速度远小于光速）宏观条件下质量保持不变，即在空间站和地面质量相同，故A错误；BC．设空间站离地面的高度为h，这批物资在地面上静止，跟地球一起自转，合力很小近似为零，在空间站所受合力为万有引力即，在地面受地球引力为，因此有，故BC错误；D．物体绕地球做匀速圆周运动万有引力提供向心力，解得这批物质在空间站内的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，因此这批物质的角速度大于同步卫星的角速度，同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，即这批物质的角速度大于地球自转的角速度，故D正确。故选D。一、单选题1．（2024·河南·一模）若两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，到地心的距离之比为，忽略卫星之间的相互作用。在时间内，卫星与地心连线扫过的面积为，卫星与地心连线扫过的面积为，则与的比值为（）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】根据，可知则卫星在时间t内与地心的连线扫过的面积为，则故选D。2．（2024·云南曲靖·一模）今年的学校运动会，高三（3）班的小明参加跳高比赛，成绩为1.50m，若将他跳高的上升运动视为竖直上抛运动，如果小明以与在地球上相同的初速度在月球上起跳，已知月球的半径大约是地球半径的，质量是地球质量的，忽略月球的自转影响，则小明能达到的最大高度大约为（）A．1m B．4m C．8m D．16m【答案】C【详解】设地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，黄金代换式已知月球的半径是地球半径的，质量是地球质量的，则月球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的，即g，运动员以初速度在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出运动员可跳起的最大高度由于月球表面的重力加速度是g，运动员以相同的初速度在月球上起跳时，可跳起的最大高度，只有选项C接近。故选C。3．（2024·贵州·一模）如图所示，点L1和点L2称为地月连线上的拉格朗日点。在拉格朗日点处的物体在地球与月球的共同作用下，可与月球同步绕地球转动。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地月拉格朗日点L2的通信卫星，已知地球质量是月球质量的81倍，地月球心距离约为L2点与月球球心距离的6倍，则地球对“鹊桥号”中继卫星的引力与月球对“鹊桥号”中继卫星的引力大小之比约为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由万有引力定律及题设条件可知所求两个引力的大小之比约为故选B。4．（2024·河南·模拟预测）木星有79颗卫星，其中木卫三是太阳系中已知的唯一一颗拥有磁圈和一层稀薄的含氧大气层的卫星，这引起了科学家的高度重视。若木卫三绕木星做匀速圆周运动的半径为r，周期为T，木星表面的重力加速度为g，木星的半径为R，引力常量为G，忽略木星的自转及卫星之间的相互作用力，则下列说法正确的是（）A．木星的质量为平均密度为 B．木星的质量为平均密度为C．木卫三的质量为平均密度为 D．木卫三的质量为平均密度为【答案】B【详解】木星表面的重力加速度为，木星半径为，由得木星质量木星的平均密度木卫三绕木星做匀速圆周运动的半径为，周期为，由得木星的质量则木星的平均密度故选B。5．（2024·河北邯郸·三模）已知质量均匀分布的球壳对球壳内部的质点的万有引力为零。如图所示，在地球北纬60°的A处凿开一个穿过地轴的直线隧道，直通北纬60°的B处，假设隧道光滑，现将一个质量为m的物体在A处无初速度释放，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转。下列说法正确的是（）A．物体在隧道内做匀变速直线运动 B．刚释放时物体的加速度大小为C．物体在隧道内的最大速度为 D．物体从A点运动到B点的时间为【答案】B【详解】A．如图所示设地球密度为ρ，在地球表面有，所以设物体运动过程中距离地心为r，则，所以设物体运动过程中与地心的连线与OC的夹角为θ，物体到C点的距离为x，则则所以物体所受万有引力沿隧道方向的分力为，即F与x成正比，小球在隧道内做简谐运动，故A错误；B．刚释放时物体所受万有引力沿隧道方向的分力大小为故物体的加速度大小为，故B正确；C．由以上分析可知，当物体运动到C点时，加速度为零，速度达到最大，根据动能定理可得解得，故C错误；D．由简谐运动的知识可知，物体从A运动到B的时间是周期T的一半，即，，所以，故D错误。故选B。6．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图1所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为的小球体（球心在OP连线上，右端位于O点），如图2所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得则小球体的质量球体对该质点的万有引力大小故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小，解得故选C。7．（2024·贵州贵阳·三模）亚地球行星GJ367b是一颗超轻、超快的系外行星，该行星的半径为地球半径的72%，质量为地球质量的55%。若取，则该行星的表面重力加速度约为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】在星球表面有，则该行星的表面重力加速度约为，故选B。二、多选题8．（2024·湖南·三模）某同学非常适合当一名宇航员，心中也一直憧憬着航天梦，设想着若干年后，登上另一星球，在该星球表面做一单摆实验。已知该星球半径为R，单摆实验摆长为L，实验时用积累法测了n次全振动的时间为t，不计阻力，引力常量为G，则下列说法正确的是（）A．该同学的设想没法实现，因为离开地球后不能做单摆实验B．若忽略该星球的自转，根据已知条件可估算该星球的平均密度为C．在该星球表面发射卫星时，需要的最小发射速度为D．若摆球实验时，θ=60°，如图所示，从此处静止释放后经最低点时的速度大小为，则该星球表面附近重力加速度为【答案】BD【详解】A．在另一星球上是能够做单摆实验的，与在地球表面类似，A错误；B．单摆周期，又忽略自转时，表面一质量为的物体有星球体积，密度，联立求得，B正确；C．卫星贴近星球表面做匀速圆周运动速度至少为，则该星球表面发射卫星时需要的最小发射速度为，C错误；D．摆角较大时，由机械能守恒有，解得D正确。故选BD。9．（2023·辽宁大连·二模）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到的距离为x，则（）A．列车在隧道中A点的合力大小为mg B．列车在P点的重力加速度小于gC．列车在P点的加速度 D．列车在P点的加速度【答案】BD【详解】A．列车在隧道中A点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示则有，，，解得，A错误；B．由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，则在P点有由于质量均匀分布，则有，解得，B正确；CD．令，根据上述，则有，，解得，C错误，D正确。故选BD。10．（2024·广西玉林·模拟预测）天文学家于2024年1月6日发现了小行星2024AE1，对其跟踪观察并完善其轨迹发现，小行星2024AE1的直径约为，质量，运动轨迹为抛物线，它将会在2025年7月4日与地球擦肩而过。把地球看作半径为R的匀质球体，忽略地球的自转，地球表面的重力加速度大小为g，预计小行星2024AE1距地心为时的速度大小为，方向与它和地心连线所成的角为，如图所示。已知小行星2024AE1的引力势能，式中r为行星2024AE1到地心的距离，小行星2024AE1与地心的连线在任意相等时间内扫过的面积相等，忽略其他天体的影响，据此可推测出（）A．小行星2024AE1与地心的连线在单位时间内扫过的面积为B．小行星2024AE1距地球表面的最小距离为C．小行星2024AE1的最大速度为D．小行星2024AE1