2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时

.3第1课时二次函数与一元二次方程、不等式基础练 巩固新知夯实基础1.（多选）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是 ()A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0C.ax2+4x-7>0 D.x2<02.已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7}B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3}D．{x|x<－2或x≥3}3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解()A．{x|x<－1或x>2}B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2}D．{x|－1≤x≤2}4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>3))))B．{x|－1<x<3}C．{x|1<x<3}D．{x|x<1或x>3}5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()6.不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．7.方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．8.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.能力练综合应用核心素养9.若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)(x－eq\f(1,t))>0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,t)<x<t)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,t)或x<t))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,t)或x>t)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|t<x<\f(1,t)))10.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)11.不等式x2－px－q<0的解集是{x|2<x<3}，则不等式qx2－px－1>0的解是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>－\f(1,3)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<\f(1,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2或x>3))))12.(多选题)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是()A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}13.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．14.若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝________，m＝________.15.若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤2))，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．16.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.【参考答案】1.BD解析：根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是，C不一定是，B，D一定是.2.A解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或3<x≤7}．3.D解析：由方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，知函数y＝ax2＋bx＋c的零点为2，－1，又∵a<0，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，∴不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}．4.A解析：由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．B解析：因为不等式的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，排除C、D；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.6.{x|－3≤x<－2或0<x≤1}解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3≤0，,x2＋2x>0，))∴－3≤x<－2或0<x≤1.7.{m|m≥9}解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m≥0，,x1＋x2＝3－m<0，,x1x2＝m>0，))∴m≥9.8.解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以(1)当a<－1时，原不等式解集为{x|a<x<－1}；(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a>－1时，原不等式解集为{x|－1<x<a}．9.D解析：∵0<t<1，∴eq\f(1,t)>1，∴eq\f(1,t)>t.∴(t－x)(x－eq\f(1,t))>0⇔(x－t)(x－eq\f(1,t))<0⇔t<x<eq\f(1,t).10.A解析：f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0.所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．11.B解析：易知方程x2－px－q＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝p，,2×3＝－q，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝5，,q＝－6，))不等式qx2－px－1>0为－6x2－5x－1>0，解得－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3).12.BCD解析：在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3－m>0，),m>0，)解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确，故选BCD．13.k≤2或k≥4解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.14.－3－3解析：在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3－m>0，),m>0，)解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确，故选BCD．可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＝\f(6,a),1×m＝a))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,m＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,m＝2))(舍去)．15.解由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤2))，知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－eq\f(1,3)，2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋2＝－\f(b,a),－\f(1,3)×2＝\f(c,a)))，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a.所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<3)).16.解(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝eq\f(2,a)，x2＝2.①当0<a<1时，eq\f(2,a)>2，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)，或x<2))))；②当a＝1时，eq\f(2,a)＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；③当a>1时，eq\f(2,a)<2，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，或x<\f(2,a))))).(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝eq\f(2,a)，x2＝2，则eq\f(2,a)<2，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2)))).综上，a<0时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<2))))；a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；0<a≤1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,a)，或x<2))))；当a>1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，或x<\f(2,a))))).A级必备知识基础练1.[探究点一(角度2)]不等式x+61-x≥0A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1,或x≤-6}C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1,或x≤-6}2.[探究点一(角度1)]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x∈N*|x≤5},则A∩B等于()A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}3.[探究点一(角度1)]不等式x2-2x-5>2x的解集是()A.{x|x≥5,或x≤-1}B.{x|x>5,或x<-1}C.{x|-1<x<5}D.{x|-1≤x≤5}4.[探究点二]若不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3或x>-2},则()A.a=1,b=-5 B.a=-1,b=5C.a=-1,b=-5 D.a=1,b=55.[探究点一(角度2)]不等式xx-1≥2的解集是A.{x|x<1} B.{x|x≥2}C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2}6.[探究点二·2024江苏连云港高一期中](多选题)设a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},则下列说法正确的是()A.a<0B.ab<0C.ac>0D.a∶b∶c=1∶(-4)∶37.[探究点二](多选题)不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},对于系数a,b,c,下列结论正确的是()A.a+b=0 B.a+b+c>0C.c>0 D.b<08.[探究点二]二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y60-4-6-6-406则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是.

9.[探究点三]某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.

10.[探究点一(角度1)]求下列不等式的解集:(1)2x2-13x+20>0;(2)7x2+5x+1<0;(3)4x2-4x+1≤0.B级关键能力提升练11.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为()A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2}12.“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是()A.0<a<1 B.0<a<1C.0≤a≤1 D.a<0或a>113.已知a>0,b>0,则不等式-b<1x<a等价于(A.x<-1a或x>B.x<-1b或x>C.-1a<x<0或0<x<D.-1b<x<0或0<x<14.[2024河北唐山高一期中](多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x13<x<1A.a>0B.c<0C.a+b>0D.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-3<x<-1}15.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.16.已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B=.若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,给出如下三个条件:①{x|a-1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|a≤x≤a+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在,求出a的取值范围.

C级学科素养创新练17.在R上定义运算:abcd=ad-bc.若不等式x-1a-218.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R.(1)若5∈A,求实数k的取值范围.(2)求不等式的解集A.(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由.答案：1.C不等式x+61-x≥0等价于(x+6)(1-x)≥0,1-2.B∵(2x+1)(x-3)<0,∴-12<x<3又x∈N*且x≤5,则x=1,2.即A∩B={1,2}.3.B由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,因为方程x2-4x-5=0的两根为-1,5,所以不等式x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1,或x>5}.4.D因为不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以-3和-2为方程ax2+bx+6=0的两根,即9a-3b+6=0,4a-2b+6=0,解得a=1,b=5,故选D.5.D不等式xx-1≥2可化为xx-1-2≥0,即2-xx所以不等式的解集为{x|1<x≤2}.故选D.6.BCD∵a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},∴a>0,1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根,∴1+3=-ba,1×3=ca,∴b=-4a<0,c=3a>0,∴ab<0,ac>0,a∶b∶c=17.ABC由不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2}可得a<0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,所以-ba=-1+2=1>0,所以b=-a,b>0,故A正确,D错误;由ca=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确.故选8.{x|x<-2,或x>3}根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的图象如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.9.150依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).因为0<x<240,所以150≤x<240,即生产者不亏本时的最低产量是150台.10.解(1)原不等式对应的方程为2x2-13x+20=0,Δ=(-13)2-4×2×20=9>0,所以该方程的两根为x1=13+34=4,x2=13画出函数y=2x2-13x+20的大致图象,如图,函数图象与x轴的交点为(4,0),(52,0).所以不等式2x2-13x+20>0的解集为x(2)原不等式对应的方程为7x2+5x+1=0,Δ=52-4×7×1=-3<0,所以方程无解.画出函数y=7x2+5x+1的大致图象,如图,图象与x轴无交点.所以不等式7x2+5x+1<0的解集为⌀.(3)4x2-4x+1≤0可化为(2x-1)2≤0,所以2x-1=0,所以x=12.画出函数y=4x2-4x+1的大致图象,如图,函数图象与x轴只有一个交点(12,0所以不等式4x2-4x+1≤0的解集为xx11.B根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故x的取值范围是{x|-2<x<1}.12.C因为不等式x2-2ax+a>0的解集为R,所以Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)<0,解得0<a<1.选择的必要不充分条件的范围,应该大于0<a<1包含的范围,显然只有C项满足.故选C.13.B因为-b<1x<a,所以1x>-b,1x<a,解1x>-b,即1x+b=1+bxx>0,即(1+bx)x>0,因为b>0,所以得x<-1b或x>0;解1x<a,即1x综上,x<-1b或x>1故选B.14.BC因为不等式ax2+bx+c>0的解集为x13<x<1,所以13和1是方程ax2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系可得-ba=13+1,ca=13×1,解得a=3c,