因式分解课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.1因式分解

993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.小明是这样做的：993－99＝99×992－99×1＝99(992－1)＝99×9800＝98×99×100.所以，993－99能被100整除.问题：1、你能与同伴交流小明每一步变形的依据吗？

2、在判断993－99能否被100整除时，

小明是怎么做到的？新知引入新知探索典例分析课堂小结作业布置如何处理整除问题993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.小明是这样做的：993－99＝99×992－99×1＝99(992－1)＝99×9800＝98×99×100.所以，993－99能被100整除.关键：把一个数式化成了几个数的积的形式.993－99还能被哪些正整数整除？新知引入新知探索典例分析课堂小结作业布置如何处理整除问题新知探索典例分析课堂小结作业布置复习回顾你能尝试把a3-a的化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.因式分解尝试·交流新知探索典例分析课堂小结作业布置复习回顾做一做观察下面拼图过程，写出相应的关系式ma+mb+mcm(a+b+c)x2+2x+1(x+1)2因式分解新知探索典例分析课堂小结作业布置复习回顾

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。例如：a3-a=a(a+1)(a-1)；ma+mb+mc=m(a+b+c);x2+2x+1=(x+1)2都是因式分解。因式分解也可称为分解因式。其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.因式分解的定义典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置

因式分解典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置因式分解方法归纳：因式分解的判断标准（1）因式分解是多项式的恒等变形，等式左边必须是多项式；（2）因式分解的结果是积的形式，每个因式必须是整式；（3）因式分解应该分解到不能再分解为止，现阶段只要求在有理数范围内分解.典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置

A.

①③B.

①④C.

②⑤D.

④⑤B因式分解新知探索典例分析课堂小结作业布置复习回顾计算下列各式：(1)3x(x－1)＝________

(2)m(a＋b－1)＝________(3)(m＋4)(m－4)＝________

(4)(y－3)2＝________根据左面的算式进行因式分解:(1)3x2－3x＝()()；(2)ma＋mb－m＝()()(3)m2－16＝()()；(4)y2－6y＋9＝()()m2-16y2-6y+93x2-3xma+mb-m3xx-1m+4m-4y-3ma+b-1y-3整式乘法因式分解想一想它们有什么关系？因式分解与整式乘法操作·思考新知探索典例分析课堂小结作业布置复习回顾a2-1(a+1)(a-1)

和

积

因式分解整式乘法a2-1=(a+1)(a-1)因式分解的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积恒等变形，互为逆运算因式分解与整式乘法典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置从左往右是一种什么变形？从右到左呢？可以用整式乘法来检验因式分解的是否正确因式分解与整式乘法典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置因式分解与整式乘法（2）如图，由一个边长为a的小正方形和两个长、宽分别为a，b（a＞b）的小长方形拼成一个大长方形.请利用大长方形ABCD面积的不同求法，写出一个有关多项式的因式分解的等式.S长方形ABCD＝a2＋2abS长方形ABCD

＝a（a+2b）∴a2＋2ab＝a（a＋2b）典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置因式分解与整式乘法如图，现有边长为a的小正方形①纸片1张，长为b、宽为a的长方形②纸片3张，边长为b的大正方形③纸片2张.请你将它们拼成一个大长方形，在虚线框内画出图形，并运用面积之间的关系，将多项式a2＋3ab＋2b2因式分解.变式2（P944题）典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置x2+3x+2=（x+2）(x+1)因式分解与整式乘法解：∵x2+ax+b=(x+1)(x-3)

=x2﹣2x﹣3.∴a=﹣2，b=﹣3方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应相等即可.典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置因式分解与整式乘法法二：∵(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq

∴a=1+(-3)=-2，

b=1×(-3)=-3（2）若把多项式x2＋ax＋b因式分解得(x＋1)(x－3)，则a＝

，b＝

⁠.典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置因式分解与整式乘法2.

已知x2＋mx－15＝（x＋3）（x＋n），则m＝

，n＝

⁠.－2

－5

典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置补例

当k为何值时，多项式x2﹣x+k有一个因式为x+2。(法一)逆用整式乘法解：设x2-x+k=

(x+2)(x+m)

=x2+(2+m)x+2m.∴2+m=﹣1，k=2m

∴

m=-3,k=-6方法归纳：利用分解因式的概念，将一个多项式分解成几个因式的积的形式，令已知因式=0，则积也为0.所以就可以将此类问题转化成方程问题求解。(法二)方程思想解：令x2-x+k=A(x+2)=0则当2+x=0即x=-2时，x2-x+k=

=0（∴x=-2是方程x2-x+k=

0的解）∴（-2）2﹣（-2）+k=

0

k=-6(法三)整式除法：因式分解与整式乘法典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置因式分解与整式乘法2.

已知多项式6x2－kx－2因式分解后有一个因式为3x－2，求k的值和另一个因式.典例分析复习回顾新知探索课堂小结作业布置因式分解与整式乘法（2）已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k因式分解后有一个因式是x－3，求k的值.解：方法一：设2x3－5x2－6x＋k＝A·（x－3）.令x＝3，得54－45－18＋k＝0.∴k＝9.方法二：依题意，设另一个因式为（2x2＋ax＋b），∴2x3－5x2－6x＋k＝（x－3）（2x2＋ax＋b），即2x3－5x2－6x＋k＝2x3＋（a－6）x2＋（b－3a）x－3b，可得a－6＝－5，b－3a＝－6，－3b＝k.解得a＝1，b＝－3，k＝9.∴k的值为9.课堂小结作业布置复习回顾新知讲解典