湖南省长沙市雨花区2026届九年级中考一模数学试卷

湖南省长沙市雨花区2026届九年级中考一模数学试卷一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1．下列各数中小于0的是()A．-(-1) B．|-1| C．3−1 D．2．我国在量子通信领域整体处于国际领先地位。在量子通信中，某设备能处理的数据量为每秒4.5×10A．4.5×1010 B．4.5×109 C．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A． B． C． D．4．“费尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”.目前为止“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄(岁)分别为28，29，29，31，31，31，31，则这组数据的中位数是()A．28 B．29 C．30 D．315．下列运算正确的是()A．2x2y−3xC．4a6÷6．如图，已知直线a∥b，现将含45°角的直角三角板ABC放入平行线之间，两个锐角顶点B、C分别落在直线a、b上.若∠1=26°，则∠2的度数为()A．56° B．64° C．68° D．71°7．如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P.下列结论不正确的是()A．ac<0 B．c>dC．a+b=c+d D．当x>1时，ax+b>cx+d8．某校举行“垃圾分类”知识竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分。若小明得分不低于86分，则他答对的题数至少有()A．19 B．18 C．17 D．169．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P=68°，则∠BAC的度数为()A．34° B．39° C．51° D．56°10．如图，点I为△ABC的内心，AB=6，AC=5，BC=4，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为()A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)11．从分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8的卡片中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是.12．分解因式：x3-4x=．13．已知关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+m=0有两个实数根x114．如图，抛物线y=ax215．1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名.小记者来采访他们各自的名次时，1号运动员说：“3号在我前面冲向终点”.另一个得第3名的运动员说：“1号运动员不是第4名”.小裁判员：“他们的号码与各自的名次都不相同”.则3号运动员是第名.16．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=23,BD=4.过点A作AE⊥BC，垂足为E，则BE·BC的值等于三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．计算：−118．先化简，再求值：2x−119．如图，在△ABC中，BC<AB，∠A=36°，以点C为圆心，线段CB的长为半径画弧，交线段AB于点D；以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧，恰好经过点A。求证：△ABC∽△CBD.20．某校开展“青赴绿意，大美湖湘”环保实践活动，聆听圭塘河从“龙须沟”到“幸福河”的蜕变历程.活动结束后，在初三年级随机抽取了部分学生，就“对圭塘河治理情况的了解程度”进行问卷调查，问卷有以下四个选项：A.非常了解；B.比较了解；C.了解较少；D.不太了解(每名被调查的学生必选且只能选择一项).现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图.请根据以上信息，解答下列问题：（1）被抽取的学生共有多少人?图中p的值是多少?（2）请补全条形图；（3）扇形图中的选项“D.不太了解”部分所占扇形的圆心角的大小为多少?（4）若该校初三年级共有1200名学生，请你根据上述调查结果，估计该校初三年级学生对圭塘河治理情况“非常了解”和“比较了解”的学生共有多少名?21．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展。某快递企业为提高工作效率.拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣。若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元.（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；（2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元.最多能买A型机器人多少台?22．小刘与小王相约到岳麓山旅游风景区登山，需要登顶300.8m高的山峰，由山底A处先步行100m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30∘,（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为25m/min，缆车的速度为30m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到0.1min)?(参考数据：sin23．如图，E是正方形ABCD的CD边的中点，将该正方形沿BE折叠，点C落在C'处，⊙O分别与AB、AD、BC'相切，切点分别为F、G、H.（1）求证：∠DE（2）若正方形的边长是6cm，求图中阴影部分的面积.24．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的2倍，我们称这个点为“双倍点”，例如A(1，2)就是“双倍点”.若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数y=x−1（1）求直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标；（2）反比例函数y=−2（3）已知二次函数y=2x（4）若“双倍二次函数”y=x25．在△ABC中，∠ABC=60∘,（1）如图1，∠ABE=∠C,求∠CAD的度数；（2）如图2，BD=AB，F是BE的中点，∠CAF=60（3）如图3，BD=AB=4，CD=2，F是BE上一动点，求：2CF+BF的最小值.

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】112．【答案】x（x+2）（x-2）13．【答案】414．【答案】(-1，2)15．【答案】116．【答案】117．【答案】解：−1=1−2+=-118．【答案】解：原式=当x=-1时，原式=−19．【答案】解：由作法得CD=CB，DA=DC，∴∠DCA=∠A=36°，∴∠CDB=3636=72°∵CD=CB，∴∠B=∠CDB=72°∴∠BCD=180°72°72°36°，∴∠BCD=∠A，而∠CBD=∠ABC，∴△ABC∽△CBD.20．【答案】（1）解：100；20；（2）解：补全图形略(C类30人)；（3）解：扇形图中的选项“D.不了解”部分所占扇形的圆心角的大小为：36（4）解：20+40100即估计该校初三年级学生“非常了解”和“比较了解”的共有720名.21．【答案】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为x万元，y万元，由题意得，x+3y=2603x+2y=360，解得答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元.（2）解：设最多能买A型机器人a台，则最多能买B型机器人(15-a)台，由题意得，80a+60(15-a)≤1000，解得a≤5；答：最多能买A型机器人5台.22．【答案】（1）解：如图，过点B作BM⊥AF于点M，∴∠A=30°，∠DBE=53°，DF=300.8m，AB=100m，在Rt△ABM中，∠A=30°，AB=100m，∴BM=∴DE=DF-EF=300.8-50=250.8m；答：登山缆车上升的高度DE为250.8m.（2）解：在Rt△BDE中，∠DBE=53°，DE=250.8m，∴BD=∴从山底A处到达山顶D处需要的时间t=答：从山底A处到达山顶D处大约需要14.5min.23．【答案】（1）证明：在四边形BCEC'中，∠BCE=∠BC'E=90°，∴∠CBC'+∠CEC'=180°，又∵∠DEC'+∠CEC'=180°，∴∠CBC'=∠DEC'，由折叠可知∠CBC'=2∠EBC'，∴∠DEC'=2∠EBC'.（2）解：延长BC'与AD交于点K，连接EK，OF，OG，OH，易知AFOG为正方形.在Rt△DEK与Rt△C'EK中，DE=C'E，EK=EK，∴Rt△DEK≌Rt△C'EK，DK=C'K，∠DEK=∠C'EK，由(1)得∠DEK=∠C'BE，∴Rt△DEK∽Rt△C'BE，∵BC'=6，EC'=DE=3，∴DK=C'K=1.5，∴AK=4.5，BK=7.5，⊙O的半径为(6+4.5-7.5)÷2=1.5，∴阴影部分面积为36−9π24．【答案】（1）解：设直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标为(h，2h)，∴3h+2=2h，解得h=-2，∴直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标为(-2，-4)；（2）解：不存在“双倍点”。设(h，2h)在反比例函数y=−2x图象上，则∴在反比例函数y=−2（3）解：∵函数y=2x∴与y轴交点为(0，0)，即c=0，∴y=2∵函数是“双倍二次函数”，∴−解得b=0或b=4，即表达式为y=2x2（4）解：设“双倍二次函数”y=∵(p，8)为“双倍点”，∴p=4，∴4−k当k=4时，顶点为(4，8)，不合题意，舍去；∴k=2，这个“双倍二次函数”为y=图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，4)，当t<2时，t-1≤x≤t在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴当x=t时，函数有最小值7，即t−2解得t=2+3(舍去)或当t-1≤2≤t，即x=2时，函数的最小值为4，不存在满足条件的t值；当t-1>2，即t>3时，t-1≤x≤t在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x=t-1时，函数有最小值7，即t−1−2解得t=3+3或t=3−综上所述，t的值为2−3或25．【答案】（1）解：设∠ABE=∠C=α，∵BE⊥AD，∴∠BAD=90°α，又∵∠ABC=60°，∴∠CAD+∠BAD+∠C=120°，∴∠CAD=120°-∠C-∠BAD=120°-α-(90°-α)=30°；（2）解：AC=2AF；证明：延长AF至点P，使PF=AF，连接BP，∵BE⊥AD，∴∠AEF=90°，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFP=∠EFA，∴△BFP≌△EFA(SAS)，∴∠PBF=∠AEF=90°，∵BD=AB，∠ABC=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADB=60°，∴∠ADC=120°，∵BE⊥AD，∴∠ABE=∠DBE=30°，∴∠